近世代数学习指导
一, 基本概念
1. 集合
概念;子集;运算:交,并,积
2. 映射
定义;满射;单射;一一映射;变换
3. 代数运算
定义;运算律:结合律,交换律,分配律
4. 同态与同构
同态映射;同态满射;同态;同构映射;同构;自同构
5.等价关系与集合的分类
二, 群论
1. 群的定义及基本性质
第一定义:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ;第二定义:Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ;有限群的另一定义:Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ'
2. 子集
定义;判定条件
3. 群的同态
群的同态;群的同构
4. 变换群与置换群
定义;置换的两种表示方法;凯莱定理
5. 循环群
定义;整数加群与模n的剩余类加群;循环群的构造
6. 子群的陪集
右陪集与左陪集;两个元同在一个右(左)陪集的条件;子群的指数;拉格朗日定理
7. 不变子群与商群
不变子群的定义及其判定条件;商群的定义;群的同态基本定理
三, 环与域
1. 环的定义及其计算规则
2. 有附加条件的环
交换环;有单位元环;无零因子环及其特征;整环;除环及其乘群;域
3. 子环,环的同态
子环,子除环的定义及其判定条件;环的同态(同构)
4. 理想与剩余类环
理想(子环)的定义;主理想的定义;剩余类环的定义;环的同态基本定理
5. 最大理想
第二部分 思考题
1. 设A={1,2,…,10}, 给出一个A×A到A的映射,这个映射是不是单射
2. 设A={1,2,3},规定A的一个代数运算,这个代数运算是不是适合交换律
3. 设A={所有实数}, ={所有>0的实数},给出一个A与 间的一一映射.
4. 设A={所有实数},给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外).
5. 设A={所有实数}, ={所有≥0的实数},A和 的代数运算是普通乘法,证明:A到 的映射

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