高纲0926
江苏省高等教育自学考试大纲
02009 抽象代数
江苏教育学院编
江苏省高等教育自学考试委员会办公室
课程性质,目的和要求
抽象代数即近世代数是现代数学的一个重要分支,是研究多种代数结构的一门学科.它是现代科学各个分支的基础,而且随着科学技术的不断进步,特别是计算机的发展与推广,近世代数的思想,理论与方法的应用越来越广泛.它的思想方法已经渗透到数学的多个分支,它的结果已应用到众多学科领域,它的内容对中学代数教学有指导意义.本课程是师范院校数学专业学生的必修课,也是教师本科自考的必考课程.近世代数的内容丰富,在本科阶段不可能全部掌握,根据所选教材,要求考生在学习本课程中,掌握近世代数的基本概念,基本理论和方法,使学生拓宽眼界,扩大知识领域,提高抽象思维能力和逻辑推理能力,提高数学修养与技巧,以便能深入理解中学代数的内容和方法,为进一步学习其它学科创造条件.
课程内容包括:基本概念;群;环;整环里的因子分解.
二, 课程内容与考核要求
第一章 基本概念
本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础,也是学习本课程各个代数体系的必备知识.其主要内容有
1.集合的概念与运算
2.映射的定义与几种特殊映射的性质
3.卡氏积与代数运算
4.等价关系与集合的分类
考试要求:
掌握集合的概念与运算,掌握集合的交,并,集合的幂集的定义及表示,熟练掌握习题7,8的结论;了解映射的定义与几种特殊映射的性质,掌握映射的合成,熟练掌握定理1.6及习题2,6的结论;掌握代数运算的定义与判定方法, 熟练掌握习题2;掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质,能够由等价关系得出集合分类,并能正确给出商集,熟练掌握习题5,6.
第二章 群
群是具有一种代数运算的代数体系,即具有一个代数运算的集合,它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支.其主要内容有
1.半群的定义及性质
2.群的定义及等价条件
3.元素阶的定义及性质
4.循环群的定义及结构
5.子群及判定条件
6.变换群
7.群的同态与同构,Cayley定理
8.子群的陪集,Lagrange定理
9.正规子群与商群,正规子群的等价条件
10.同态基本定理与同构定理
考试要求:
掌握半群的定义及定理2.1,定理2.2,定理2.3,定理2.4的结论;掌握群的定义及性质,如定理2.5,定理2.6及推论; 熟练掌握群的一些重要例子,如例1,例3,例4,例7,熟练掌握习题2,3,6,9;掌握元素阶的定义及相关重要性质,如定理2.8,定理2.9,定理2.10,熟练掌握例1,例2;熟练掌握循环群的定义,构造及性质,如定理2.11,定理2.12,定理2.13及推论1,推论2, 熟练掌握例5,例6及习题2,3,5,8,9;熟练掌握子群的定义及性质,如定理2.14,定理2.16,定理2.21及例3,例5,习题2,4,5; 掌握变换群的概念及有关结论,熟练掌握次对称群,循环置换的概念及性质,特别是3次,4次对称群元素的表示,运算及性质,如定理2.23,定理2.24,定理2.25,定理2.27,例4及习题4;掌握群的同态,同构的定义,性质以及Cayley定理及定理2.28,定理2.30,会求同态象与同态核,掌握习题1,2;掌握子群陪集的概念及性质,熟练掌握Lagrange定理及及其推论1,推论2,例5,例6,熟练掌握习题2,3, 4,5;掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40, 能够正确判定子群与正规子群, 掌握例1,例2,例4,例6,例7的结论及习题2,3,6,正确掌握商群的概念及性质(推论);掌握并正确使用同态基本定理,熟练掌握复习题二中的第2,4题.
第三章 环
环是具有两中代数运算的代数体系,它也是近世代数中的一个重要分支.其主要内容有
1. 环的定义;整环,除环,域的定义及性质
2. 子环及判定条件
3. 环的同态与同构
4. 理想与商环
5. 素理想与极大理想
6. 商域
7. 多项式环
8. 扩域

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