是A到 的一个同态满射.
6. 设A={所有有理数},A的代数运算是普通加法,证明:A到A的映射
是A的一个自同构映射.
7. 举一个有两个元的群的例,并写出它的运算表.
8. 在一个群G里,若
9. 四次对称群S4的阶是多少 把S4的元
用循环置换的方法写出来.
10. 证明:一个循环群一定是交换群.
11. 证明:阶是素数的群一定是循环群.
12. 设群G=S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},求G的子群
H={(1),(12)}的所有右陪集与左陪集,H是不是一个不变子群
13. 设群G=S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},
证明:G的子群N={(1),(123),(132)}是一个不变子群,并给出商群G/N.
14. 假定G是一个循环群,N是G的一个子群,证明:G/N也是循环群.
15. (1)举一个是交换环,无零因子环,但不是有单位元环的例;
(2)举一个是除环,但不是域的例.
16.(1)举一个是交换环,有单位元环,但不是无零因子环的例;
(2)举一个是除环,但不是整环的例.
17.假定R是一个有单位元的无零因子环,且R对于加法来说作成一个循环群,
证明:R是一个整环.
18.假定R是一个有n( )个元的交换环,且R无零因子,证明:R是一个域.
19.假定R是整数环,证明:(2,5)=(1)
20.假定R是偶数环,证明:(4)是R的最大理想.解答
1. φ1:
φ2:
都 是A×A到A的映射,它们都不是单射.
2. 由下面两表给出的都是A的代数运算:
前一个不适合交换律,后一个适合交换律.
3. φ:
4.
5.
6.
7. G={1,-1}对于普通乘法来说作成一个群(二次单位根群),它的运算表是
又如,模2的剩余类加群,二次对称群都是有两个元的群.
8.由a=a-1,得a2=e,故a的阶是1或2.
9.S4的阶是4!=24
10.设循环群G=(a),那么对于G的任两个元am,an有
aman=am+n=an+m= an am,
故G是一个交换群.
11.设群G的阶为素数p,在G中取一元a≠e,则a生成G的一个循环子群(a),设 (a) 的阶为n,那么n≠1,但由拉格朗日定理,n|p,故n=p,从而G=(a),是一个循环群.
12. H(1)={(1),(12)}, H(12)=H(1);

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