线性代数Linear Algebra刘鹏 复旦大学通信科学与工程系光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn 第四章 线性空间与欧氏空间 例如加法的交换律、结合律,数乘的分配率等等. 加法和数乘运算在很多数学、物理和工程领域中都广泛使用.而且,这两种运算通常都遵循统一的代数法则: 这种运算和相关的定理可以归纳为一套数学系统,即所谓线性空间或向量空间的理论. 线性空间是最基础,也是应有最广泛的空间;同时,也是线性代数最基本的概念之一. 空间(space) 是现代数学最基本的概念之一.(赋范线性空间、巴那赫空间、内积空间、希尔伯特空间…) 在一定意义下, 线性代数就是研究线性空间和线性变换的学科...(比如:矩阵 向量 —向量的运动) 因此,线性空间是对事物特征的抽象 —把实际问题看(抽象)作向量空间, 同学们熟悉的是我们生活的三维空间: 点、距离、运动… —— (对象)集合+变换 (运动) 进而,通过研究向量空间来解决更广泛的 实际问题. 我们已熟知向量的运算规律 § 4.1 线性空间的概念 设?、?、? 是n元向量(例如n=2),k、l 是数域 P 中任意的数 (1) ? + ? = ? + ? 加法交换律 (2) (? + ? ) + ? = ? + ( ? + ? ) 加法结合律 (3) ? + 0 = ? 零向量 (4) ? + (-? ) = 0 负向量 一、线性空间的定义 (5) k (? + ? ) = k? + k? 数量乘法和加法 (6) ( k + l ) ? = k? + l? 数量乘法和加法 (7) ( k l ) ? = k ( l? ) 数量乘法 (8) 1·? = ? 数量乘法 向量对数乘和加法两种基本运算是封闭的, 例如二维、三维几何空间中的向量. 满足上述8条运算定律的数学对象还有很多, 例如: 实数、复数、矩阵,... 我们这类对象的共同属性抽象出来 — 线性空间 即n元向量运算之后的结果仍是 n 元向量. 自然数与整数不满足. 定义 4.1:设V是一个非空集合, P 为一数域,如果以下三个条件被满足,则称非空集合V 是数域 P 上的一个线性空间. (I)在V的元素间给出一个法则,称为加法, 使V中任意两个元素α与β,总有唯一 确定的一个元素 γ 与之对应, 称为 α与β的和,记作 γ= α+β. (II)在V的元素间给出一个法则,称为数量乘法, 使数域 P 中任意一数 k 与V 中任意一个元素 α,在V 中总有唯一确定的一个元素δ与之对应, 称为 k 与α的数量乘积,记作 δ = kα. (III) 对于所给定的加法与数量乘法两种运算满足 以下 8 种 运算规律(公理) (1) ? + ? = ? + ? (2) (? + ? ) + ? = ? + ( ? + ? ) (3) ? + 0 = ? (4) ? + (-? ) = 0 (5) k (? + ? ) = k? + k? (6) ( k + l ) ? = k? + l? (7) ( k l ) ? = k ( l? ) (8) 1·? = ? 当P为实数域 R 时,则称此线性空间为实线性空间. 当P为复数域 R 时,则称此线性空间为复线性空间. 2 .判别线性空间的方法:一个集合,它如果 说明 1. 凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算,称为线性运算. 对于定义的线性运算不封闭(不满足闭包性); 或者,不满足八条运算性质的任一条; 则不能构成线性空间. 例: 实数域上全体 m*n 阶矩阵的集合,对矩阵的加法和数乘运算封闭,构成实数域上的线性空间,记作 R m*n . 例:数域 P 上的全部 n元向量所组成的集合,按n元向量的加法和数乘运算构成数域 P 上的线性空间, 记作 P n ,称为 n 元向量空间. P 取实数域 R ,n=3 ,则R3就是大家熟悉的 三维几何空间. 另外,满足八条线性运算性质 多项式加法和数乘多项式运算满足线性运算规律: 例:数域 P 上一元多项式的全体(包括零多项式)所组成 的集合,按通常的多项式的加法和数与多项式的乘法, 构成数域 P 中的线性空间,记作 P [x] . 例如次数不大于 n 的一元多项式: 另外,满足八条线性运算性质, 所以,构成数域 P 中的线性空间. 例:定义在区间 [a,b]上的全体实连续函数的全体 所组成的集合,对函数的加法和 数与函数的数量乘法,构成实数域上 的线性空间,记为 C[a,b]. f(x) + g(x) = h(x),新函数 h(x) 也是定义在 区间 [a,b]上的实连续函数,即是C[a,b]的元素 —— 加法满足封闭性 k﹒f(x) = d(x),新函数 d (x) 也是定义在 区间 [a,b]上的实连续函数,是C[a,b]的元素 —— 乘法满足封闭性 另外,满足八条线性运算性质, 所以,构成实数域上的线性空间. 1.在线性空间中,零元素是唯一的. 由于 所以 线性空间的简单性质 证明:假设 01和02 是线性空间 V 中有两个零元素,则对于任意α∈V ,满足 2.在线性空间中,负元素是唯一的 证明:假设α有两个负元素β与γ,那么 则有 向量 的负元素记为 所以,负元素是唯一的. 证明 4.如果 ,则或 由于线性空间与 n 元向量空间有许多 本质上相同的性质, 人们经常把线性空间称为向量空间 (vector space) , 把线性空间中的元素称为向量. 考虑过原点的平面,平面上所有向量对于加法和数量乘法构成一个线性空间. 二、子空间的概念 (线性空间局部与整体的关系) 一方面,这些向量是三维几何空间的一部分;另一方面,它们对于原来的运算构成一个线性空间. 定义 4.2: 设W是数域 P 上线性空间 V 的 一个子集,若满足条件: (1) W 是非空的; (2) 如果α,β∈ W, 则α+β∈ W; (3) 如果α∈ W, λ∈ P 则λα∈ W; 那么 W 是V的一个子空间. 例:齐次线性方程组全部解的集合是线性空间 Rn 的一个子空间,称为该齐次线性方程组的解空间. 例:几何空间中,过原点的平面上所有向量构成 几何空间R3 的一个子空间. 由定义,子空间非空且对加法和数乘封闭, 子空间满足8条公理:6条从原线性空间继承;其余两条由线性空间的4条简单性质保证. (3) ? + 0 = ? (4) ? + (-? ) = 0 例: 在线性空间 V 中,由一个零元素组成的子集,是V的一个线性子空间,称它为 零子空间(null subspace) ,记为 {0}. 线性空间 V 也是自身 的一个线性子空间. {0}和V 称为线性空间 V 的平凡子空间(trivial subspaces). V 的其他线性子空间称为 V 的非平凡子空间(或真子空间). 例:对于向量组 由于 所以向量组 S 不是 R 2 的子空间. 本例也说明了运算封闭性的必要性, 本例也对加法运算不封闭性. 解: (1)不构成子空间. 因为对 例: 有即W1 对矩阵加法不封闭,不构成子空间. 对任意 有 于是 显然,W2 非空, 满足 且 练习:令解:由于 所以向量组 S 非空; 再验证满足两个闭包性: 问S是否为 R3 的一个子空间? 故S是R3 的一个子空间. 生成元 (子空间自成体系) 设α1, α2, ..., αn 是数域 P 上线性空间 V 中的一组向量,考虑这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 显然该集合非空,且于V的两种运算封闭. 因此它也是V的一个子空间,称它为由α1, α2, ..., αn 生成/ 张成的子空间 (generated/spanned by …) ,记为: 向量组α1, α2, ..., αn 称为此子空间的生成元 (generator). 例: 在R3中, 向量组 张成的子空间为: 可以验证 Span (e1 , e2) 是R3的一个子空间. 该子空间几何上表示 x-y 平面内的 三维空间向量. 若x是R3中的非零向量,则Span (x) 几何上表示 ? 一条过原点的直线. 在Rn 中,线性无关的向量组可能最多由 r 个向量组成,而任意 r+1个向量都是线性相关的. § 4.2 基、维数和坐标 问题:线性空间的重要特征——在线性空间中, 最多能有多少线性无关的向量? 一、基与维数 定义 4.3: 线性空间 V 中向量组 ε1, ε2 , ..., εn ,如果它满足条件: (1) ε1, ε2 , ..., εn线性无关; (2) 线性空间 V 中任一向量α都可经ε1, ε2 , ..., εn线性表示. 则称此向量组ε1, ε2 , ..., εn是线性空间 V 的一个基 (basis). 线性空间 V 中任一向量都可经基线性表示, 即线性空间可由基张成, 所以基中的元素是构成 V 的基础 — basis. 由前面向量组的讨论,线性空间的基不是唯一的,但是每个基所含向量的个数是唯一的. 所以,基本质上是线性空间 V 的一个 特殊子空间. 定义 4.4: 如果线性空间 V 的一个基所含向量个数为 n,则称 V 为n维空间. n 为线性空间 V 的维数, 记为 dim V = n. 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关的向量时,就称V 是无限维的(infinite-dimensional). 如果线性空间 V 没有基, 那么V的维数为0. 零空间没有基, dimθ= 0. 例如:所有多项式构成的空间是无限维的(why?) n可任意取 例: 在Rn中,向量组 是线性无关的, 且是 R n 的极大无关组,所以 是Rn的一个基, 称为常用基/标准基 (standard basis of Rn ) 从而 R n 的维数是 n ,dim R n = n R n 中的任一向量 α都可用标准基线性表示. ? 例: V = {(x, y, z)T | x+2y?3z = 0} = {(?2y +3z, y, z)T | y, z?R} = y + z ?2y +3z y z ?2 1 0 3 0 1 ?2 1 0 3 0 1 线性无关 ? ?2 1 0 3 0 1 为V的一组基, dimV = 2. 例:求向量组 α1=[1,2,2]T, α 2=[1, 0,-1]T, α3=[2,2,1]T, α 4=[2,4,4]T,的基和维数. 解:将向量组构成矩阵 A=[α1,α2,α3,α4] 可见dim L (α1, α2, ..., α4 ) = 2, (α1 ,α2 ), (α1,α3 ), (α2、α3 )等都是 L (α1, α2, ..., α4 ) 的基. 对于线性方程组 AX=0, 方程组的一个基础解系即为 其解空间一个基,所有解都可以用基础解系线性表示, 例:在二次一元多项式构成的线性空间P[x]2中,向量组 是P[x]2中的一个基,故dim P[x]2 =3. 也是 P[x]2 的标准基. 基础解系不是唯一的,方程组解空间的基也不是唯一的. 这些非零解向量 构成的线性空间叫做AX=0 的 解空间, 也叫零空间(null space)—这个空间的基就是基础解系. 系数矩阵A满秩,解空间就是0维的. 二、向量的坐标 定义 4.5: 设向量组 ε1,ε2,...,εn 是n维线性空间 V 的一个基,α是V中任意一个向量,则有 称数组 x1 , x2 ,…, xn 为向量 α 在基ε1,ε2,...,εn下的坐标(coordinates) ,记为 [x1 , x2 ,…, xn ]T 任意一个向量 α在一个确定的基下的坐标 是唯一的. 这是因为,若向量 α在基 ε1,ε2,...,εn下有两个不同的的坐标 两式相减得 由于基ε1,ε2,...,εn 是线性无关的,故必须有 因此,坐标是唯一的. 例:在线性空间 R3 中,设向量 α=[1,-1,7]T 求 α在下面两个基下的坐标. (1) e1= [1,0,0]T , e2= [0,1,0]T , e3= [0,0,1]T ; (2) ε 1= [1,0,0]T , ε 2= [1,1,0]T , ε 3= [1,1,1]T ; 解:由于 (2) 设α在基 ε 1= [1,0,0]T , ε 2= [1,1,0]T , ε 3= [1,1,1]T 下的坐标为 [x1, x2, x3]T 于是有 在线性空间中,基一般不是唯一的. 同一向量在不同的基下,坐标一般亦是不同的. 例: 对于向量 α在基{e1, e2, e3}下,坐标为(3,3,3)T. α在基{3e1, 3e2, 3e3}下,坐标为(1,1,1)T. 不同的基可视作不同度量单位不同方向的参考坐标系. (尺) (米) 例: 对于R 2 *2 中的矩阵 Eij 也是R 2 *2 的标准基. 定理 4.2: 设α1, α2, ..., αl 是n维线性空间 V 中l 个向量,在V中取定一个基ε1,ε2,...,εn ,如果 αj 在此基下的坐标为 则向量组 α1,α2 ,...,αl 线性相关的充分必要条件是矩阵 的秩 rA< l . 证明: 由已知 表示为矩阵形式,有l个式子合并在一起,有 考察等式 即有 代入 得 由于基ε1,ε2,...,εn 是线性无关的,故必有 由齐次线性方程组有非零解的 充要条件, rA< l . 又由于存在不全为零的数 x1 , x2 , ... , xl 使得 (2.2)成立 向量组α1, α2, ..., αl 线性相关. 向量组α1, α2, ..., αl 线性相关的充要条件是 rA< l . 推论: 定理 4.2 中向量组 α1, α2, ..., αl 线性无关的充要条件是 rA= l. 例:在P[x]3中,取向量组 问向量组是否线性相关? 解:在P[x]3中,先取定一个基为 1, x, x2, x3 ,可得 计算 A 的秩,得rA=3 ,根据 定理4.2,可知向量组是线性相关的. 例: 验证向量组 是R 3的一个基,并求向量 在该基下的坐标. 解:首先讨论向量组的线性相关性,因为 所以 是R 3的一个基.其次求坐标 所以有 ,故向量 在基 下的 坐标为(0,1,-1).
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线性代数Linear Algebra刘鹏 复旦大学通信科学与工程系光华楼东主楼1109 Tel: 65100226 pliu@fudan.edu.cn 第四章 线性空间与欧氏空间 例如加法的交换律、结合律,数乘的分配率等等. 加法和数乘运算在很多数学、物理和工程领域中都广泛使用.而且,这两种运算通常都遵循统一的代数法则: 这种运算和相关的定理可以归纳为一套数学系统,即所谓线性空间或向量空间的理论. 线性空间是最基础,也是应有最广泛的空间;同时,也是线性代数最基本的概念之一. 空间(space) 是现代数学最基本的概念之一.(赋范线性空间、巴那赫空间、内积空间、希尔伯特空间…) 在一定意义下, 线性代数就是研究线性空间和线性变换的学科...(比如:矩阵 向量 —向量的运动) 因此,线性空间是对事物特征的抽象 —把实际问题看(抽象)作向量空间, 同学们熟悉的是我们生活的三维空间: 点、距离、运动… —— (对象)集合+变换 (运动) 进而,通过研究向量空间来解决更广泛的 实际问题. 我们已熟知向量的运算规律 § 4.1 线性空间的概念 设?、?、? 是n元向量(例如n=2),k、l 是数域 P 中任意的数 (1) ? + ? = ? + ? 加法交换律 (2) (? + ? ) + ? = ? + ( ? + ? ) 加法结合律 (3) ? + 0 = ? 零向量 (4) ? + (-? ) = 0 负向量 一、线性空间的定义 (5) k (? + ? ) = k? + k? 数量乘法和加法 (6) ( k + l ) ? = k? + l? 数量乘法和加法 (7) ( k l ) ? = k ( l? ) 数量乘法 (8) 1·? = ? 数量乘法 向量对数乘和加法两种基本运算是封闭的, 例如二维、三维几何空间中的向量. 满足上述8条运算定律的数学对象还有很多, 例如: 实数、复数、矩阵,... 我们这类对象的共同属性抽象出来 — 线性空间 即n元向量运算之后的结果仍是 n 元向量. 自然数与整数不满足. 定义 4.1:设V是一个非空集合, P 为一数域,如果以下三个条件被满足,则称非空集合V 是数域 P 上的一个线性空间. (I)在V的元素间给出一个法则,称为加法, 使V中任意两个元素α与β,总有唯一 确定的一个元素 γ 与之对应, 称为 α与β的和,记作 γ= α+β. (II)在V的元素间给出一个法则,称为数量乘法, 使数域 P 中任意一数 k 与V 中任意一个元素 α,在V 中总有唯一确定的一个元素δ与之对应, 称为 k 与α的数量乘积,记作 δ = kα. (III) 对于所给定的加法与数量乘法两种运算满足 以下 8 种 运算规律(公理) (1) ? + ? = ? + ? (2) (? + ? ) + ? = ? + ( ? + ? ) (3) ? + 0 = ? (4) ? + (-? ) = 0 (5) k (? + ? ) = k? + k? (6) ( k + l ) ? = k? + l? (7) ( k l ) ? = k ( l? ) (8) 1·? = ? 当P为实数域 R 时,则称此线性空间为实线性空间. 当P为复数域 R 时,则称此线性空间为复线性空间. 2 .判别线性空间的方法:一个集合,它如果 说明 1. 凡满足以上八条运算规律的加法及数乘运算,称为线性运算. 对于定义的线性运算不封闭(不满足闭包性); 或者,不满足八条运算性质的任一条; 则不能构成线性空间. 例: 实数域上全体 m*n 阶矩阵的集合,对矩阵的加法和数乘运算封闭,构成实数域上的线性空间,记作 R m*n . 例:数域 P 上的全部 n元向量所组成的集合,按n元向量的加法和数乘运算构成数域 P 上的线性空间, 记作 P n ,称为 n 元向量空间. P 取实数域 R ,n=3 ,则R3就是大家熟悉的 三维几何空间. 另外,满足八条线性运算性质 多项式加法和数乘多项式运算满足线性运算规律: 例:数域 P 上一元多项式的全体(包括零多项式)所组成 的集合,按通常的多项式的加法和数与多项式的乘法, 构成数域 P 中的线性空间,记作 P [x] . 例如次数不大于 n 的一元多项式: 另外,满足八条线性运算性质, 所以,构成数域 P 中的线性空间. 例:定义在区间 [a,b]上的全体实连续函数的全体 所组成的集合,对函数的加法和 数与函数的数量乘法,构成实数域上 的线性空间,记为 C[a,b]. f(x) + g(x) = h(x),新函数 h(x) 也是定义在 区间 [a,b]上的实连续函数,即是C[a,b]的元素 —— 加法满足封闭性 k﹒f(x) = d(x),新函数 d (x) 也是定义在 区间 [a,b]上的实连续函数,是C[a,b]的元素 —— 乘法满足封闭性 另外,满足八条线性运算性质, 所以,构成实数域上的线性空间. 1.在线性空间中,零元素是唯一的. 由于 所以 线性空间的简单性质 证明:假设 01和02 是线性空间 V 中有两个零元素,则对于任意α∈V ,满足 2.在线性空间中,负元素是唯一的 证明:假设α有两个负元素β与γ,那么 则有 向量 的负元素记为 所以,负元素是唯一的. 证明 4.如果 ,则或 由于线性空间与 n 元向量空间有许多 本质上相同的性质, 人们经常把线性空间称为向量空间 (vector space) , 把线性空间中的元素称为向量. 考虑过原点的平面,平面上所有向量对于加法和数量乘法构成一个线性空间. 二、子空间的概念 (线性空间局部与整体的关系) 一方面,这些向量是三维几何空间的一部分;另一方面,它们对于原来的运算构成一个线性空间. 定义 4.2: 设W是数域 P 上线性空间 V 的 一个子集,若满足条件: (1) W 是非空的; (2) 如果α,β∈ W, 则α+β∈ W; (3) 如果α∈ W, λ∈ P 则λα∈ W; 那么 W 是V的一个子空间. 例:齐次线性方程组全部解的集合是线性空间 Rn 的一个子空间,称为该齐次线性方程组的解空间. 例:几何空间中,过原点的平面上所有向量构成 几何空间R3 的一个子空间. 由定义,子空间非空且对加法和数乘封闭, 子空间满足8条公理:6条从原线性空间继承;其余两条由线性空间的4条简单性质保证. (3) ? + 0 = ? (4) ? + (-? ) = 0 例: 在线性空间 V 中,由一个零元素组成的子集,是V的一个线性子空间,称它为 零子空间(null subspace) ,记为 {0}. 线性空间 V 也是自身 的一个线性子空间. {0}和V 称为线性空间 V 的平凡子空间(trivial subspaces). V 的其他线性子空间称为 V 的非平凡子空间(或真子空间). 例:对于向量组 由于 所以向量组 S 不是 R 2 的子空间. 本例也说明了运算封闭性的必要性, 本例也对加法运算不封闭性. 解: (1)不构成子空间. 因为对 例: 有即W1 对矩阵加法不封闭,不构成子空间. 对任意 有 于是 显然,W2 非空, 满足 且 练习:令解:由于 所以向量组 S 非空; 再验证满足两个闭包性: 问S是否为 R3 的一个子空间? 故S是R3 的一个子空间. 生成元 (子空间自成体系) 设α1, α2, ..., αn 是数域 P 上线性空间 V 中的一组向量,考虑这组向量所有可能的线性组合所组成的集合 显然该集合非空,且于V的两种运算封闭. 因此它也是V的一个子空间,称它为由α1, α2, ..., αn 生成/ 张成的子空间 (generated/spanned by …) ,记为: 向量组α1, α2, ..., αn 称为此子空间的生成元 (generator). 例: 在R3中, 向量组 张成的子空间为: 可以验证 Span (e1 , e2) 是R3的一个子空间. 该子空间几何上表示 x-y 平面内的 三维空间向量. 若x是R3中的非零向量,则Span (x) 几何上表示 ? 一条过原点的直线. 在Rn 中,线性无关的向量组可能最多由 r 个向量组成,而任意 r+1个向量都是线性相关的. § 4.2 基、维数和坐标 问题:线性空间的重要特征——在线性空间中, 最多能有多少线性无关的向量? 一、基与维数 定义 4.3: 线性空间 V 中向量组 ε1, ε2 , ..., εn ,如果它满足条件: (1) ε1, ε2 , ..., εn线性无关; (2) 线性空间 V 中任一向量α都可经ε1, ε2 , ..., εn线性表示. 则称此向量组ε1, ε2 , ..., εn是线性空间 V 的一个基 (basis). 线性空间 V 中任一向量都可经基线性表示, 即线性空间可由基张成, 所以基中的元素是构成 V 的基础 — basis. 由前面向量组的讨论,线性空间的基不是唯一的,但是每个基所含向量的个数是唯一的. 所以,基本质上是线性空间 V 的一个 特殊子空间. 定义 4.4: 如果线性空间 V 的一个基所含向量个数为 n,则称 V 为n维空间. n 为线性空间 V 的维数, 记为 dim V = n. 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关的向量时,就称V 是无限维的(infinite-dimensional). 如果线性空间 V 没有基, 那么V的维数为0. 零空间没有基, dimθ= 0. 例如:所有多项式构成的空间是无限维的(why?) n可任意取 例: 在Rn中,向量组 是线性无关的, 且是 R n 的极大无关组,所以 是Rn的一个基, 称为常用基/标准基 (standard basis of Rn ) 从而 R n 的维数是 n ,dim R n = n R n 中的任一向量 α都可用标准基线性表示. ? 例: V = {(x, y, z)T | x+2y?3z = 0} = {(?2y +3z, y, z)T | y, z?R} = y + z ?2y +3z y z ?2 1 0 3 0 1 ?2 1 0 3 0 1 线性无关 ? ?2 1 0 3 0 1 为V的一组基, dimV = 2. 例:求向量组 α1=[1,2,2]T, α 2=[1, 0,-1]T, α3=[2,2,1]T, α 4=[2,4,4]T,的基和维数. 解:将向量组构成矩阵 A=[α1,α2,α3,α4] 可见dim L (α1, α2, ..., α4 ) = 2, (α1 ,α2 ), (α1,α3 ), (α2、α3 )等都是 L (α1, α2, ..., α4 ) 的基. 对于线性方程组 AX=0, 方程组的一个基础解系即为 其解空间一个基,所有解都可以用基础解系线性表示, 例:在二次一元多项式构成的线性空间P[x]2中,向量组 是P[x]2中的一个基,故dim P[x]2 =3. 也是 P[x]2 的标准基. 基础解系不是唯一的,方程组解空间的基也不是唯一的. 这些非零解向量 构成的线性空间叫做AX=0 的 解空间, 也叫零空间(null space)—这个空间的基就是基础解系. 系数矩阵A满秩,解空间就是0维的. 二、向量的坐标 定义 4.5: 设向量组 ε1,ε2,...,εn 是n维线性空间 V 的一个基,α是V中任意一个向量,则有 称数组 x1 , x2 ,…, xn 为向量 α 在基ε1,ε2,...,εn下的坐标(coordinates) ,记为 [x1 , x2 ,…, xn ]T 任意一个向量 α在一个确定的基下的坐标 是唯一的. 这是因为,若向量 α在基 ε1,ε2,...,εn下有两个不同的的坐标 两式相减得 由于基ε1,ε2,...,εn 是线性无关的,故必须有 因此,坐标是唯一的. 例:在线性空间 R3 中,设向量 α=[1,-1,7]T 求 α在下面两个基下的坐标. (1) e1= [1,0,0]T , e2= [0,1,0]T , e3= [0,0,1]T ; (2) ε 1= [1,0,0]T , ε 2= [1,1,0]T , ε 3= [1,1,1]T ; 解:由于 (2) 设α在基 ε 1= [1,0,0]T , ε 2= [1,1,0]T , ε 3= [1,1,1]T 下的坐标为 [x1, x2, x3]T 于是有 在线性空间中,基一般不是唯一的. 同一向量在不同的基下,坐标一般亦是不同的. 例: 对于向量 α在基{e1, e2, e3}下,坐标为(3,3,3)T. α在基{3e1, 3e2, 3e3}下,坐标为(1,1,1)T. 不同的基可视作不同度量单位不同方向的参考坐标系. (尺) (米) 例: 对于R 2 *2 中的矩阵 Eij 也是R 2 *2 的标准基. 定理 4.2: 设α1, α2, ..., αl 是n维线性空间 V 中l 个向量,在V中取定一个基ε1,ε2,...,εn ,如果 αj 在此基下的坐标为 则向量组 α1,α2 ,...,αl 线性相关的充分必要条件是矩阵 的秩 rA< l . 证明: 由已知 表示为矩阵形式,有l个式子合并在一起,有 考察等式 即有 代入 得 由于基ε1,ε2,...,εn 是线性无关的,故必有 由齐次线性方程组有非零解的 充要条件, rA< l . 又由于存在不全为零的数 x1 , x2 , ... , xl 使得 (2.2)成立 向量组α1, α2, ..., αl 线性相关. 向量组α1, α2, ..., αl 线性相关的充要条件是 rA< l . 推论: 定理 4.2 中向量组 α1, α2, ..., αl 线性无关的充要条件是 rA= l. 例:在P[x]3中,取向量组 问向量组是否线性相关? 解:在P[x]3中,先取定一个基为 1, x, x2, x3 ,可得 计算 A 的秩,得rA=3 ,根据 定理4.2,可知向量组是线性相关的. 例: 验证向量组 是R 3的一个基,并求向量 在该基下的坐标. 解:首先讨论向量组的线性相关性,因为 所以 是R 3的一个基.其次求坐标 所以有 ,故向量 在基 下的 坐标为(0,1,-1).