2011/9/3 1 第二篇 线性代数与空间解析几何 线性代数的主要课题: 线性代数源于对线性方程组求解方法和 解的结论的讨论. 它以矩阵为工具研究线性空间之间各类 线性变换性质的数学理论. 2011/9/3 2 线性代数基本内容 行列式、 标准形与二次型. 矩阵、 n 维向量、 线性方程组、 基本理论基础 线性代数特点 以离散变量为研究对象, 抽象性、逻辑性和应用性强 . 2011/9/3 3 第四章 矩阵和线性方程组 *介绍行列式、矩阵的基本概念、性质和运算. *讨论线性方程组的解. §1 行列式 行列式产生于解线性方程组.从消元法 解二元、三元线性方程组来引入二阶和三阶 行列式,将其推广到 n 阶行列式.进而介绍 其的定义、性质和计算方法,最后给出解 线性方程组的 Cramer 法则. 2011/9/3 4 一、n 阶行列式的定义 次对角线 主对角线 二阶行列式 1、二阶行列式 2011/9/3 5 三阶行列式 1)每项为三个元的乘积,所属不同的行、列, 且仅出现一次. 每一项都可写成 是1,2,3 的一个排列; 2、三阶行列式 3、三阶行列式的结构 2011/9/3 6 2) 每项都带有符号 3) 三阶行列式可写成 ? ? 对角线法对四元一次方程组不成立!!! 当n>3时,行列式的代数形式呢? 逆序数:一个排列中,逆序的总和,称为此排列 的逆序数. 4、逆序数的概念 一个数 i 逆序: 即数字 i 的前面比 i 大的数字的个数. 2011/9/3 7 例1、求排列 逆序数. 解: 不构成逆序; 2 前面有 n-1 个数比它大,故有 n-1 个逆序; 4 前面有 n-2 个数比它大,故有 n-2 个逆序; 依次下去,直到前面没有数比它大,故没有逆序; 将所有元素的逆序相加得逆序数: 2011/9/3 8 三阶行列式中正项的情况: 均为偶数, 行数已成自然排列123, 只需考虑列数的情况; 三阶行列式中负项的情况: 均为奇数. 直观地得到 排列 的逆序数 为偶数时,该项符号为正; 排列 的逆序数 为奇数时,该项符号为负. 2011/9/3 9 5、n 阶行列式的定义 称此为 n 阶行列式, n 阶行列式是下列所有这些项的代数和. 把n2 个数 排列成一个有 n 行、 n 列的记号:记为 :第i行第 j 列上的数或元 2011/9/3 10 1)每项为n 个元的乘积,n 个元素是从每一行 中选出,且在不同列上,一般形式为 第一下标:按行 1, 2, …, n 的顺序排列, 第一下标: 是1, 2, …, n 的一个排列, 2)符号确定: 若 的逆序数 为偶数, 为正, 若 的逆序数 为奇数, 为负; 3)n 阶行列式有 n2 个元,共有 n! 项. 说明: 2011/9/3 11 用定义计算一般的行列式十分繁杂不现实! 例2、 求x5 的系数. 2011/9/3 12 性质1 行列式与其置换行列式相等 说明: 6、行列式的性质 即2011/9/3 13 性质2 行列式仅改变符号. 说明: 互换行列式的两行(或两)列, 2011/9/3 14 性质3 行列式中某行(或某列)元素的公因子 可提到行列式的外面. 推论 性质4 行列式中任意两行(或两列)元素对应成比例, 行列式中任意两行(或两列)元素相等, 则该行列式的值为零. 则该行列式的值为零. 2011/9/3 15 性质5 2011/9/3 16 性质6 行列式某行(或列)的各元素乘上常数倍后 加到另一行(或列)的对应元素上,此行列式 的值不变. 2011/9/3 17 性质7 三角行列式等于其对角元素的乘积. 三角行列式 对角行列式 2011/9/3 18 余子式 划去 中元素 所在的行及列, 得到n-1 阶子式(行列式). 记为 称为的余子式. 2011/9/3 19 代数余子式 称为 的代数余子式. 2011/9/3 20 n 阶行列式可定义为 为 的代数余子式. 其中 如2011/9/3 21 性质8 推论 (Laplace 展开定理) n 阶行列式可按第 i 行展开 或按第 j 列展开 2011/9/3 22 二、行列式的计算 记号 1、 表示互换 i , j 两行(列), 或2、 表示第 i 行(列)提取公因子 3、 表示以数 k 乘以第 j 行(列) 各元素加到第 i 行(列)相应元素上去. 2011/9/3 23 例3、计算 例4、计算 例5、计算 (两种方法) 例6、计算 2011/9/3 24 练习 计算 例7、证明 n 阶范德蒙(Vandermonde)行列式 2011/9/3 25 例8、计算 例9、计算 2011/9/3 26 三、克莱姆法则(Cramer 法则) 设含有 n 个线性方程和 n 个未知数的方程, 如果线性方程组的系数行列式 2011/9/3 27 则方程组有唯一解: 其中 是把系数行列式 中j列的元素 用方程组右端的常数项替换后所得到的 n 阶行列式. 第j列2011/9/3 28 证: 1)方程组 有解(存在性), 即 是解; 2) 是唯一解(唯一性). 说明:Cramer 法则适用的条件 1)方程组的方程个数与未知数个数必须相等 2)方程组的系数行列式不等于零 定理 Cramer 定理的逆否定理 如果线性方程组 无解,或有两个不同的解, 则它的系数行列式 2011/9/3 29 定义:1)当b1, …, bn 全为零时, 即 称为 齐次线性方程组. 2)当b1, …, bn 不全为零时, 即 称为 非齐次线性方程组. 2011/9/3 30 结论 显然 是齐次线性方程组的解,称为零解. 非齐次线性方程组的一组不全为零的解,称为非零解. 齐次线性方程组一定有零解, 但不一定有非零解. Cramer 法则的推论 如果齐次线性方程组的 ,则只有零解; 如果齐次线性方程组有非零解,则 如果齐次线性方程组的 ,则有非零解; 如果齐次线性方程组只有零解,则2011/9/3 31 例10、设齐次线性方程组 有非零解,求 的值. 说明:Cramer 法则的意义 给出了解与系数的明确关系,但如果按这 一法则解方程,计算量太大,所以一般不 用其法则来求其解.为此,引出 矩阵的概念及方法.
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2011/9/3 1 第二篇 线性代数与空间解析几何 线性代数的主要课题: 线性代数源于对线性方程组求解方法和 解的结论的讨论. 它以矩阵为工具研究线性空间之间各类 线性变换性质的数学理论. 2011/9/3 2 线性代数基本内容 行列式、 标准形与二次型. 矩阵、 n 维向量、 线性方程组、 基本理论基础 线性代数特点 以离散变量为研究对象, 抽象性、逻辑性和应用性强 . 2011/9/3 3 第四章 矩阵和线性方程组 *介绍行列式、矩阵的基本概念、性质和运算. *讨论线性方程组的解. §1 行列式 行列式产生于解线性方程组.从消元法 解二元、三元线性方程组来引入二阶和三阶 行列式,将其推广到 n 阶行列式.进而介绍 其的定义、性质和计算方法,最后给出解 线性方程组的 Cramer 法则. 2011/9/3 4 一、n 阶行列式的定义 次对角线 主对角线 二阶行列式 1、二阶行列式 2011/9/3 5 三阶行列式 1)每项为三个元的乘积,所属不同的行、列, 且仅出现一次. 每一项都可写成 是1,2,3 的一个排列; 2、三阶行列式 3、三阶行列式的结构 2011/9/3 6 2) 每项都带有符号 3) 三阶行列式可写成 ? ? 对角线法对四元一次方程组不成立!!! 当n>3时,行列式的代数形式呢? 逆序数:一个排列中,逆序的总和,称为此排列 的逆序数. 4、逆序数的概念 一个数 i 逆序: 即数字 i 的前面比 i 大的数字的个数. 2011/9/3 7 例1、求排列 逆序数. 解: 不构成逆序; 2 前面有 n-1 个数比它大,故有 n-1 个逆序; 4 前面有 n-2 个数比它大,故有 n-2 个逆序; 依次下去,直到前面没有数比它大,故没有逆序; 将所有元素的逆序相加得逆序数: 2011/9/3 8 三阶行列式中正项的情况: 均为偶数, 行数已成自然排列123, 只需考虑列数的情况; 三阶行列式中负项的情况: 均为奇数. 直观地得到 排列 的逆序数 为偶数时,该项符号为正; 排列 的逆序数 为奇数时,该项符号为负. 2011/9/3 9 5、n 阶行列式的定义 称此为 n 阶行列式, n 阶行列式是下列所有这些项的代数和. 把n2 个数 排列成一个有 n 行、 n 列的记号:记为 :第i行第 j 列上的数或元 2011/9/3 10 1)每项为n 个元的乘积,n 个元素是从每一行 中选出,且在不同列上,一般形式为 第一下标:按行 1, 2, …, n 的顺序排列, 第一下标: 是1, 2, …, n 的一个排列, 2)符号确定: 若 的逆序数 为偶数, 为正, 若 的逆序数 为奇数, 为负; 3)n 阶行列式有 n2 个元,共有 n! 项. 说明: 2011/9/3 11 用定义计算一般的行列式十分繁杂不现实! 例2、 求x5 的系数. 2011/9/3 12 性质1 行列式与其置换行列式相等 说明: 6、行列式的性质 即2011/9/3 13 性质2 行列式仅改变符号. 说明: 互换行列式的两行(或两)列, 2011/9/3 14 性质3 行列式中某行(或某列)元素的公因子 可提到行列式的外面. 推论 性质4 行列式中任意两行(或两列)元素对应成比例, 行列式中任意两行(或两列)元素相等, 则该行列式的值为零. 则该行列式的值为零. 2011/9/3 15 性质5 2011/9/3 16 性质6 行列式某行(或列)的各元素乘上常数倍后 加到另一行(或列)的对应元素上,此行列式 的值不变. 2011/9/3 17 性质7 三角行列式等于其对角元素的乘积. 三角行列式 对角行列式 2011/9/3 18 余子式 划去 中元素 所在的行及列, 得到n-1 阶子式(行列式). 记为 称为的余子式. 2011/9/3 19 代数余子式 称为 的代数余子式. 2011/9/3 20 n 阶行列式可定义为 为 的代数余子式. 其中 如2011/9/3 21 性质8 推论 (Laplace 展开定理) n 阶行列式可按第 i 行展开 或按第 j 列展开 2011/9/3 22 二、行列式的计算 记号 1、 表示互换 i , j 两行(列), 或2、 表示第 i 行(列)提取公因子 3、 表示以数 k 乘以第 j 行(列) 各元素加到第 i 行(列)相应元素上去. 2011/9/3 23 例3、计算 例4、计算 例5、计算 (两种方法) 例6、计算 2011/9/3 24 练习 计算 例7、证明 n 阶范德蒙(Vandermonde)行列式 2011/9/3 25 例8、计算 例9、计算 2011/9/3 26 三、克莱姆法则(Cramer 法则) 设含有 n 个线性方程和 n 个未知数的方程, 如果线性方程组的系数行列式 2011/9/3 27 则方程组有唯一解: 其中 是把系数行列式 中j列的元素 用方程组右端的常数项替换后所得到的 n 阶行列式. 第j列2011/9/3 28 证: 1)方程组 有解(存在性), 即 是解; 2) 是唯一解(唯一性). 说明:Cramer 法则适用的条件 1)方程组的方程个数与未知数个数必须相等 2)方程组的系数行列式不等于零 定理 Cramer 定理的逆否定理 如果线性方程组 无解,或有两个不同的解, 则它的系数行列式 2011/9/3 29 定义:1)当b1, …, bn 全为零时, 即 称为 齐次线性方程组. 2)当b1, …, bn 不全为零时, 即 称为 非齐次线性方程组. 2011/9/3 30 结论 显然 是齐次线性方程组的解,称为零解. 非齐次线性方程组的一组不全为零的解,称为非零解. 齐次线性方程组一定有零解, 但不一定有非零解. Cramer 法则的推论 如果齐次线性方程组的 ,则只有零解; 如果齐次线性方程组有非零解,则 如果齐次线性方程组的 ,则有非零解; 如果齐次线性方程组只有零解,则2011/9/3 31 例10、设齐次线性方程组 有非零解,求 的值. 说明:Cramer 法则的意义 给出了解与系数的明确关系,但如果按这 一法则解方程,计算量太大,所以一般不 用其法则来求其解.为此,引出 矩阵的概念及方法.