第四章DFT与Z转换的应用
由第三章延伸，应用DFT与Z转换的理论求出输出的响应，并分析系统的特性以及行为.
为了改善DFT的运算量，介绍FFT理论.
DFT的应用----4.1.1 以DFT与IDFT求输出响应
输入信号x(n)的DFT与系统特性的DFT进行相乘，再将此结果予以Inverse-DFT即可得到输出的响应y(n).其示意图如图4.1-1.
图4.1-1 DFT求出输出响应示意图
图4.1-2 以DFT求出输出响应与环形摺积比较图
4.1.2 快速傅立叶转换(FFT)
FFT运用的方法有两个方式，一为在时间上消去法，称为Decimation-in-time，另一为在频率上消去法，称为Decimation-in-frequency.这两种方法其实并未脱离FFT的运算精神，也就是蝴蝶运算(Butterfly computation).
以下分成三个部份来谈FFT，一为位元反置(Bit-reverse)，第二为2的基数演算法(Radix-2 FFT algorithm)，最后谈到FFT的真正运作方式，蝴蝶演算法.
位元反置
将二进位表示法的位元头尾位置互换.
2的基数演算法
执行DFT运算的切割数N订为，如此才能做位元反置的动作.同时每做完一次步骤，旋转因子切割为二，也就是其次方增加二倍.
蝴蝶演算法
以图形的形状类似一只只的蝴蝶而称之.把输入序列执行切割数为N的DFT，N与执行蝴蝶运算的步骤数与乘法数以及旋转因子有关.经过位元反置后的输入序列，第一步产生N/2只蝴蝶，第二次产生N/4只蝴蝶，依此类推，直到只剩下一只蝴蝶即停止运算，运算完成的DFT结果为依序0至N-1的X(k).以下先以一只蝴蝶的结构说明.如图4.1-3
图4.1-3 单只蝴蝶结构图
如果是切割数N为4，如图4.1-4，
图4.1-4 二只蝴蝶结构图
图4.1-5 DFT64点运算结果图
图4.1-6 FFT64点运算结果图
Z转换的应用------4.2.1 Z转换之转移函数
转移函数(Transfer function)又称为系统函数(System function)，是在频域分析时，输入与输出的响应比值，在做数位信号处理时，一般都用Z转换来求取转移函数，表示成，示意图如图4.2-1.
图4.2-1 输出Z转换示意图
图4.2-2 零态响应输出结果图
图4.2-3 含初始值响应输出结果图
图4.2-4 零态响应输出结果图
图4.2-5 含初始值的响应输出结果图
图4.2-6 零态响应输出结果图
图4.2-7 含初始值的响应输出结果图
4.2.2 利用freqz求Z转换的频率响应
以freqz的指令可以求解以Z转换表示的转移函数的频率响应
图4.2-8 转移函数频率响应大小图
图4.2-9 转移函数频率响应相位图
图4.2-10 转移函数频率响应大小图
图4.2-11 转移函数频率响应相位图