高等数学电子教案
第三节 幂 级 数
前面我们已经研究了常数项级数,下面将继续研究函数
一.函数项级数的一般概念
设u1(x),u2(x),...un(x)...都是定义在某一区间I上的函数序列,
项级数.这是比常数项级数具有更加广泛意义的级数.
则表达式u1(x)+u2(x)+...+un(x)... (1) 称为在I上的函数项级
数,记为
对于I上的任一定点x0,函数序列就成为数列,此时函数项
级数
u1(x)+u2(x)+...+ un(x)... (1)
就成为
u1(x0 )+u2(x0 )+...+un(x0 )... (2)
这个级数(2)就是常数项级数
对于I上的不同的点,就有不同的常数项级数,所以函数项
级数和常数项级数的关系是一般和特殊的关系.这样我们可
以把常数项级数的有关理论和审敛法的知识应用到函数项
级数中来.
级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,我们称点x0是函
注意:I上的点若不是收敛点就是发散点,收敛域可能是区间,
数项级数(1)的收敛点;如果(2)发散,我们称点x0是函数项级
数(1)的发散点
函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所
有发散点的全体称为它的发散域.
也可能是孤立点,还可能是空集.
对应于收敛域内的任意一个数x,函数项级数成为一收敛
我们仍把rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数
项级数的余项(当然,只有x在收敛域rn(x)才有意义),于是有
的常数项级数,因而有一确定的和S.这样在收敛域上,函数
项级数的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数的和
函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,写成
S(x)= u1(x)+u2(x)+...+un(x)...
把函数项级数(1)的前n项的部分和记作Sn(x),则在收敛
域上有
判断函数项级数的收敛性仍然和常数项级数一样,有
(1)和函数极限的存在性.
(2)比值判别法
(3)根值判别法
例1 讨论下函数项级数的收敛域并求和函数
解:函数项级数的定义域是(-∞,+∞) 当|x|≠1时,由公比
为x的等比数列求和公式,可得到

下一页