8.8 同构及同态
8.8.1 同态映射
定义8.30 设 G 是一个群,K 是一个乘法系统,G 到 K 的一个映射 σ 说是一个同态映射,如果
σ(ab)=σ(a)σ(b)
定理8.17 设 G 是一个群,σ是 G 到 K 中的一个同态映射,则 G 的映象 =σ(G)是一个群,G 的单位元 1 的映象σ(1) 就是 G' 的单位元 1',而 a 的逆 a 1 的映象σ(a 1) 就是 a 的映象 σ(a) 的逆 σ(a) 1:
σ(a 1)=σ(a) 1.
证明:因为 G 非空,显然非空.
要证做成群,首先要证中任意两个元素可以相乘,
即设 ∈ , ∈ ,要证 , ∈ .
事实上, =σ(a), =σ(b),按σ的同态性
σ(ab)=σ(a)σ(b)= ,
故 是 G 的元素 ab 的映象,因而 ∈ .
再证 中结合律成立.设 , , ∈G,
则 ( ) = ( ) .
事实上, =σ(a), =σ(b), =σ(c),
又因为群 G 中有结合律成立,
所以 a(bc)=(ab)c.
于是 σ(a(bc))=σ((ab)c).
按σ 的同态性,推出
σ(a)σ(bc)=σ(ab)σ(c)
σ(a)(σ(b)σ(c))=(σ(a)σ(b))σ(c)
即
( ) = ( )
兹证 有左逆而且就是σ(1),即对于任意的 ∈ ,
有 σ(1) = .
事实上, =σ(a),按 σ 的同态性
σ(1) =σ(1)σ(a)=σ(1a)=σ(a)=
再证 中的任意元素 有左逆而且就是 σ(a 1).
事实上, =σ(a),由σ 的同态性
σ(a 1) =σ(a 1)σ(a)=σ(a 1a)=σ(1)
因此, 做成一个群, 的逆 =σ(1),
中 的逆是 σ(a 1).
G 说 是同态,记为 G~ .
【例8.44】设 (G, *),(K, ) 是两个群,令
σ:x e, x∈G,其中 e 是 K 的单位元
则σ是 G 到 K 内的映射,且对 a, b∈G,有
σ(a*b)=e=σ(a) σ(b)
即,σ 是 G 到 K 的同态映射,G~σ(G).
σ(G)={e}是K的一个子群.
这个同态映射是任意两个群之间都有的.
【例8.45】设 (Z, ) 为整数加法群,(C*, ) 是所有非零复数在数的乘法下作成的群,令

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