σ:n in, n∈Z,其中 i 是 C 的虚数单位
则 σ 是 Z 到 C* 内的一个映射,且对 m, n∈Z,有
σ(m n)=im n=im in=σ(m) σ(n)
即σ是 Z 到 C* 的同态映射,Z~σ(Z).
σ(Z)={1, 1, i, i} 是 C* 的一个子群.
8.8.2 同构映射
定义8.31 设 G 是一个群,K 是一个乘法系统,σ 是 G 到 K 内的一个同态映射,如果σ 是 G 到 σ(G) 上的 1-1 映射,则称σ是同构映射.称 G 与σ(G) 同构,记成 G .
同构的群或代数系统,抽象地来看可以说毫无差别.如果 G 只和 同态,则由于 G 中两个或多个元素可能变成 的一个元素,所以不能说是 G 和 构造一样,但因为 G 中的乘法关系在 中仍对应地成立,所以,可以说 是 G 的一个缩影,对 G 的缩影的研究,当然是对 G 进行研究的重要内容或重要方法.
【例8.46】设 (R , ) 是一切正实数在数的乘法下作成的群,(R, ) 是实数加法群.令
σ:x logx, x∈R
则 σ 是 R 到 R 上的 1-1 映射,且对 a,b∈R ,
σ(a b)=log(a b)=loga logb=σ(a) σ(b).
故 σ 是 R 到 R 上的同构映射.
Logx 是以 e 为底的 x 的对数,若取 σ(x)=log2 x,或若取 σ(x)=log10 x,则得到 R 到 R 上的不同的同构映射.由此可见,群间可存在好多个甚至是无限多个同构映射.
此例中 (R , ) (R, ),如果将 R 换成 R*,即换成非零实数集,那么 (R*, ) 与 (R, ) 能否同构呢
【例8.47】 (R*, ) 与 (R, ) 不可能同构.
证明:用反证法.
假设 (R*, ) 与 (R, ) 同构,可设映射σ为 R* 到 R 上的一个同构映射,于是必有
σ: 1 0
1 a, a 0
从而,σ(1)=σ(( 1) ( 1))=σ( 1) σ( 1)=a a=2a.
则有 2a=0,a=0,与 a 0 矛盾.
故原假设不对,(R*, )与(R, ) 不可能同构.
【例8.48】无限循环群同构于整数加法群.
证明:设 G=(g) 是无限循环群,Z 为整数加法群,则对 a∈G, n∈Z,使得 a=gn,则令 f:a n.不难验证 f 是 G 到 Z 上的同构映射.因此,G Z.
定义8.32 设 G 是一个群,若σ是 G 到 G 上的同构映射,则称σ为自同构映射.

自同构映射的最简单的例子就是恒等映射,称为恒等自同构映射.在恒等自同构映射下,群中每个元素都保持不变.下面再举几个自同构映射的例子.
【例8.49】设 (Z, ) 是整数加法群,令σ:n n, n∈Z,则σ 是 Z 的一个自同构映射.
【例8.50】设 G 是一个 Abel 群,将 G 的每个元素都映到其逆元素的映射 σ:a a 1,a∈G,是 G 的一个自同构映射.

此例包含上例为特例.如果 G 包含元数不等于 1 或2,那么该自同构映射不是恒等自同构映射.
8.8.3 同态核
定义8.33 设σ是 G 到上的一个同态映射,命 N 为 G 中所有变成中的元素 g 的集合,记为σ 1(1'),即
N=σ 1(1')={ g∈G∣σ(g)=1' }
将 N 叫做σ的核.
定理8.18 设 σ 是 G 到上的一个同态映射,于是,σ 的核 N 是 G 的一个正规子群,对于 G' 的任意元素 a' ,
σ 1(a')={x | x∈G, σ(x)=a' }
是 N 在 G 中的一个陪集,因此,G' 的元素和 N 在 G 中的陪集一一对应.
证明:先证 N 是 G 的子群.
(1) 证 N 非空.因为σ(1)=1',所以 1∈N

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