第8章
概率论基础
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
本章的学习目标 理解概率的古典和测度定义以及相关的性质; 理解随机变量的测度定义以及它的分布函数和密度函数; 了解随机变量的收敛方式和重要的收敛定理; 掌握数学期望的测度定义和性质; 明确条件概率,理解数学期望的测度定义; 掌握条件数学期望的重要性质,明确独立性的定义; 掌握随机变量的重要数值特征,例如方差,协方差,矩母函数和特征函数; 了解线性概率空间的概念和它同一般线性空间的联系; 熟悉几种重要分布的定义,数值特征以及它们在构造金融模型时的应用; 了解大数定理和中心极限定理. (微观)金融理论研究涉及的核心问题有两个,一个是不确定性,另一个是时间或者 说动态过程.而概率理论正是构造不确定环境下金融模型的基本工具,而且它还是第 9 章 随机过程理论的基础,因此它在金融分析和金融分析工具中的重要性是不言而喻的. 我们这样安排本章内容:首先简要的回顾初等概率论中的概率和随机变量定义,然后 用严格的测度语言重新表述一次.接下来考察在随机分析中非常重要的数学期望和条件数 学期望的概念和性质.对于有经验的读者,建议在学习完以上内容后,直接进入与之紧密 联系的第 10 章——鞅. 然后我们进一步考察随机变量的主要数值特征.借助这些数值特征,我们描述几个在
微观金融学及其数学基础
研究金融资产价格运动时必须牢固把握的概率分布 ① ,最后则是对极限定理的一个简要 探讨.
8.1
8.1.1 初等情形
概率公理和随机变量
最早对于概率行为的研究兴趣可能是从赌博开始的.例如,早期的研究者很认真地探 讨在抛硬币猜正反的赌博中,连续开 20 次"花"的机会有多少 这里的概率一词可以做多 种理解: 1.首先,它可以被解释为基于某种实际测量的相对频率(frequency) .例如,掷一枚 质地均匀的硬币,出现某一面朝上的频率最终会稳定下来.用 N 表示试验总次数,用 n 表 示某种情形发生的次数,则概率就可以定义为
P= n N
(8-1)
显然,这个相对频率只有趋于稳定,该种概率定义才有意义.历史上有一些著名的例 子可以作为这种解释的脚注,如表 8-1 所示的掷硬币试验.
表 8-1 实验者 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 掷币总次数 4040 12000 24000 作为频率意义上的概率 出现正面次数 2048 6018 12012 频率 0.5068 0.5016 0.5005
尽管这种定义相当直观,并且在工程中广泛应用,但是怎样才算是所谓"大量"或者"稳 定"呢 这类词汇是无法严格定义的,因此,这种概率定义不符合严格的数学表述规范. 2.古典(classical)定义.概率的古典定义可以视为给定前提下的一个先验的推理体 系.我们知道,在掷硬币的试验中: (1) 出现的结果将不止一个, 但是所有可能发生的结果在事前都是可知的 (非字即花,
①
按照我们国家现有的教学体系,大多数理工科的读者对于密度函数,条件期望等初等概率论中的内容相当熟悉,但是考虑到 后续课程是随机过程,则这些准备还远远不够.如何自然地向读者阐述滤波,鞅,测度变换这些重要的概念和方法,是我们 面临的挑战.众所周知,现代概率论以测度论(measure theory)为基础,但是完全掌握测度理论也并非必要.因此在复习 和学习概率论时采用什么样的方法,我们仍然有一些疑问.如果从测度论着手研究,尽管会对以后深入学习随机过程的一般 理论有明显的好处,但对于初学者来说,则显得负担太重;而从基本的初等概率开始,又会妨碍我们透彻地理解概率和随机 过程理论中的一些深层次问题.因而我们只能进行一些必要的折衷作为一种尝试,希望能在这个过程中和读者一起找到最适 当的方法.
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概率论基础
只有两种可能) ; (2)在掷下去前,不知道哪一种结果会发生; (3)可以重复地掷. 有着类似特征的行为,被称为随机试验(stochastic experiment) .只要再加上一点,即 每种结果发生的可能性都相等,它就构造出所谓"古典"的概率模型.古典概型可以明确 地计算随机试验中获得某些结果的概率.例如,掷一枚质地均匀的骰子,掷出奇数点的概 率是 1/6+1/6+1/6=1/2.但是古典概型的前提是很严格的,它要求试验结果发生的等概率 性,这就限制了它的应用范围. 3. 公理化定义. 这需要先引入一些基本概念. 上述随机试验的每一个结果 (outcome) , 所有样本点的总和被称为样本空间Ω (sample space) ; 称为样本点 (sample point) 记为 ω ; , 称包含若干样本点的集合为事件 (event) 每一个样本点又可以称为基本事件 , (basic event) . (sure event) 称不包含任何样本点的空集 为不可能事件 , (impossible 称空间Ω为必然事件 event) . 定义 8.1.1 概率就是对于任一个事件 A 指定的一个数 P( A) ,它满足:

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