九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日1变分法上的最速降线之研究 Calculus of Variation -the Brachistochrone Problem 李柏坚 Bor- Jian Lee 中华技术学院共同科讲师 中文摘要 考虑点 A 和位置较低的点 B 以一条直线 相连,在不考虑摩擦力的前提下,一颗 静止的滚珠由 A 点滑向 B 点,现在我们 直线换成曲线试试看,以哪种线作为路 径,花费的时间可以最少? 花费的时间最 少的曲线就称为最速降线.伽利略认为 最速降线必是圆弧,但约翰白努利不认 为如此,为了解决这个问题,柏努利开 创了变分学这门学问. Abstract Consider a point A is joined by a straight wire to a lower point B, and that a bead is allowed to slide without friction down the wire from A to B. We can also consider the case where the wire is bent into an arbitrary curve. In which case does a bead take the least time? The curve with the least time is called the brachistochrone. Galileo believed that the bead would descend more quickly along a circle path, but Johann Bernoulli did not think so, for it was the analysis of this problem by Johann Bernoulli who attempted to solve the argument, that led to the formal foundation of the calculus of variation. Keywords: brachistochrone, tautochrone, geodesic 关键词:最速降线,等时曲线,测地线 一、简介 brachistochrone 源於希腊文,意思是最快 时间,这是一个古老的问题,谈到这个 问题,就不能不提到柏努利,柏努力不 是指一个人,而是指整个柏努利家族, 这个家族出了许多伟大的数学家,与brachistochrone 问题有关的,就是柏努利 兄弟约翰(Johann) 1 和雅各(Jacob) 2 ,十 七世纪末,弟弟 Johann Bernoulli 公开徵 求问题解答 3 ,他自己也求出了解答, 不过他采用的方法用到物理观念,而哥 哥Jacob Bernoulli 用的方法,就是现在我 们所用的变分法,虽然两人解出的答案 一样,为了这个问题的解法,弟弟约翰 受到哥哥的批评,兄弟感情弄到决裂. 在本文中,我们先将早期以物理的角度 证明方式所需要的物理定律、计算过程 做一完整说明(Johann 法),并将所得结果 和其他常见的曲线做一比较.最后再看 看以变分方式所得的结果(Jacob 法)有何 不同?本文以通俗数学和历史的角度探索 变分法的由来,再将变分法的应用及发 展做一简单介绍. 定义: 方程式 ( sin ) (1 cos ) x a y a θ θ θ = ? = ? 为摆线(cycloid)方程式的标准式,它是一 个圆沿著 x 轴滚动 , 由圆上的一固定点所 成的轨迹. 定理:斯乃尔(Snell) 折射定律 4 考虑光线以 1 v 为速率由 A 点出发, 到达 P 点,再以 2 v 为速率由 P 点进入一 密度较高的介质到达 B 则 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日21212sin sin v v α α = 其中 1 2 , α α 为与法线的夹角,如下图 证明: 由A点出发,到达 P 点,再以 2 v 为速率 由P点进入一密度较高的介质到达 B , 总 共所耗用的时间为 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) c x b x a T x v v ? + + = + 若要耗用的时间最少,则0dT dx = 得2222120()xcxvxavcxb??=+?+故得到 1 2 1 2 sin sin v v α α = 推广:若通过多种介质(密度渐渐增高), 如下图 根據前面的结果,可知 3 1 2 4 1 2 3 4 sin sin sin sin v v v v α α α α = = = 费马最小时间定理: 光线进入连续变化密度的介质,光线不 再以直线进行,而是以曲线取代直线, 并满足 sin v α = 常数 光学上的费马定理意思是说 , 光线由点 A 行进到点 B 的路径,为最短时间的路径, 在均匀的介质中,路径应该就是直线, 但折射率有变化的介质中路径就會弯 曲. 二、Brachistochrone 的古典证明 (Johann Bernoulli 方法) 定理:最速降线为摆线 证明: 假设滚珠如同光线一般能找寻花费最少 时间的路径,如下图,根據费马最小时 间定理,我们要求 sin v α = 常数 再由能量守恒定律,A 点的位能转成 P 点的动能 2 1 2 mv mgy = 2 v gy = 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日3211sin cos sec 1 tan α β β β = = = + 2 1 1 ( ) dy dx = + (此处 2 π β α = ? ,β 是与 x 轴的夹角,切 线斜率 tan dy dx β =? ) 因为 sin v α = 常数 2 1 2 (1 ( ) C dy gy dx = + ,也就是 2 [1 ( ) ] dy y k dx + = 2 ( ) 1 dy k dx y = ? ( ) dy k y dx y ? = 变成一个可变数分离常微分方程式 y dx dy k y = ? 两边积分得 y dx dy k y = ? ∫ ∫ 令2sin y k θ = 2 sin cos dy k d θ θ θ = tan 2 sin cos x k d θ θ θ θ = ? ∫ 2 2 sin k d θ θ = ∫ (1 cos2 ) k d θ θ = ? ∫ 1 ( sin 2 ) 2 k θ θ = ? 因为 1 (2 sin 2 ) 2 x k θ θ = ? 2 1 cos2 sin ( ) 2 y k k θ θ ? = = (1 cos2 ) 2 k θ = ? 在此将变数 2 k a = ,2θ φ = 於是得到了最速降线的参数式 ( sin ) (1 cos ) x a y a θ θ θ ? = ? ? ? ? ? = ? ? ? 就是摆线(cycloid)的标准式 三、摆线的 tautochrone 性质 5 定理:摆线为等时曲线 证明:根據 ds vdt = AB ds t v = ∫ 计算由 A(0,0) 点经由摆线路径滑到 座标 B( , 2 ) a a π ? 所花费的时间 0 2 AB ds t gy π = ∫ 0 2 (1 cos ) ds ga π θ = ? ∫ 因为 2 2 ( ) ( ) ds dx dy = + 2 2 (1 cos ) (sin ) a d θ θ θ = ? + 2 2cos a d θ θ = ? 0 2 (1 cos ) AB ds t ga π θ = ? ∫ 0 2(1 cos ) 2 (1 cos ) a d ga π θ θ θ ? = ? ∫ 0 a d g π θ = ∫ a g π = 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日4现在再考虑滚珠由中途任一点 A′ 出 发滑到座标( , 2 ) a a π ? ,则所花费的 时间 0 0 2(1 cos ) 2 (cos cos ) A B a t d ga π θ θ θ θ θ ′ ? = ? ∫ 0 0 2 sin( / 2) (cos cos ) a d g π θ θ θ θ θ = ? ∫ 以一律化为半角方式整理 0 2 2 0 2 sin( / 2) (cos ( / 2) cos ( / 2)) a d g π θ θ θ θ θ = ? ∫ 0 2 0 2 0 2 sin( / 2) cos( / 2) cos ( / 2) 1 cos ( / 2) a d g π θ θ θ θ θ θ = ? ∫ 令0cos( / 2) cos( / 2) u θ θ = ,则0sin( / 2) cos( / 2) du d θ θ θ =? 0 2 1 2 1 PB a du t g u =? ? ∫ 1 2 (1) a a Sin g g π ? = = 证明了滚珠由相同摆线上的 A 与A′ 点出 发到达 B ,所耗用的时间相同而与 0 θ 无关.这个性质,最早由荷兰数学家惠更 斯6发现. 四、在相同条件下各种不同曲线耗 费时间比较 为了方便与摆线比较,我们一律考虑由 A(0,0)到B( , 2 ) a a π ? 的不同路径,计算 由A到B所耗用的时间时,常會出现困 难的定积分,只得近似值比较,在此的 定积分一律以 Maple 程式算到小数点下 九位,以利比较. (1) 路径为直线: 通过点(0,0)与( , 2 ) a a π ? 的直线 为等加速度运动 以等加速度的位移公式 2 1 cos 2 s g t α = ? 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 4 AB a a a g t a a π π + = + 2 2 4 ( 4) AB a a a t g g π π + + = = a g ? ( 3.724191778 ) (2) 路径为圆弧: 圆弧路径可以用单摆的方法求时间 2 1 ( cos cos ) 2 mv mg r r θ α = ? s rθ = 且()ds d v r dt dt θ = = 2 2 1 (cos cos ) 2 d r ga dt θ θ α ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? 因为t / 则θ 2 故2cos cos r d dt g θ θ α =? ? 通过点(0,0)以圆弧路径到达 ( , 2 ) a a π ? 所耗用的时间 0 2 cos cos AB r d t g α θ θ α =? ? ∫ 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日502cos cos r d g α θ θ α = ? ∫ 2 0 ( 4) 8 cos cos d a g α π θ θ α + = ? ∫ 这里的单摆摆长 2 ( 4) 4 r a π + = ,且224cos 4 π α π ? = + 因为上式定积分化简后會成为椭圆积 分,椭圆积分无法以初等函数来表示, 故只得以近似值算出 2 0 ( 4) 8 cos cos AB a d t g α π θ θ α + = ? ∫ 以电脑计算精确至小数点下第九位,得到20(4) 8 cos cos d α π θ θ α + ? ∫ 3.178908586 ,故以圆弧路径花费的时 间AB a t g ? ( 3.178908586 ) (3) 路径为抛物线: 抛物线方程式为 2 2 2 4 y x x a π π = ? 2 0 1 ( / ) 2 a AB dy dx t dx gy π + = ∫ 2 4 2 0 2 2 1 1 (4 4 ) 2 4 2 a x a dx a g x x a π π π π π + ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫ 令xau π = ,dx a du π = 1 2 2 2 0 1 (16/ )( 1) 4 ( 2 ) AB u t a du ag u u π π + ? = ? ∫ 1 2 2 2 0 1 (16/ )( 1) 4(2 ) u a du ag u u π π + ? = ? ∫ 这积分式经化简后后也是椭圆积分,以 数值方法估计 1 2 2 2 0 1 (16/ )( 1) 4(2 ) u du u u π + ? ? ∫ 1.042889818 AB a t g = ?( 3.276334991 ) (4) 路径为正弦函数: 正弦函数方程式为 2 sin( ) 2 x y a a =? 2 0 1 ( / ) 2 a AB dy dx t dx gy π + = ∫ 2 0 1 cos ( / 2 ) 2 2 sin( / 2 ) a x a dx g a x a π + = ? ∫ 变数变换,令,22xdx u du a a = = 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日6则22011cos 2 4 sin AB u t a du ag u π + = ∫ 2 2 0 1 cos sin a u du g u π + = ∫ a g ?( 3.363634728 ) 由A点以不同路径时到达B所费时间 直线2(4)a g π + 摆线agπ圆弧2124cos ( ) 2 4 2 0 2 ( 4) 8 4 cos 4 a d g π π π θ π θ π ? ? + + ? ? + ∫ 抛物线122201(16/ )( 1) 4(2 ) u a du ag u u π π + ? ? ∫ 正弦函数2201cos sin a u du g u π + ∫ 时间近似值( ) a g = 时 直线 3.724191778 摆线 3.141592654 圆弧 3.178908586 抛物线 3.276334991 正弦函数 3.363634728 由上表可以看出,摆线所耗时间最短, 圆弧次之,抛物线第三,正弦函数第四, 直线虽然距离最短,但却是最慢的. 五、变分法的几何意义与基本方程 式 在初等微积分中我们都知道若单变 数函数 ( ) f x 的极值的求法,在物理、工程、几何上,我们也是经常需要寻找极 小(大)值,例如:最少时间、最小能量、 最短距离、最小(大)面积……等.我们 经常需要寻求下面线积分 2 1 ( , , ) x x I f x y y dx ′ = ∫ 的极小值, 变分法的技巧就是在 ( ) y x 的近傍加入一 族群的参考函数(包含 ( ) y x ),加上一个 参数α ,当使原积分式扩充为 ( ) I I α = , 如果 ( ) y y x = 能够使上式积分值发生极 值,便可以用初等微积分的方式求解, 这就是为何我们将 calculus of variation 称 为变分法的原因了,变分方法如下: 在推导过程中,需要用到微分,我们只 针对一些「好」(well-behaved)的函数, 在此,先假设 ( , , ) f x y y′ 与212 y x C x x ∈ 注: 2 C 表示连续两次可微分,微分后亦 为连续函数 加入一新函数 ( ) x η , 2 1 2 x C x x η ∈ ,且 满足边界条件 1 2 ( ) ( ) 0 x x η η = = 令 y x y x x αη = + y x y x x αη ′ ′ ′ = + 当0α=时, y x y x = ,如下图 2 1 ? ? x x I f x y y dx α ′ = ∫ 2 1 x x f x y x x y x x dx αη αη ′ ′ = + + ∫ 由於 ( ) y y x = 能够使上式积分值发 生极值,故 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日70()0Iαα=′=21?? x x I f x y y dx α α ? ′ ′ = ? ∫ , 因为 ? ? ? ? ( , , ) ? ? f x f y f y f x y y x y y α α α α ′ ′ = + + ′ ( ) ( ) ? ? f f x x y y η η ? ? ′ = + ′ ? ? 2 1 ( ) ( ) 0 x x f f x x dx y y η η ? ? ? ? ? ? ′ + ? = ? ? ? ? ? ′ ? ? ? ? ∫ 积分第二式,以分部积分法展开,得2211()()xxxxffxxdyyηη?????????????′′????∫21()xxdfxdx dx y η ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ′ ? ? ? ∫ ,故原式 2 1 ( ) 0 x x f d f x dx y dx y η ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ?? ? ? ? ? ? ∫ 因为 ( ) x η 为可变化的函数,不會恒为 0 故得到 0 f d f y dx y ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ′ ? ? ? ? 上式就是著名的欧拉 7 (Euler)方程式. 直接以 Euler 方程式找极值有时并不方 便,下面两个引理对於特殊状况求解比 较方便 引理一 若 f x y y f x y ′ ′ = 则Euler 方程式可 改写成 f C y ? = ′ ? 引理二 若 f x y y f y y ′ ′ = 则Euler 方程式可 改写成 f y f C y ? ′? = ′ ? 证明:因为 d f d f f y y y dx y dx y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′′ ?= ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? d f f dy f dy f dx x y dx y dx ′ ? ? ? = + + ′ ? ? ? f f f y y x y y ? ? ? ′ ′′ = + + ′ ? ? ? d f d f f f f y dx y dx y y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ? ?= ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 d f y f dx y ? ? ? ? ? ′? ?= ? ? ? ? ? ′ ? ? ? 得到 f y f C y ? ′? = ′ ? 得证 ( 0 f x ? = ? ,中括弧内为 Euler 方程式) 六、应用 Euler 方程式求解 (1) Brachistochrone 问题 (Jacob Bernoulli 方法) 现在考虑的问题为时间的极值 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 x x AB x x y ds t dx v gy ′ + = = ∫ ∫ 此处 2 1 ( ) 2 y f gy ′ + = ,由引理二, f y f C y ? ′? = ′ ? ,得到 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 y y C gy y gy ′ ′ + ? = ′ + ,解出 2 1 ( ) 2 y gy C ? ? ′ ′ + = ? ? ? ? , 这个结果与前面用 光学的费马定理所计算出的结果相同. (2)最小曲面问题(minimal surface) 连接端点 1 1 2 2 x y x y 之平面上曲线 ( ) y x ,若绕 x 轴旋转所造成的曲面,若希 望曲面表面积最小, ( ) y x 會是什麽函 数? 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日8表面积函数为 2 1 2 x x A yds π = ∫ 2 1 2 2 1 ( ) x x y y dx π ′ = + ∫ 利用引理二, f y f c y ? ′? = ′ ? 此处 2 1 ( ) f y y′ = + ,极值曲线 ( ) y x 满足 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) x y y y c y ′ ′ ? + = ′ + , 2 2 cy y c ′ = ? ,解出 2 2 dy x c y c = ? ∫ 2 2 ln y y c c d c ? ? + ? ? ? ? ? = + ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 2 2 x d c y y c e c ? + ? = 2 2 ( )/ x d c y y c ce ? + ? = ,移项平方,得2222(2 2 x d c x d c y c c e ce y y ? ? ? = ? + 整理, ( )/ 2( )/ (2 ) ( 1) x d c x d c e y c e ? ? = + ( ) 2 x d c x d c e e y c ? ? ? + = ,为双曲函数 cosh( ) x d y c c ? = ,这种曲线又称为悬链 线(catenary) 8, 悬链线是因为将质料均匀 的绳子两端绑在竹竿 , 绳子自然下垂所造 成 而得名 , 最小曲面我们也可以弯曲铁丝沾 肥皂泡来观察,因表面张力的原因,肥皂 泡會自然寻找最小面积,出现了悬链线, 对於悬链线的问题,也是个有趣的课题, 在早期,以伽利略为代表,一直以为悬链 线就是抛物线 , 而哥哥雅各也赞同伽利略 的看法,在这个问题上,弟弟约翰就占了 上风,约翰曾在写给友人的信中,嘲笑哥 哥雅各,兄弟由争吵进入水火不容,可在 数学史的文章中找到 9 .最小曲面问题, 在微分几何中也是一个重要的课题. (3)测地线(Geodesic)问题 a.证明平面上两点之间的最短距离: 考虑 1 2 x x I ds = ∫ 1 2 2 1 ( ) x x y dx ′ = + ∫ 此处 2 1 ( ) f y′ = + ,代入 Euler 方程式 0 f y ? = ? , 2 1 ( ) f y y y ′ ? = ′ ? ′ + ,因为 2 0 1 ( ) d y dx y ′ = ′ + ,所以 2 1 ( ) y C y ′ = ′ + ,可解出 y ax b = + ,再代入边界条件就知道在平 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日9面上连接两点之直线造成最短距离 . 在平 面上,两点最短距离连线为直线,在曲面 上,两点最短的距离的连线,我们称为测 地线(geodesic),例如我们在地面上以直 线行走,其实走的是地球表面的一段弧, 这段弧在平面穿过地球球心 , 这是地表最 接近直线的轨迹 10 . b.在球面上的测地线为大圆,就是说通过 P、Q 两点的平面必过球心 考虑球面座标 sin cos sin sin cos x a y a z a φ θ φ θ φ ? = ? ? ? ? = ? ? ? = ? ? ? 先将θ 视为φ 的函数 ( ) θ θ φ = ,则cos sin cos cos sin dx a d dy a d dz a φ θ θ φ θ θ φ ? =? ? ? ? ? = ? ? ? =? ? ? ? 2 2 2 ds dx dy dz = + + 2 2 1 ( / ) sin d d d θ φ φ φ = + ,考虑积分 2 1 2 2 1 ( / ) sin x x I a d d d θ φ φ φ = + ∫ ,代入 Euler 方程式,利用引理一,得到 2 2 2 sin 1 ( ) sin c θ φ θ φ ′ = ′ + ,整理后成为 2 2 sin sin d c d c θ φ φ φ = ? 2 2 1 sin (1/ )sin 1 c φ φ = ? ,变数分离方程式解 出122cos tan (1/ )sin 1 d c φ θ φ ? ? ? ? ? ? ? =? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将θ 表为反正弦计算较为方便 1 2 cos sin sin (1/ ) 1 d c φ θ φ ? ? ? ? ? ? ? =? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos sin( ) sin (1/ ) 1 d c φ θ φ ? = ? ,以复角公式展 开2cos sin cos sin sin sin cos (1/ ) 1 d d c φ θ φ θ φ ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin cos 1 ( ) (1/ ) 1 d d z x y a a a c ? = ? godesic 方程式可整理为 ( ) ( ) 2 2 sin (1/ ) 1 cos (1/ ) 1 z d c x d c y = ? ? ? 讨论: (a) 0 c = 时, 0 φ = , 为通过南北极的大圆 (b) 1 c = 时, 0 z = , 为通过赤道的大圆 (c) 0 1 c < < ,为上所求出的通式,也是 通过 (0,0,0) 的平面,如此证明出了球面 的godesic 为大圆. 七、结论 由十七世纪最速降线的研究到二十世纪 广义相对论的发表,都离开不了变分学. 牛顿力学认为的地球是由引力的作用沿 著椭圆轨道行走 , 而由广义相对论的观点 则是认为地球而是沿著弯曲的空间中最 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日10 接近直线,称为测地线的轨迹运动,由於 太阳质量的引起的空间-时间弯曲,在四 度空间(x ,y, z, t)中地球以直线运行,在三 维空间的角度看起来是椭圆 , 这似乎难以 理解 , 不过我们想想空中的飞机航行在崎 岖的山路 , 飞机的影子在平面上是高高低 低的路径,可是在三度空间来看,飞机可 是沿著直线飞行呢!这革命性的理论以当 时的柏努利、费马是不可能知道的,不过 当时解最速降线时使用到光学的费马定 理,已经用到了「光沿著测地线走」的观 念. 柏努利兄弟虽然处处不合 , 但是有一个共 同点 , 都发现了欧拉在数学上拥有不凡的 的天份,他们先后都做过欧拉的老师,欧 拉也没有让柏努利们失望 , 他发表论文的 速度令人惊叹 , 几乎所有的数学都有他的 研究足迹 , 甚至他晚年失明后论文的发表 还有增无减,对於变分法,欧拉也由於柏 努利的鼓励,致力研究变分理论,将解析 几何提升到微分几何的範疇 , 对於后来的 古典力学,甚至近代物理都有重大的贡 献. 八、参考文献 [1]Larsen Hostetler Calculus Houghton Nifflin [2] Herbert Goldstein Classical Mechanic 2nd edition [3] Courant Hilbert Methods of Mathematical Physics VolumeII [4]Dirk J. Struik Lectures on classical DifferentialGeometry1961,addison- wesley mathematics series [5]希尔伯特的 23 个数学问题 葛雷 著 天下文化 [6]毛起来说 e 毛尔著 天下文化 [7]数学和数学家的故事 李学数著 凡异出版社 九、注释 1 约翰·柏努利(1667-1748),瑞士数学家,性 格爱恨强烈分明,莱布尼兹和欧拉是他心中的 神,牛顿和他的哥哥雅各他却痛恨无比. 2 雅各·柏努利(1654-1705),瑞士数学家,最 大的成就在机率论方面的研究. 3 当时公开问题的答案,共有五人答对,莱布 尼兹、牛顿、罗必达、雅各和约翰自己,其中 牛顿知道约翰不喜欢他,故寄去的答案没有署 名,约翰一看就知道是牛顿,他说「狮子的出 现看脚印就知道」 . 4 斯乃尔(1580-1626),荷兰物理学家,精於实 验及测量,他曾於 1617 年精确的测量出地球 的大小,不过他发现光的折射定律,仅止於物 理的实验,并没有数学的推导. 5 tauto 为希腊文, 「相同」的意思,chrone 为 「时间」 . 6 惠更斯(1629-1695) 荷兰物理学家及数学 家,年轻时他就发现悬链线与抛物线的区别, 也是机率论的创始人. 7 欧拉,瑞士人,父亲保罗是牧师,父亲原本 希望小欧拉继承他的职业也做个牧师,雅各说 服保罗改变心意,而约翰也看出小欧拉的数学 天份,私下教小欧拉数学,欧拉 1722 年从巴 塞尔大学毕业后,直到七十六岁去世,对数学 的创作源源不绝. 8 莱布尼兹於 1690 年於中 提到…….我著手解决悬链线问题,这是我至 今还没试是过的,我很愉悦的用我的钥匙(微 分学),打开他的秘密.他是最早解开悬链线 问题的人,但不公布解答,让其他研究的人多 些时间. 9 见[6]p.197,虽然这个问题虽然雅各落后了 他的弟弟约翰,但雅各事后参考约翰的解法, 证明了悬链线是重心最低的一种,显示大自然 创造形状时,會尽量降低位能,有更大的贡献. 10 爱因斯坦(1879-1955),犹太裔德国人,他 见到一只小虫在大球上爬行,他说「这只小虫 以为牠在平面上直线行走,而我比较幸运,我 看到牠走的是一段弧」 .
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九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日1变分法上的最速降线之研究 Calculus of Variation -the Brachistochrone Problem 李柏坚 Bor- Jian Lee 中华技术学院共同科讲师 中文摘要 考虑点 A 和位置较低的点 B 以一条直线 相连,在不考虑摩擦力的前提下,一颗 静止的滚珠由 A 点滑向 B 点,现在我们 直线换成曲线试试看,以哪种线作为路 径,花费的时间可以最少? 花费的时间最 少的曲线就称为最速降线.伽利略认为 最速降线必是圆弧,但约翰白努利不认 为如此,为了解决这个问题,柏努利开 创了变分学这门学问. Abstract Consider a point A is joined by a straight wire to a lower point B, and that a bead is allowed to slide without friction down the wire from A to B. We can also consider the case where the wire is bent into an arbitrary curve. In which case does a bead take the least time? The curve with the least time is called the brachistochrone. Galileo believed that the bead would descend more quickly along a circle path, but Johann Bernoulli did not think so, for it was the analysis of this problem by Johann Bernoulli who attempted to solve the argument, that led to the formal foundation of the calculus of variation. Keywords: brachistochrone, tautochrone, geodesic 关键词:最速降线,等时曲线,测地线 一、简介 brachistochrone 源於希腊文,意思是最快 时间,这是一个古老的问题,谈到这个 问题,就不能不提到柏努利,柏努力不 是指一个人,而是指整个柏努利家族, 这个家族出了许多伟大的数学家,与brachistochrone 问题有关的,就是柏努利 兄弟约翰(Johann) 1 和雅各(Jacob) 2 ,十 七世纪末,弟弟 Johann Bernoulli 公开徵 求问题解答 3 ,他自己也求出了解答, 不过他采用的方法用到物理观念,而哥 哥Jacob Bernoulli 用的方法,就是现在我 们所用的变分法,虽然两人解出的答案 一样,为了这个问题的解法,弟弟约翰 受到哥哥的批评,兄弟感情弄到决裂. 在本文中,我们先将早期以物理的角度 证明方式所需要的物理定律、计算过程 做一完整说明(Johann 法),并将所得结果 和其他常见的曲线做一比较.最后再看 看以变分方式所得的结果(Jacob 法)有何 不同?本文以通俗数学和历史的角度探索 变分法的由来,再将变分法的应用及发 展做一简单介绍. 定义: 方程式 ( sin ) (1 cos ) x a y a θ θ θ = ? = ? 为摆线(cycloid)方程式的标准式,它是一 个圆沿著 x 轴滚动 , 由圆上的一固定点所 成的轨迹. 定理:斯乃尔(Snell) 折射定律 4 考虑光线以 1 v 为速率由 A 点出发, 到达 P 点,再以 2 v 为速率由 P 点进入一 密度较高的介质到达 B 则 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日21212sin sin v v α α = 其中 1 2 , α α 为与法线的夹角,如下图 证明: 由A点出发,到达 P 点,再以 2 v 为速率 由P点进入一密度较高的介质到达 B , 总 共所耗用的时间为 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) c x b x a T x v v ? + + = + 若要耗用的时间最少,则0dT dx = 得2222120()xcxvxavcxb??=+?+故得到 1 2 1 2 sin sin v v α α = 推广:若通过多种介质(密度渐渐增高), 如下图 根據前面的结果,可知 3 1 2 4 1 2 3 4 sin sin sin sin v v v v α α α α = = = 费马最小时间定理: 光线进入连续变化密度的介质,光线不 再以直线进行,而是以曲线取代直线, 并满足 sin v α = 常数 光学上的费马定理意思是说 , 光线由点 A 行进到点 B 的路径,为最短时间的路径, 在均匀的介质中,路径应该就是直线, 但折射率有变化的介质中路径就會弯 曲. 二、Brachistochrone 的古典证明 (Johann Bernoulli 方法) 定理:最速降线为摆线 证明: 假设滚珠如同光线一般能找寻花费最少 时间的路径,如下图,根據费马最小时 间定理,我们要求 sin v α = 常数 再由能量守恒定律,A 点的位能转成 P 点的动能 2 1 2 mv mgy = 2 v gy = 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日3211sin cos sec 1 tan α β β β = = = + 2 1 1 ( ) dy dx = + (此处 2 π β α = ? ,β 是与 x 轴的夹角,切 线斜率 tan dy dx β =? ) 因为 sin v α = 常数 2 1 2 (1 ( ) C dy gy dx = + ,也就是 2 [1 ( ) ] dy y k dx + = 2 ( ) 1 dy k dx y = ? ( ) dy k y dx y ? = 变成一个可变数分离常微分方程式 y dx dy k y = ? 两边积分得 y dx dy k y = ? ∫ ∫ 令2sin y k θ = 2 sin cos dy k d θ θ θ = tan 2 sin cos x k d θ θ θ θ = ? ∫ 2 2 sin k d θ θ = ∫ (1 cos2 ) k d θ θ = ? ∫ 1 ( sin 2 ) 2 k θ θ = ? 因为 1 (2 sin 2 ) 2 x k θ θ = ? 2 1 cos2 sin ( ) 2 y k k θ θ ? = = (1 cos2 ) 2 k θ = ? 在此将变数 2 k a = ,2θ φ = 於是得到了最速降线的参数式 ( sin ) (1 cos ) x a y a θ θ θ ? = ? ? ? ? ? = ? ? ? 就是摆线(cycloid)的标准式 三、摆线的 tautochrone 性质 5 定理:摆线为等时曲线 证明:根據 ds vdt = AB ds t v = ∫ 计算由 A(0,0) 点经由摆线路径滑到 座标 B( , 2 ) a a π ? 所花费的时间 0 2 AB ds t gy π = ∫ 0 2 (1 cos ) ds ga π θ = ? ∫ 因为 2 2 ( ) ( ) ds dx dy = + 2 2 (1 cos ) (sin ) a d θ θ θ = ? + 2 2cos a d θ θ = ? 0 2 (1 cos ) AB ds t ga π θ = ? ∫ 0 2(1 cos ) 2 (1 cos ) a d ga π θ θ θ ? = ? ∫ 0 a d g π θ = ∫ a g π = 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日4现在再考虑滚珠由中途任一点 A′ 出 发滑到座标( , 2 ) a a π ? ,则所花费的 时间 0 0 2(1 cos ) 2 (cos cos ) A B a t d ga π θ θ θ θ θ ′ ? = ? ∫ 0 0 2 sin( / 2) (cos cos ) a d g π θ θ θ θ θ = ? ∫ 以一律化为半角方式整理 0 2 2 0 2 sin( / 2) (cos ( / 2) cos ( / 2)) a d g π θ θ θ θ θ = ? ∫ 0 2 0 2 0 2 sin( / 2) cos( / 2) cos ( / 2) 1 cos ( / 2) a d g π θ θ θ θ θ θ = ? ∫ 令0cos( / 2) cos( / 2) u θ θ = ,则0sin( / 2) cos( / 2) du d θ θ θ =? 0 2 1 2 1 PB a du t g u =? ? ∫ 1 2 (1) a a Sin g g π ? = = 证明了滚珠由相同摆线上的 A 与A′ 点出 发到达 B ,所耗用的时间相同而与 0 θ 无关.这个性质,最早由荷兰数学家惠更 斯6发现. 四、在相同条件下各种不同曲线耗 费时间比较 为了方便与摆线比较,我们一律考虑由 A(0,0)到B( , 2 ) a a π ? 的不同路径,计算 由A到B所耗用的时间时,常會出现困 难的定积分,只得近似值比较,在此的 定积分一律以 Maple 程式算到小数点下 九位,以利比较. (1) 路径为直线: 通过点(0,0)与( , 2 ) a a π ? 的直线 为等加速度运动 以等加速度的位移公式 2 1 cos 2 s g t α = ? 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 4 AB a a a g t a a π π + = + 2 2 4 ( 4) AB a a a t g g π π + + = = a g ? ( 3.724191778 ) (2) 路径为圆弧: 圆弧路径可以用单摆的方法求时间 2 1 ( cos cos ) 2 mv mg r r θ α = ? s rθ = 且()ds d v r dt dt θ = = 2 2 1 (cos cos ) 2 d r ga dt θ θ α ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? 因为t / 则θ 2 故2cos cos r d dt g θ θ α =? ? 通过点(0,0)以圆弧路径到达 ( , 2 ) a a π ? 所耗用的时间 0 2 cos cos AB r d t g α θ θ α =? ? ∫ 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日502cos cos r d g α θ θ α = ? ∫ 2 0 ( 4) 8 cos cos d a g α π θ θ α + = ? ∫ 这里的单摆摆长 2 ( 4) 4 r a π + = ,且224cos 4 π α π ? = + 因为上式定积分化简后會成为椭圆积 分,椭圆积分无法以初等函数来表示, 故只得以近似值算出 2 0 ( 4) 8 cos cos AB a d t g α π θ θ α + = ? ∫ 以电脑计算精确至小数点下第九位,得到20(4) 8 cos cos d α π θ θ α + ? ∫ 3.178908586 ,故以圆弧路径花费的时 间AB a t g ? ( 3.178908586 ) (3) 路径为抛物线: 抛物线方程式为 2 2 2 4 y x x a π π = ? 2 0 1 ( / ) 2 a AB dy dx t dx gy π + = ∫ 2 4 2 0 2 2 1 1 (4 4 ) 2 4 2 a x a dx a g x x a π π π π π + ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∫ 令xau π = ,dx a du π = 1 2 2 2 0 1 (16/ )( 1) 4 ( 2 ) AB u t a du ag u u π π + ? = ? ∫ 1 2 2 2 0 1 (16/ )( 1) 4(2 ) u a du ag u u π π + ? = ? ∫ 这积分式经化简后后也是椭圆积分,以 数值方法估计 1 2 2 2 0 1 (16/ )( 1) 4(2 ) u du u u π + ? ? ∫ 1.042889818 AB a t g = ?( 3.276334991 ) (4) 路径为正弦函数: 正弦函数方程式为 2 sin( ) 2 x y a a =? 2 0 1 ( / ) 2 a AB dy dx t dx gy π + = ∫ 2 0 1 cos ( / 2 ) 2 2 sin( / 2 ) a x a dx g a x a π + = ? ∫ 变数变换,令,22xdx u du a a = = 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日6则22011cos 2 4 sin AB u t a du ag u π + = ∫ 2 2 0 1 cos sin a u du g u π + = ∫ a g ?( 3.363634728 ) 由A点以不同路径时到达B所费时间 直线2(4)a g π + 摆线agπ圆弧2124cos ( ) 2 4 2 0 2 ( 4) 8 4 cos 4 a d g π π π θ π θ π ? ? + + ? ? + ∫ 抛物线122201(16/ )( 1) 4(2 ) u a du ag u u π π + ? ? ∫ 正弦函数2201cos sin a u du g u π + ∫ 时间近似值( ) a g = 时 直线 3.724191778 摆线 3.141592654 圆弧 3.178908586 抛物线 3.276334991 正弦函数 3.363634728 由上表可以看出,摆线所耗时间最短, 圆弧次之,抛物线第三,正弦函数第四, 直线虽然距离最短,但却是最慢的. 五、变分法的几何意义与基本方程 式 在初等微积分中我们都知道若单变 数函数 ( ) f x 的极值的求法,在物理、工程、几何上,我们也是经常需要寻找极 小(大)值,例如:最少时间、最小能量、 最短距离、最小(大)面积……等.我们 经常需要寻求下面线积分 2 1 ( , , ) x x I f x y y dx ′ = ∫ 的极小值, 变分法的技巧就是在 ( ) y x 的近傍加入一 族群的参考函数(包含 ( ) y x ),加上一个 参数α ,当使原积分式扩充为 ( ) I I α = , 如果 ( ) y y x = 能够使上式积分值发生极 值,便可以用初等微积分的方式求解, 这就是为何我们将 calculus of variation 称 为变分法的原因了,变分方法如下: 在推导过程中,需要用到微分,我们只 针对一些「好」(well-behaved)的函数, 在此,先假设 ( , , ) f x y y′ 与212 y x C x x ∈ 注: 2 C 表示连续两次可微分,微分后亦 为连续函数 加入一新函数 ( ) x η , 2 1 2 x C x x η ∈ ,且 满足边界条件 1 2 ( ) ( ) 0 x x η η = = 令 y x y x x αη = + y x y x x αη ′ ′ ′ = + 当0α=时, y x y x = ,如下图 2 1 ? ? x x I f x y y dx α ′ = ∫ 2 1 x x f x y x x y x x dx αη αη ′ ′ = + + ∫ 由於 ( ) y y x = 能够使上式积分值发 生极值,故 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日70()0Iαα=′=21?? x x I f x y y dx α α ? ′ ′ = ? ∫ , 因为 ? ? ? ? ( , , ) ? ? f x f y f y f x y y x y y α α α α ′ ′ = + + ′ ( ) ( ) ? ? f f x x y y η η ? ? ′ = + ′ ? ? 2 1 ( ) ( ) 0 x x f f x x dx y y η η ? ? ? ? ? ? ′ + ? = ? ? ? ? ? ′ ? ? ? ? ∫ 积分第二式,以分部积分法展开,得2211()()xxxxffxxdyyηη?????????????′′????∫21()xxdfxdx dx y η ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ′ ? ? ? ∫ ,故原式 2 1 ( ) 0 x x f d f x dx y dx y η ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ?? ? ? ? ? ? ∫ 因为 ( ) x η 为可变化的函数,不會恒为 0 故得到 0 f d f y dx y ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ′ ? ? ? ? 上式就是著名的欧拉 7 (Euler)方程式. 直接以 Euler 方程式找极值有时并不方 便,下面两个引理对於特殊状况求解比 较方便 引理一 若 f x y y f x y ′ ′ = 则Euler 方程式可 改写成 f C y ? = ′ ? 引理二 若 f x y y f y y ′ ′ = 则Euler 方程式可 改写成 f y f C y ? ′? = ′ ? 证明:因为 d f d f f y y y dx y dx y y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′′ ?= ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? d f f dy f dy f dx x y dx y dx ′ ? ? ? = + + ′ ? ? ? f f f y y x y y ? ? ? ′ ′′ = + + ′ ? ? ? d f d f f f f y dx y dx y y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ? ?= ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 d f y f dx y ? ? ? ? ? ′? ?= ? ? ? ? ? ′ ? ? ? 得到 f y f C y ? ′? = ′ ? 得证 ( 0 f x ? = ? ,中括弧内为 Euler 方程式) 六、应用 Euler 方程式求解 (1) Brachistochrone 问题 (Jacob Bernoulli 方法) 现在考虑的问题为时间的极值 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 x x AB x x y ds t dx v gy ′ + = = ∫ ∫ 此处 2 1 ( ) 2 y f gy ′ + = ,由引理二, f y f C y ? ′? = ′ ? ,得到 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 y y C gy y gy ′ ′ + ? = ′ + ,解出 2 1 ( ) 2 y gy C ? ? ′ ′ + = ? ? ? ? , 这个结果与前面用 光学的费马定理所计算出的结果相同. (2)最小曲面问题(minimal surface) 连接端点 1 1 2 2 x y x y 之平面上曲线 ( ) y x ,若绕 x 轴旋转所造成的曲面,若希 望曲面表面积最小, ( ) y x 會是什麽函 数? 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日8表面积函数为 2 1 2 x x A yds π = ∫ 2 1 2 2 1 ( ) x x y y dx π ′ = + ∫ 利用引理二, f y f c y ? ′? = ′ ? 此处 2 1 ( ) f y y′ = + ,极值曲线 ( ) y x 满足 2 2 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) x y y y c y ′ ′ ? + = ′ + , 2 2 cy y c ′ = ? ,解出 2 2 dy x c y c = ? ∫ 2 2 ln y y c c d c ? ? + ? ? ? ? ? = + ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) 2 2 x d c y y c e c ? + ? = 2 2 ( )/ x d c y y c ce ? + ? = ,移项平方,得2222(2 2 x d c x d c y c c e ce y y ? ? ? = ? + 整理, ( )/ 2( )/ (2 ) ( 1) x d c x d c e y c e ? ? = + ( ) 2 x d c x d c e e y c ? ? ? + = ,为双曲函数 cosh( ) x d y c c ? = ,这种曲线又称为悬链 线(catenary) 8, 悬链线是因为将质料均匀 的绳子两端绑在竹竿 , 绳子自然下垂所造 成 而得名 , 最小曲面我们也可以弯曲铁丝沾 肥皂泡来观察,因表面张力的原因,肥皂 泡會自然寻找最小面积,出现了悬链线, 对於悬链线的问题,也是个有趣的课题, 在早期,以伽利略为代表,一直以为悬链 线就是抛物线 , 而哥哥雅各也赞同伽利略 的看法,在这个问题上,弟弟约翰就占了 上风,约翰曾在写给友人的信中,嘲笑哥 哥雅各,兄弟由争吵进入水火不容,可在 数学史的文章中找到 9 .最小曲面问题, 在微分几何中也是一个重要的课题. (3)测地线(Geodesic)问题 a.证明平面上两点之间的最短距离: 考虑 1 2 x x I ds = ∫ 1 2 2 1 ( ) x x y dx ′ = + ∫ 此处 2 1 ( ) f y′ = + ,代入 Euler 方程式 0 f y ? = ? , 2 1 ( ) f y y y ′ ? = ′ ? ′ + ,因为 2 0 1 ( ) d y dx y ′ = ′ + ,所以 2 1 ( ) y C y ′ = ′ + ,可解出 y ax b = + ,再代入边界条件就知道在平 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日9面上连接两点之直线造成最短距离 . 在平 面上,两点最短距离连线为直线,在曲面 上,两点最短的距离的连线,我们称为测 地线(geodesic),例如我们在地面上以直 线行走,其实走的是地球表面的一段弧, 这段弧在平面穿过地球球心 , 这是地表最 接近直线的轨迹 10 . b.在球面上的测地线为大圆,就是说通过 P、Q 两点的平面必过球心 考虑球面座标 sin cos sin sin cos x a y a z a φ θ φ θ φ ? = ? ? ? ? = ? ? ? = ? ? ? 先将θ 视为φ 的函数 ( ) θ θ φ = ,则cos sin cos cos sin dx a d dy a d dz a φ θ θ φ θ θ φ ? =? ? ? ? ? = ? ? ? =? ? ? ? 2 2 2 ds dx dy dz = + + 2 2 1 ( / ) sin d d d θ φ φ φ = + ,考虑积分 2 1 2 2 1 ( / ) sin x x I a d d d θ φ φ φ = + ∫ ,代入 Euler 方程式,利用引理一,得到 2 2 2 sin 1 ( ) sin c θ φ θ φ ′ = ′ + ,整理后成为 2 2 sin sin d c d c θ φ φ φ = ? 2 2 1 sin (1/ )sin 1 c φ φ = ? ,变数分离方程式解 出122cos tan (1/ )sin 1 d c φ θ φ ? ? ? ? ? ? ? =? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? 将θ 表为反正弦计算较为方便 1 2 cos sin sin (1/ ) 1 d c φ θ φ ? ? ? ? ? ? ? =? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 cos sin( ) sin (1/ ) 1 d c φ θ φ ? = ? ,以复角公式展 开2cos sin cos sin sin sin cos (1/ ) 1 d d c φ θ φ θ φ ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin cos 1 ( ) (1/ ) 1 d d z x y a a a c ? = ? godesic 方程式可整理为 ( ) ( ) 2 2 sin (1/ ) 1 cos (1/ ) 1 z d c x d c y = ? ? ? 讨论: (a) 0 c = 时, 0 φ = , 为通过南北极的大圆 (b) 1 c = 时, 0 z = , 为通过赤道的大圆 (c) 0 1 c < < ,为上所求出的通式,也是 通过 (0,0,0) 的平面,如此证明出了球面 的godesic 为大圆. 七、结论 由十七世纪最速降线的研究到二十世纪 广义相对论的发表,都离开不了变分学. 牛顿力学认为的地球是由引力的作用沿 著椭圆轨道行走 , 而由广义相对论的观点 则是认为地球而是沿著弯曲的空间中最 九十二年度中华技术学院论文发表研讨會 中华民国 92 年4月23 日10 接近直线,称为测地线的轨迹运动,由於 太阳质量的引起的空间-时间弯曲,在四 度空间(x ,y, z, t)中地球以直线运行,在三 维空间的角度看起来是椭圆 , 这似乎难以 理解 , 不过我们想想空中的飞机航行在崎 岖的山路 , 飞机的影子在平面上是高高低 低的路径,可是在三度空间来看,飞机可 是沿著直线飞行呢!这革命性的理论以当 时的柏努利、费马是不可能知道的,不过 当时解最速降线时使用到光学的费马定 理,已经用到了「光沿著测地线走」的观 念. 柏努利兄弟虽然处处不合 , 但是有一个共 同点 , 都发现了欧拉在数学上拥有不凡的 的天份,他们先后都做过欧拉的老师,欧 拉也没有让柏努利们失望 , 他发表论文的 速度令人惊叹 , 几乎所有的数学都有他的 研究足迹 , 甚至他晚年失明后论文的发表 还有增无减,对於变分法,欧拉也由於柏 努利的鼓励,致力研究变分理论,将解析 几何提升到微分几何的範疇 , 对於后来的 古典力学,甚至近代物理都有重大的贡 献. 八、参考文献 [1]Larsen Hostetler Calculus Houghton Nifflin [2] Herbert Goldstein Classical Mechanic 2nd edition [3] Courant Hilbert Methods of Mathematical Physics VolumeII [4]Dirk J. Struik Lectures on classical DifferentialGeometry1961,addison- wesley mathematics series [5]希尔伯特的 23 个数学问题 葛雷 著 天下文化 [6]毛起来说 e 毛尔著 天下文化 [7]数学和数学家的故事 李学数著 凡异出版社 九、注释 1 约翰·柏努利(1667-1748),瑞士数学家,性 格爱恨强烈分明,莱布尼兹和欧拉是他心中的 神,牛顿和他的哥哥雅各他却痛恨无比. 2 雅各·柏努利(1654-1705),瑞士数学家,最 大的成就在机率论方面的研究. 3 当时公开问题的答案,共有五人答对,莱布 尼兹、牛顿、罗必达、雅各和约翰自己,其中 牛顿知道约翰不喜欢他,故寄去的答案没有署 名,约翰一看就知道是牛顿,他说「狮子的出 现看脚印就知道」 . 4 斯乃尔(1580-1626),荷兰物理学家,精於实 验及测量,他曾於 1617 年精确的测量出地球 的大小,不过他发现光的折射定律,仅止於物 理的实验,并没有数学的推导. 5 tauto 为希腊文, 「相同」的意思,chrone 为 「时间」 . 6 惠更斯(1629-1695) 荷兰物理学家及数学 家,年轻时他就发现悬链线与抛物线的区别, 也是机率论的创始人. 7 欧拉,瑞士人,父亲保罗是牧师,父亲原本 希望小欧拉继承他的职业也做个牧师,雅各说 服保罗改变心意,而约翰也看出小欧拉的数学 天份,私下教小欧拉数学,欧拉 1722 年从巴 塞尔大学毕业后,直到七十六岁去世,对数学 的创作源源不绝. 8 莱布尼兹於 1690 年於中 提到…….我著手解决悬链线问题,这是我至 今还没试是过的,我很愉悦的用我的钥匙(微 分学),打开他的秘密.他是最早解开悬链线 问题的人,但不公布解答,让其他研究的人多 些时间. 9 见[6]p.197,虽然这个问题虽然雅各落后了 他的弟弟约翰,但雅各事后参考约翰的解法, 证明了悬链线是重心最低的一种,显示大自然 创造形状时,會尽量降低位能,有更大的贡献. 10 爱因斯坦(1879-1955),犹太裔德国人,他 见到一只小虫在大球上爬行,他说「这只小虫 以为牠在平面上直线行走,而我比较幸运,我 看到牠走的是一段弧」 .