数学课程中的逻辑与推理的研究 单位:金山职业高级中学 邮编:222115 姓名:陈秀明 摘要:从逻辑与推理与数学是关系以及与中小学数学教学的关系对逻辑与推理进行了简单的研究和分析,对数学新课程标准中的逻辑与推理内容进行了解读.新的教科书逻辑与推理的内容不仅贯穿于整个数学教学中,更将其作为显性知识提取出来进行学习,说明了其重要性.教师在进行逻辑与推理的教学时应注重案例分析的作用,应用多媒体等多种教学手段以及采用交互式教学方法. 关键词:高中数学,课程标准,逻辑与推理,数学教学 1 逻辑与推理和数学及中小学数学教学的关系 1.1逻辑与推理和数学的关系 自然界的一切都是客观存在辩证统一的,不是形而上学发生的,只有靠辩证思维才能使人们从千丝万缕的联系和千变万化的事物中找出认识问题和解决问题的适宜方法,从而正确地认识世界、有效地改造世界."数学离开了逻辑思维便不能前进一步". 1.2逻辑与推理和中小学数学教学的关系 数学逻辑推理证明通过其本身的特性,训练了学生严密的逻辑思维能力与推理能力,这种能力一旦嵌入了学生的能力结构中,成为学生头脑中的"隐性知识",那么对其它内容的学习将因此而受益无穷. 2 解读高中数学新课程标准中与逻辑有关的内容 新课程引入了一些常用的逻辑用语还将逻辑与推理作为显性知识提取出来进行进一步的学习,并将其融入了数学的很多知识中. 2.1 教科书中引入了一些常用的逻辑用语及其注意点 2.1.1教科书中引入了一些常用的逻辑用语 在高中数学课本中引入了一些常用的逻辑用语并且对其提出了要求: 命题及其关系 ① :了解命题的逆命题,否命题与逆否命题 ② :理解必要条件,充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系 (2)简单的逻辑连接词,通过数学实例,了解逻辑连接词"或","且","非"的含义 (3) 全称量词与存在量词 ① :通过数学和生活中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义 ② :能正确地对含有一个量词的命题进行否定 2.1.2逻辑用语教学中的注意点 在常用的逻辑用语教学中,应该注意哪些问题呢? (1) 考虑的命题是指明确地给出条件和结论的问题,对命题的逆命题,否命题,逆否命题只要求作一般性了解,重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件,充分条件,充要条件. (2) 对逻辑连结词或,且,非的含义,只要求通过数学实例来加以了解, 学生正确的表达相关的教学内容. (3) 对于量词,重在理解它们的含义,不要求追求他们形式话的定义.意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表达数学内容的准确性,简洁性.避免对 逻辑用语的机械记忆和抽象理解,不要求使用真值表. 2.2逻辑与推理作为显性知识提取出来 旧的教科书中对于逻辑与推理的研究没有作为显性知识提取出来,逻辑与推理作为一种隐性知识将融入到高中数学的每一个部分,而新课程标准中不但将逻辑与推理作为一种隐性知识融入到高中数学的每一个部分,而且它将逻辑与推理作为一块系统的知识提取出来进行学习,使逻辑与推理由隐性知识转化为显性知识. 2.3逻辑与推理融入到高中课程的内容中去 高中新课程标准中将数学课程分为选修和必修两个部分,必修课程由5个模块组成,选修由4个系列组成,并将逻辑与推理能力的培养落实到不同内容领域之中. 2.3.1逻辑与推理融入到基本初等函数的教学中 在必修中的不等式以及基本初等函数的教学中,计算要依据一定的"规则"——公式、法则、规律等,因而计算中有逻辑推理.现实世界中的数量关系往往有其自身的规律,用不等式、函数刻画这种数量关系或变量关系的过程中,也不乏分析、判断和推理.这是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程,是一个既有逻辑又有推理的过程. 2.3.2逻辑与推理融入到解析几何与立体几何的教学中 在解析几何与立体几何的教学中,既要重视逻辑,又要重视推理.即使在平面图形性质(定理)的教学中,通过操作、观察、猜想、证明的过程,做到逻辑与推理相结合.与原来的数学教学大纲相比,《标准》加强了3维空间几何体(立体几何)的有关内容,并为学生"利用直观进行思考"提供了较多机会.学生在实际操作的过程中,要不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案,这个过程发展了学生借助直观进行逻辑推理的能力,有助于学生空间观念的形成. 2.3.3逻辑与推理融入到概率与统计教学中 概率与统计中的逻辑推理属于合情推理的范畴,是一种可能性的推理,因此,"概率与统计"的教学要重视学生经历收集、整理、分析数据,作出推断和决策的全过程. 通过学生熟悉的生活发展学生的逻辑推理能力 毫无疑问,学校的教育教学(包括数学教学)活动能推进学生逻辑推理能力更好地发展.例如,2个人握一次手,若每2人握一次手,则3个人共握几次手?n个人共握多少次手呢?这学生的身心特点和认知水平,注意层次性. 一般地说,操作、实验、观察、猜想等活动的难易程度容易把握,所以合情推理能力的培养应贯穿于义务阶段教学的始终. 3 高中数学教学中如何进行逻辑与推理的教学 3.1 注重案例分析 3.1.1案例分析的重要性及实例 课程标准明确指出:让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例,对合情推理、演绎推理以及数学逻辑证明的方法进行概括与总结,进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异;体会数学逻辑证明的特点,了解数学逻辑证明的基本方法,感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯,提高数学思维能力,形成对数学较为完整的认识.案例分析应该成为逻辑与推理教学的出发点和载体,为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台. 同时, 上述观点在《课程标准》中得到了多次强调.课标指出:"教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理而不追求对概念的抽象表述","在教学中,应通过实例,引导学生认识各种逻辑与推理的证明方法的特点,体会逻辑与推理的证明的必要性. 3.1.2案例分析中的注意点 以上都强调了案例教学的重要性.那么在案例教学中应该注意什么? (1)从学生熟悉的事物中选择案例.事实上,教科书中的案例大都是在必修课程中学习过的,因此对学生来说是一次再认识,是反思.教学中还可从必修阶段的教科书上找到更多的案例进行分析. (2)注意给学生提供足够的活动空间, 充分利用学生已有的生活经验和数学活动经验,提供适当的知识生长点;通过问题串为学生的建构活动提供方向和框架,突出建构活动的逻辑性,使学生的逻辑思维活动和知识的学习过程统一起来. (3)突出数学本质, 适度形式化.教学中, 要对数学逻辑与推理证明方法进行适度的概括,从隐性到显性, 从渗透到正面突破, 最终给出可以操作的程序(步骤) 或模式.注意概括的层次, 不要企求一次到位,重理解,重应用,不要过分地追求形式化. 3.2注重运用现代教育技术 3.2.1注重运用现代教育技术的重要性及实例 在逻辑推理课中,有些客观事实不便在课堂中让学生直接观察,在这种情况下,教师就要尽可能地通过各种媒体(如幻灯、录相、挂图、模型……)让学生观察,而多媒体技术正好是创设真实情境的最有效工具. 例如:在上"立体几何"课时,利用多媒体电脑展示"让所有立体几何图形都动起来"课件,特别像轨迹方面的教学可以通过模拟实验来得出结论. 例如:已知圆A的方程为,B为圆上的动点,C点的坐标为(3,0),直线L为线段BC的垂直平分线,如下图,我们可以很形象地演示出L的轨迹. 学生在实际情境下进行学习,可以激发学生的逻辑与推理思维,激发学生学习立体几何的兴趣与好奇心,有效地降低学生对立体几何的恐惧感. 3.2.2运用现代教育技术的注意点 (1)学生获取了足够的客观事实后,要得出正确的结论,需要教师的启发,使学生通过对事实进行充分讨论和联想假设,进行科学的推理,最后通过模拟实验进行验证,得出科学的结论. "不愤不启,不悱不发." (2)教师要启发学生表达出自己想说却又说不出的思想.因为有了客观事实后,不等于可以推导出正确结论,教师要明确地提出问题,启发学生,鼓励学生大胆发表意见,展现他们的思维过程. 3.3运用交互式讨论的教学方法 3.3.1交互式教学的重要性及实例 师生之间的讨论以及学生之间的讨论能启发学生的思维,是进行逻辑与推理的最好方法.通过不断的实践师生之间的讨论以及学生之间的讨论,得出逻辑推理是否正确,这是科学认识事物不可缺少的过程.那么下面我来看一个简单的例子: 求证对任何的,都能被整除. 学生在证明时,可能会出现以下的错误的证明 当时,=,命题成立 假设时,命题成立,当时 由归纳假设知,都能被整除,故命题当时成立.所以由①②知对命题成立. 教师可以让学生讨论一下证明过程的正误,学生在讨论的过程中发现假设时,命题成立,而第一步中只证明了的情况,对未加验证,这样第二步的递推失去了第二步的奠基,这样学生在讨论中提高逻辑思维能力. 3.3.2交互讨论教学的注意点 (1)高中教材为发展学生的逻辑与推理能力提供了丰富的素材.所以,数学教学必须改变培养学生推理能力的"载体"单一化(几何)的状况. (2)要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间;要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题,引导学生参与 "过程";要恰当地组织、指导学生的学习活动,并真正鼓励学生,尊重学生,与学生合作.这样,就能拓宽发展学生逻辑推理能力的空间,从而有效地发展学生的推理能力. 参考文献 [1] 教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京: 人民教育出版社,2003,4 [2] 数学课程标准研制组 .数学课程标准(实验)解读[M].南京: 江苏教育出版社,2003,4 [3] 张春莉著.数学学习与教学设计[M].上海:上海教育出版社.2004,1 [4] 张定强、吕世虎著. 高中数学新课程内容解析[M].北京:首都师范大学出版社,2004,9 [5] 张奠宙编著. 数学教育学导论[M].北京:高等教育出版社,2003,4 [6] 王希平.对新课标理念下高中数学教学内容拓广的思考. [J].数学通报,2005,11:15-17 [7] 新课程实施中数学推理能力培养的几点思考[J].数学通报,2006,4:7-9 [8] 谷丹.关于使用新课标指导下的教材的一些感想[J].数学通报,2005,3:11-13
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数学课程中的逻辑与推理的研究 单位:金山职业高级中学 邮编:222115 姓名:陈秀明 摘要:从逻辑与推理与数学是关系以及与中小学数学教学的关系对逻辑与推理进行了简单的研究和分析,对数学新课程标准中的逻辑与推理内容进行了解读.新的教科书逻辑与推理的内容不仅贯穿于整个数学教学中,更将其作为显性知识提取出来进行学习,说明了其重要性.教师在进行逻辑与推理的教学时应注重案例分析的作用,应用多媒体等多种教学手段以及采用交互式教学方法. 关键词:高中数学,课程标准,逻辑与推理,数学教学 1 逻辑与推理和数学及中小学数学教学的关系 1.1逻辑与推理和数学的关系 自然界的一切都是客观存在辩证统一的,不是形而上学发生的,只有靠辩证思维才能使人们从千丝万缕的联系和千变万化的事物中找出认识问题和解决问题的适宜方法,从而正确地认识世界、有效地改造世界."数学离开了逻辑思维便不能前进一步". 1.2逻辑与推理和中小学数学教学的关系 数学逻辑推理证明通过其本身的特性,训练了学生严密的逻辑思维能力与推理能力,这种能力一旦嵌入了学生的能力结构中,成为学生头脑中的"隐性知识",那么对其它内容的学习将因此而受益无穷. 2 解读高中数学新课程标准中与逻辑有关的内容 新课程引入了一些常用的逻辑用语还将逻辑与推理作为显性知识提取出来进行进一步的学习,并将其融入了数学的很多知识中. 2.1 教科书中引入了一些常用的逻辑用语及其注意点 2.1.1教科书中引入了一些常用的逻辑用语 在高中数学课本中引入了一些常用的逻辑用语并且对其提出了要求: 命题及其关系 ① :了解命题的逆命题,否命题与逆否命题 ② :理解必要条件,充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系 (2)简单的逻辑连接词,通过数学实例,了解逻辑连接词"或","且","非"的含义 (3) 全称量词与存在量词 ① :通过数学和生活中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义 ② :能正确地对含有一个量词的命题进行否定 2.1.2逻辑用语教学中的注意点 在常用的逻辑用语教学中,应该注意哪些问题呢? (1) 考虑的命题是指明确地给出条件和结论的问题,对命题的逆命题,否命题,逆否命题只要求作一般性了解,重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件,充分条件,充要条件. (2) 对逻辑连结词或,且,非的含义,只要求通过数学实例来加以了解, 学生正确的表达相关的教学内容. (3) 对于量词,重在理解它们的含义,不要求追求他们形式话的定义.意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表达数学内容的准确性,简洁性.避免对 逻辑用语的机械记忆和抽象理解,不要求使用真值表. 2.2逻辑与推理作为显性知识提取出来 旧的教科书中对于逻辑与推理的研究没有作为显性知识提取出来,逻辑与推理作为一种隐性知识将融入到高中数学的每一个部分,而新课程标准中不但将逻辑与推理作为一种隐性知识融入到高中数学的每一个部分,而且它将逻辑与推理作为一块系统的知识提取出来进行学习,使逻辑与推理由隐性知识转化为显性知识. 2.3逻辑与推理融入到高中课程的内容中去 高中新课程标准中将数学课程分为选修和必修两个部分,必修课程由5个模块组成,选修由4个系列组成,并将逻辑与推理能力的培养落实到不同内容领域之中. 2.3.1逻辑与推理融入到基本初等函数的教学中 在必修中的不等式以及基本初等函数的教学中,计算要依据一定的"规则"——公式、法则、规律等,因而计算中有逻辑推理.现实世界中的数量关系往往有其自身的规律,用不等式、函数刻画这种数量关系或变量关系的过程中,也不乏分析、判断和推理.这是一个经历观察、猜想、归纳、证明的过程,是一个既有逻辑又有推理的过程. 2.3.2逻辑与推理融入到解析几何与立体几何的教学中 在解析几何与立体几何的教学中,既要重视逻辑,又要重视推理.即使在平面图形性质(定理)的教学中,通过操作、观察、猜想、证明的过程,做到逻辑与推理相结合.与原来的数学教学大纲相比,《标准》加强了3维空间几何体(立体几何)的有关内容,并为学生"利用直观进行思考"提供了较多机会.学生在实际操作的过程中,要不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案,这个过程发展了学生借助直观进行逻辑推理的能力,有助于学生空间观念的形成. 2.3.3逻辑与推理融入到概率与统计教学中 概率与统计中的逻辑推理属于合情推理的范畴,是一种可能性的推理,因此,"概率与统计"的教学要重视学生经历收集、整理、分析数据,作出推断和决策的全过程. 通过学生熟悉的生活发展学生的逻辑推理能力 毫无疑问,学校的教育教学(包括数学教学)活动能推进学生逻辑推理能力更好地发展.例如,2个人握一次手,若每2人握一次手,则3个人共握几次手?n个人共握多少次手呢?这学生的身心特点和认知水平,注意层次性. 一般地说,操作、实验、观察、猜想等活动的难易程度容易把握,所以合情推理能力的培养应贯穿于义务阶段教学的始终. 3 高中数学教学中如何进行逻辑与推理的教学 3.1 注重案例分析 3.1.1案例分析的重要性及实例 课程标准明确指出:让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例,对合情推理、演绎推理以及数学逻辑证明的方法进行概括与总结,进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异;体会数学逻辑证明的特点,了解数学逻辑证明的基本方法,感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯,提高数学思维能力,形成对数学较为完整的认识.案例分析应该成为逻辑与推理教学的出发点和载体,为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台. 同时, 上述观点在《课程标准》中得到了多次强调.课标指出:"教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理而不追求对概念的抽象表述","在教学中,应通过实例,引导学生认识各种逻辑与推理的证明方法的特点,体会逻辑与推理的证明的必要性. 3.1.2案例分析中的注意点 以上都强调了案例教学的重要性.那么在案例教学中应该注意什么? (1)从学生熟悉的事物中选择案例.事实上,教科书中的案例大都是在必修课程中学习过的,因此对学生来说是一次再认识,是反思.教学中还可从必修阶段的教科书上找到更多的案例进行分析. (2)注意给学生提供足够的活动空间, 充分利用学生已有的生活经验和数学活动经验,提供适当的知识生长点;通过问题串为学生的建构活动提供方向和框架,突出建构活动的逻辑性,使学生的逻辑思维活动和知识的学习过程统一起来. (3)突出数学本质, 适度形式化.教学中, 要对数学逻辑与推理证明方法进行适度的概括,从隐性到显性, 从渗透到正面突破, 最终给出可以操作的程序(步骤) 或模式.注意概括的层次, 不要企求一次到位,重理解,重应用,不要过分地追求形式化. 3.2注重运用现代教育技术 3.2.1注重运用现代教育技术的重要性及实例 在逻辑推理课中,有些客观事实不便在课堂中让学生直接观察,在这种情况下,教师就要尽可能地通过各种媒体(如幻灯、录相、挂图、模型……)让学生观察,而多媒体技术正好是创设真实情境的最有效工具. 例如:在上"立体几何"课时,利用多媒体电脑展示"让所有立体几何图形都动起来"课件,特别像轨迹方面的教学可以通过模拟实验来得出结论. 例如:已知圆A的方程为,B为圆上的动点,C点的坐标为(3,0),直线L为线段BC的垂直平分线,如下图,我们可以很形象地演示出L的轨迹. 学生在实际情境下进行学习,可以激发学生的逻辑与推理思维,激发学生学习立体几何的兴趣与好奇心,有效地降低学生对立体几何的恐惧感. 3.2.2运用现代教育技术的注意点 (1)学生获取了足够的客观事实后,要得出正确的结论,需要教师的启发,使学生通过对事实进行充分讨论和联想假设,进行科学的推理,最后通过模拟实验进行验证,得出科学的结论. "不愤不启,不悱不发." (2)教师要启发学生表达出自己想说却又说不出的思想.因为有了客观事实后,不等于可以推导出正确结论,教师要明确地提出问题,启发学生,鼓励学生大胆发表意见,展现他们的思维过程. 3.3运用交互式讨论的教学方法 3.3.1交互式教学的重要性及实例 师生之间的讨论以及学生之间的讨论能启发学生的思维,是进行逻辑与推理的最好方法.通过不断的实践师生之间的讨论以及学生之间的讨论,得出逻辑推理是否正确,这是科学认识事物不可缺少的过程.那么下面我来看一个简单的例子: 求证对任何的,都能被整除. 学生在证明时,可能会出现以下的错误的证明 当时,=,命题成立 假设时,命题成立,当时 由归纳假设知,都能被整除,故命题当时成立.所以由①②知对命题成立. 教师可以让学生讨论一下证明过程的正误,学生在讨论的过程中发现假设时,命题成立,而第一步中只证明了的情况,对未加验证,这样第二步的递推失去了第二步的奠基,这样学生在讨论中提高逻辑思维能力. 3.3.2交互讨论教学的注意点 (1)高中教材为发展学生的逻辑与推理能力提供了丰富的素材.所以,数学教学必须改变培养学生推理能力的"载体"单一化(几何)的状况. (2)要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间;要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题,引导学生参与 "过程";要恰当地组织、指导学生的学习活动,并真正鼓励学生,尊重学生,与学生合作.这样,就能拓宽发展学生逻辑推理能力的空间,从而有效地发展学生的推理能力. 参考文献 [1] 教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京: 人民教育出版社,2003,4 [2] 数学课程标准研制组 .数学课程标准(实验)解读[M].南京: 江苏教育出版社,2003,4 [3] 张春莉著.数学学习与教学设计[M].上海:上海教育出版社.2004,1 [4] 张定强、吕世虎著. 高中数学新课程内容解析[M].北京:首都师范大学出版社,2004,9 [5] 张奠宙编著. 数学教育学导论[M].北京:高等教育出版社,2003,4 [6] 王希平.对新课标理念下高中数学教学内容拓广的思考. [J].数学通报,2005,11:15-17 [7] 新课程实施中数学推理能力培养的几点思考[J].数学通报,2006,4:7-9 [8] 谷丹.关于使用新课标指导下的教材的一些感想[J].数学通报,2005,3:11-13