逻辑中的墓本概念 　　 机已经闯入我们的生活。众所周知，它可以用一些巧妙的方法出色 地完成许多事情，却不能创造这些方法。创造这些方法的是人！就本质讲， 机只是人的“模仿”，它必须照人类的安排去执行，仅此而已。对人类 来说，重要的是创造。创造这个字眼似乎很神秘，但却是人类的骄傲！ 当人们进行思索的时候，首先闪人脑海的，应该是大量与思索对象有关 的事实和结论。这些事实和结论在脑中形成一连串判断的句子，这些句子在 逻辑上称为命题。这一连串的命题便构成了思索的前提。 例如：当我们思考如何保证飞行人员在紧急状态下的安全时，闪现在脑 中的命题大概有： 命题 １：物体从高处下落，落体的速度会越来越快。 命题 ２：人以极大速度落于地面会造成死亡。 命题 ３：在空气中纸张要比石子下落慢得多。 命题 ４：如果天空有风，那么风筝将会飘悬在半空。 有了这些命题作为思索的前提，接下去便是依据这些命题作合理的推 理。 命题有简单的，也有复杂的，被人类长期实践所证实，我们无需证明而 认为是正确的命题，叫“假说”或“公理”。而那些能够证明是 '的命题 叫“定理”。在逻辑学中，我们常用一个字母表示一句话。如： ｐ＝“天空有风” Ｑ＝“风筝会飘悬在半空” 很明显，Ｐ 与 Ｑ 各自 一个简单的命题，在命题 ４ 中，Ｐ 是 Ｑ 的前提， 因此这是一个复合命题。在逻辑学中，我们常用箭矢号 “→”表示联系词 “如 果…， …”或“若…，则…”。例如，命题 ４ 可以用符号写成： Ｐ→Ｑ 表示式　ｐ→Ｑ 称为一个蕴涵关系。在蕴涵关系中，如果作为前提的命题 是真的， 作为结论的命题便是可 。第一个使用降落伞的人，就是相 信了这样的推理：用伞状的布，可以帮助自己从高处下落的危险中得以解救。 一个命题的反意或否定，我们用在 该命题的字母顶上加一横来表 示。 这个符号的含意是：“如果风筝不会飘悬在半空，那么天空没有风。” 关于推理的科学，以后的章节我们会陆续讲到。读者将会看到，数学与 逻辑推理有着千丝万缕的关系。数学家为我们创造了思考和观察世界的方 法，使人类能够卓有成效地进行一连串推理。在古代的希腊，研究几何需要 一个欧几里得那样的脑袋。而公元 １６３７ 年，法国数学家笛卡儿 （Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ， １５９６～１６５０）却告诉人们，如何把几何问题转化为 的问题，借助于这种
方法，几何中便不会有多大的难题。同样地，对复杂的逻辑问题，直接推理 常使人感到智穷力竭。然而， 十九世纪中叶， 英国数学家布尔 （Ｂｏｄｌｅ， １８１５～ １８６４）所创立的逻辑 ，却能轻松地 这类难题。今天，人们把布尔的 法则输入 机，才使 机赋有了逻辑推理的神力。 　　　 从一则寓言故事谈起 　　 从前，一个懒人有一大瓮米。 一天，他盘算道： “我将卖掉这些米，并买来尽可能多的小鸡。这些鸡长大后会下很多蛋。 然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪。当这些猪长大的时候，便会生许多小 猪。那时我再把它们卖了，买回一些水牛。有了水牛，就会有许多小水牛。 如果我把它们卖了，我就有钱买一块地。有了地，便可以种稻米、甘蔗和谷 物。有了收成，我还可以买更多的地。再经营几年，我就能够盖上一幢漂亮 的房子。” “当我盖好房子，我将娶一个世上最美的女人做妻子。” “那时，我是多么地富有，多么地幸福啊！” 懒人兴奋得手舞足蹈，不小心踢破了瓮，米倾落在肮脏的地面上。此时， 邻居的一大群鸡蜂拥而来，把地上的米啄食精光。小鸡、猪、土地、房子和 美丽的女人，一切的一切全都成了泡影。留给这个懒人的只是一只破了的瓮。 尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却颇值称道。 下面我们研究一下懒人是怎样进行一连串推理的。 首先，他从一瓮米开始，提出命题：“如果有米， 可以卖掉米，买 来尽可能多的小鸡”。简记为：“若有米，则有鸡”。这实际上是关于“有 米”者的一个命题，不论这有米者是谁。所以是个大前提。 懒人的第二个命题是：“我有一瓮米”，这是小前提。如果上述两个前 提为真， 推出的结论一定不假。用 Ｐ “有米”，Ｑ “有鸡”， 于是有： 【大前提】Ｐ→Ｑ，若有米，则有鸡。 【小前提】Ｐ，我有一瓮米。 【结论】Ｑ，那么我有尽可能多的鸡。 懒人接下去的推理是： 【大前提】若有鸡，则有蛋。 【小前提】我有鸡。 【结论】我有蛋。（我的鸡会生蛋） 【大前提】若有鸡和蛋，则有猪。 【小前提】我有鸡和蛋。 【结论】我有尽可能多的猪。
………… 以上这些都是演绎推理的简单例子。这种由大前提、小前提和结论三部 分组成的演绎推理方法，称为“三段论”。在三段论法中，如果我们承认 Ｐ →Ｑ 是真实的，而由此推得的逻辑上的合理结论，可以写成： Ｐ→Ｑ P Q 若 Ｐ、Ｑ 是经验命题， 复合命题 Ｐ→Ｑ 真实与否就不得而知。若要说 明不成立，只需举出一个反例就够了。例如“凡是鸡都会下蛋”，“若有鸡 和蛋，则有猪”，这些经验命题都未必是成立的。这 懒人悲剧之所在。 而懒人的演绎推理方法，却是无可指 。 若 Ｐ、Ｑ 是分析命题，例如 Ｐ 是“乘法交换律 ｍ??ｎ＝ｎ??ｍ”，Ｑ“５??３＝ ３??５”，对于规定的“数”和“乘法”，要么两者都成立，要么两者都不成 立。如果我们同意前一个命题，我们也就必须同意后一个命题。复合命题 Ｐ →Ｑ 在这种意义下被认为是真实的。 今天初中课本上讲的平面几何都是在公理的基础上通过科学的演绎，建 立起来的。 下面我们看一看如何通过演绎的方法，证明“三角形内角和等于 １８０ °”。 （ｌ）【大前提】：过直线外一点，有且只有一 线与已知直线平行。 【小前提】Ｃ 是直线 ＡＢ 外一点。 【结论】存在唯一直线 ‖ＡＢ。 （２）【大前提】两直线平行，同位角相等。（定理） 【小前提】ＣＤ‖ＡＢ 【结论】（同位角）∠１＝∠４ （３）【大前提】两直线平行，内错角相等。（定理） 【小前提】ＣＤ‖ＡＢ 【结论】（内错角）∠２＝∠５ （４）【大前提】若是平角， 则等于 １８０（定义） 【小前提】∠３＋∠４＋∠５ 为平角 【结论】∠３＋∠４＋∠５＝１８０° （５）【大前提】在等式中，一个量可以用它的等量来 。（公理） 【小前提】∠１＋∠２＋∠３＝∠３＋∠４＋∠５ 【结论】∠１＋∠２＋∠３＝１８０°（即为所证） 在实际运用中，三段论时常采用省略式。对于大前提不说也明白的情形， 可以省去。例如： “在△ＡＢＣ 中∵ＡＢ＝Ａ 小前提】∴∠Ｂ＝∠ 【结论】

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