齿轮技术入门篇
齿轮的功能
齿轮为最常用的机械元件之一 , 被广泛地使用在机械传动装置中 . 齿轮之所以能有如今这般的普及 , 其主要叙述如下 . 小自钟表用齿轮 , 大至船舶涡轮机用大型齿轮 , 它都可以确实地传动动力 . 经由选择不同齿数的组合 , 可以得到任意且正确的转速比 . 利用齿轮组合数的增减 , 可以自由地变换回转轴之间的相互关系位置 . 可以使用在平行轴 , 相交轴 , 交错轴等各种轴之间的传动上 . 本齿轮技术入门篇是为了提供正确使用齿轮的基础知识而编 . 本篇是为帮助客户能正确地从「KHK3009」中选用齿轮 , 因此在这裏以齿轮技术为中心介绍一些选用齿轮时所必需要的基本知识 .
齿轮入门篇目录
1 齿 轮 的 种 类 及 用 语 ………………………… 3 1.1 齿轮的种类……………………………… 3 1.2 齿轮几何记号及用语…………………… 5 2 齿 轮 锁 链 的 转 速 比 和 回 转 方 向 ………… 7 2.1 一段齿轮机构…………………………… 7 2.2 二段齿轮机构…………………………… 8 3 渐 开 线 齿 轮 ………………………………… 9 3.1 渐开线齿轮的齿形及尺寸……………… 9 3.2 渐开线曲线……………………………… 10 3.3 渐开线齿轮的咬合……………………… 11 3.4 渐开线齿形的创生……………………… 11 3.5 下切……………………………………… 12 3.6 齿轮的转位……………………………… 12 4 齿 轮 的 尺 寸 计 算 …………………………… 13 4.1 正齿轮…………………………………… 13 4.2 内齿轮…………………………………… 18 4.3 螺旋齿轮………………………………… 21 4.4 伞形齿轮………………………………… 28 4.5 交错轴螺旋轮…………………………… 34 4.6 圆筒蜗轮组……………………………… 36
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1 齿轮的种类及用语
1.1 齿轮的种类
(1) 平行轴的齿轮 ① 正齿轮 (Spur Gears) 齿筋与轴心平行的圆筒 齿轮 . 因为易於加工 , 因此在 动力传动上使用最为广 泛.
齿轮有很多种类 , 其分类法最通常的是根据齿轮轴 性来区分 . 分成平行轴 , 相交轴及交错轴三种类型 : 平行轴齿轮包括正齿轮 , 螺旋齿轮 , 内齿轮 , 齿条及 螺旋齿条等 . 相交轴齿轮有直齿伞形齿轮 , 弯齿伞形齿轮 , 零度 伞形齿轮等 交错轴齿轮有交错轴螺旋齿轮 , 蜗轮蜗杆 , 戟齿轮 等. 表 1.1 中 , 列出了常用齿轮的分类情况 .
图 1.1 正齿轮
② 齿条 (Racks) 与正齿轮咬合的直线条 状齿轮 . 可以看成是标准圆直径 无限大的正齿轮之特殊情 况.
表 1.1 齿轮的分类和种类 齿轮的分类 齿轮的种类 效率 (%)
图 1.2 齿条
平
行
轴
相 交
交 错
轴 轴
正 齿 轮 齿 条 内 齿 轮 螺 旋 齿 轮 螺 旋 齿 条 人 字 齿 轮 直齿伞形齿轮 弯齿伞形齿轮 零度伞形齿轮 圆筒蜗杆蜗轮 交错螺旋齿轮
③ 内齿轮 (Internal Gears)
98.0 ― 99.5
98.0 ― 99.0 30.0 ― 90.0 70.0 ― 95.0
与正齿轮相咬合 , 在圆 环的内侧切齿的齿轮 . 主要使用在行星齿轮传 动机构及齿轮联轴器等应 用上 . 图 1.3 内齿轮与外齿轮
④ 螺旋齿轮 (Helical Gears)
此表中所列出的效率为传动效率 , 不包括轴承及搅 拌润滑等的损失 . 齿轮的效率是齿轮在正常装配状况下的传动效 率 . 如果出现安装不正确的情况 , 特别是伞形齿轮装 配距离不正确而导致圆锥交点有误差时 , 其效率会显 著下降 .
齿筋为螺旋线的圆筒齿 轮. 因为比正齿轮强度高且 运转平稳 , 被广泛使用 . 唯转动时会产生轴向推 力. 图 1.4 螺旋齿轮
⑤ 螺旋齿条 (Helical Racks) 与螺旋齿轮相咬合的条 状齿轮 . 相当於螺旋齿轮的节径 变成无限大时的情形 . 图 1.5 螺旋齿条
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⑥ 人字齿轮 (Herringbone Gears)
(3) 交错轴齿轮 ① 圆筒蜗轮组 (Worm Gears)
齿筋为左旋及右旋的两 个螺旋齿轮组合而成的齿 轮. 有不产生轴向推力的优 点.
图 1.6 人字齿轮
圆筒蜗轮组是圆筒蜗杆 和与之咬合的蜗轮的总 称. 运转平静及单对即可获 得大转速比为其最大的特 徵 , 但是有效率低的缺点 .
图 1.10 圆筒蜗杆组
(2) 相交轴齿轮 ① 直齿伞形齿轮 (Streight Bevel Gears)
② 交错螺旋齿轮 (Screw Gears)
齿筋与节锥的母线一致 的伞形齿轮 . 在伞形齿轮中 , 属於比 较容易制造的类型 , 所以 , 作为传动用伞形齿轮应用 最为广泛 .
螺旋轮组在交错轴间传 动时的名称 . 可和螺旋齿 轮或正齿轮搭配使用 . 运转虽然平稳 , 但只适 合於使用在轻负荷的情况 下.
图 1.7 直齿伞形齿轮 (4) 其他特殊齿轮
图 1.11 交错螺旋齿轮
② 弯齿伞形齿轮 (Spiral Bevel Gears)
① 面齿轮 (Face Gears) 可与正齿轮或螺旋齿轮 咬合的圆盘状齿轮 . 在直交轴及交错轴间传 动.
齿筋为曲线 , 带有螺旋 角的伞形齿轮 . 虽然与直齿伞形齿轮相 比 , 制作难度较大 , 但是 其高强度及低噪音的特性 使弯齿伞形齿轮也被广泛 应用 .
图 1.12 面齿轮
图 1.8 弯齿伞形齿轮
② 鼓形蜗轮组 (Concave Worm Gears) 鼓形蜗杆及与之咬合的 蜗轮的总称 . 虽然制造比较困难 , 但 比起圆柱蜗杆组 , 可以传 动大的负荷 . ③ 戟齿轮 (Hypoid Gears) 在交错轴间传动的圆锥 形齿轮 . 大小齿轮经过偏移加工 , 与伞形 ( 弯齿 ) 齿轮相似 , 但咬合原理完全不同 ( 是一种双曲面间的传动 ) 非常复杂 .
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③ 零度伞形齿轮 (Zerol Bevel Gears)
图 1.13 鼓形蜗轮组
螺旋角为零度的弯齿伞 形齿轮 . 同时具有直齿和弯齿伞 形齿轮的特徵 , 尤其齿面 的受力情形与直齿伞形齿 轮相同 .
图 1.9 零度伞形齿轮
图 1.14 戟齿轮
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1.2 齿轮几何记号及用语
在本产品目录中使用的齿轮几何记号及用语列於表 1.2 ～ 1.6 中 . 随著国际化的发展 , 将齿轮几何记号的表 示与国际标准统一为目的 , 日本标准调查会 (JIS) 依据
ISO 标准对齿轮记号及用语的规定予以修改 . 本产品目 录的技术资料中所使用的齿轮几何记号及用语也与 ISO 规格一致 .
表 1.2 直线上及圆周上的尺寸
用
中心距离 标准节距 轴直角节距 齿直角节距 轴向节距 法线节距 轴直角法线节距 齿直角法线节距 全齿深 齿冠高 齿根高 弦齿高 固定弦齿高 有效齿高 圆弧齿厚 齿直角圆弧齿厚 轴直角圆弧齿厚 齿顶厚 基圆圆弧齿厚 弦齿厚 固定弦齿厚 跨齿厚 齿沟 齿顶隙 圆周齿隙 法线齿隙 径向齿隙 回转角度齿隙 齿幅 有效齿幅 导程 咬合长度 远离咬合长度 近接咬合长度 重叠咬合长度 标准圆直径 节圆直径 齿顶圆直径 基圆直径 齿底圆直径 中央标准圆直径 小端齿顶圆直径 标准圆半径 节圆半径 齿顶圆半径 基圆半径 齿底圆半径 齿形曲率半径 圆锥距离 背锥距离
表 1.3 角度尺寸
代 号 用 语 代 号
语
a p pt pn px pb pbt pbn h ha hf ha hc h' s sn st sa sb s sc W e c jt jn jr jθ b b' pz gα gf ga gβ d d' da db df dm di r r' ra rb rf ρ R Rv
标准压力角 咬合压力角 , 工作压力角 刀具压力角 轴直角压力角 齿直角压力角 轴向压力角 轴直角咬合压力角 齿顶压力角 齿直角咬合压力角 标准圆筒螺旋角 节圆筒螺旋角 中央螺旋角 齿顶圆筒螺旋角 基圆筒螺旋角 标准圆筒导角 节圆筒导角 齿顶圆筒导角 基圆筒导角 轴角 标准圆锥角 节圆锥角 齿顶圆锥角 齿底圆锥角 齿冠角 齿根角 轴直角接触角 重叠角 总接触角 齿厚之半角 齿顶齿厚之半角 齿沟之半角 冠齿轮之节距角 α 角的渐开线函数

α α' αo αt αn αx α't αa α'n β β' βm βa βb γ γ' γa γb ∑ δ δ' δa δf θa θf ζα ζβ ζγ ψ ψa η τ invα
记 号
表 1.4 数值及比率
用
齿数 等价齿轮齿数 牙数或小齿轮齿数 齿数比 转速比 模数 轴直角模数 齿直角模数 轴向模数 周节 轴直角咬合率 重叠咬合率 全咬合率 角速度 线速度 回转数 转位系数 齿直角转位系数 轴直角转位系数 中心距离修正系数
语

z zv z1 u i m mt mn mx P εα εβ εγ ω v n x xn xt y
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表 1.5 其他
用 语 记 号
切线力 ( 圆周 ) 轴向力 径向力 梢 ( 球 ) 直径 理想的梢 ( 球 ) 直径 跨梢 ( 球 ) 尺寸 通过梢 ( 球 ) 中心之压力角 摩擦系数 圆弧齿厚系数
表 1.7 为希腊字母表 . Ft Fx Fr dp d'p M φ μ Κ
表 1.7 希腊字母表
大写字母
Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ ∧ Μ Ν Ξ Ο ∏ Ρ ∑ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
小写字母
α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω
拼 音
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta lota Kappa Lambda Mu Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Chi Psi Omega
表 1.6 精度
用
单一节距误差 邻接节距误差 总累积节距误差 总齿形误差 齿沟偏摆 总齿筋误差
语
记 号

fpt fv 或 fpu Fp Fα Fr Fβ

以上的记号使用上加注下标 1 或 2, 以区别大齿轮与 小齿轮 , 蜗杆与蜗轮 , 驱动齿轮与被动齿轮等 .
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2 齿轮锁链的转速比和回转方向
齿轮是无法单独行使动力的传达 . 至少要有两个以 上的齿轮相互咬合才能达到传动目的 . 在这裏 , 我们先从最单纯简单的一段齿轮机构与二 段齿轮机构来说明 , 然后再深入到行星机构及封闭拘 束齿轮系 .
设一段齿轮机构驱动齿轮的齿数为 , 转速为 , 被动 齿轮的齿数为 转速为 , 转速比的计算式如下 :

z2 n1 转速比= z1 = n2
2.1) (
2.1 一段齿轮机构
一对齿轮咬合后而形成的齿轮系称为一段齿轮机 构 . 一段齿轮机构如图 2.1 所示 .
根据转速比的数值 , 可将一段齿轮机构分为三类 : 转速比 < 1 增速齿轮机构 n1 1 减速齿轮机构 n1 > n2 图 2.1 中 ,(A) 和 (B) 为外齿轮咬合的一段齿轮机构 , 驱动齿轮与被动齿轮的回转方向相反 . 图 2.1 中 ,(C) 为外齿轮与内齿轮相咬合的情况 , 转向 相同 . 图 2.1 中 ,(D) 为蜗轮蜗杆咬合的情况 , 蜗轮的回转 方向会因螺旋方向而异 .
(z 2,n 2)
齿轮 2
( z 1,n 1)
齿轮 1
( z 2,n 2)
齿轮 2
( z 1,n 1)
齿轮 1
(A) 正齿轮组合
(B) 伞形齿轮
( z 2,n 2)
齿轮 2
( z 1,n 1)
齿轮 1
右旋蜗杆
(z 1,n 1)
左旋蜗杆
( z 1,n 1)
(C) 正齿轮与内齿轮
右旋蜗轮
( z 2,n 2)
左旋蜗轮
( z 2,n 2)
(D) 蜗杆蜗轮
图 2.1 一段齿轮机构
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除此之外 , 还有使用齿条的一段齿轮机构 . 在这个一 段齿轮机构中 , 若小齿轮的齿数为 z1 的话 , 小齿轮在 回转 θ 角度后 , 齿条移动量 的大小可根据下式计算 :
z1 θ = × πm 360
(2.2)
如果机构中的齿轮 2 与齿轮 3 的齿数相等时 , 就将 变成图 2.3 所示的机构 . 在图 2.3 的机构中 , 齿轮 2 对转速比不产生影响 , 称之为惰轮 . 因此 , 可以将此机构看成是使用了惰轮的一段齿轮 机构 , 其转速比为 : z2 z3 z3 转速比= z1 × z2 = z1 (2.4)
公式中的 πm 为齿条的标准节距 .
2.2 二段齿轮机构
二段齿轮机构是用二组一段齿轮机构所构成的 . 图 2.2 为二段齿轮机构的构造 . 在这裏 , 假设第一段齿轮中齿轮 1 为驱动齿轮 , 则 此齿轮机构的转速比为 : z2 z4 n1 n3 转速比 = z1 × = × (2.3) z3 n2 n4
其中 n2 = n3 在这个二段齿轮机构中 , 齿轮 1 和齿轮 4 的回转方 向相同 .
( z 3,n 3)
齿轮 3
( z 2,n 2)
齿轮 2
( z 1,n 1)
齿轮 1
图 2.3 使用了惰轮的一段齿轮机构 ( z 4,n 4)
齿轮 4
( z 3,n 3)
齿轮 3
( z 2,n 2)
齿轮 2
(z 1,n 1)
齿轮 1
图 2.2 二段齿轮机构
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3 渐开线齿轮
渐开线齿形是动力传达用齿轮中最具有代表性的齿 形 , 使用也最为普遍 . 渐开线齿轮的特点是制作容易 , 在中心距离有少许误 差的情形下也能平稳地咬合运转 .
M1
M1.5
3.1 渐开线齿轮的齿形及尺寸
轮齿的大小一般以模数 m( 单位 :mm) 来表示 . 模数 乘以 π 所得的值称为标准节距 p( 节距 ). p = πm (3.1) 标准 JIS B 1701-1973 渐开线齿轮的齿形及尺寸中所 规定的模数标准值分为三个系列如表 3.1. 齿条齿形的 模数实际大小如图 3.1 所示 . 表 3.1 模数标准值
第1系列 第2系列 第3系列
M2
M2.5
M3
M4
单位 mm
第1系列 第2系列 第3系列
M5
0.10 0.10 0.20 0.10 0.30 0.10 0.40 0.10 0.50 0.10 0.60 0.65 0.10 0.10 0.80 0.10 1.00 1.25 1.50 0.10 2.00 0.10 2.50 0.10 3.00 0.10
0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.65 0.65 0.70 0.75 0.8 0.90 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3.25
0.1
0.1
0.65 0.1 0.1 0 0.1 .00 0.1 0 0.1 .00 0.1 0 0.1 0.1 3.25
0 0.1 0 0.1 0 0.1 0 0.1 0 0.1 0.6
4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50
23.5 .6 .6 24.5 25.5 27.6 29.6 11.6 14.6 18.6 22.6 28.6 .6 36.6 45.6
3.75
M6
6.50
M10
图 3.1 齿条齿形的模数实际大小图
(注)优先选用第 1 系列 .
另外还有使用径节 P(D.P.)来表示轮齿的大小的方 法 , 主要使用在美国 .
径节 P 与模数 m 的关系为 : m = 25.4/P
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p
pb
3.2 渐开线曲线 (Involute Curve)
p/2
α
α
hf
从渐开线曲线的绘图方法上可充分显示出渐开线 ( 或称为渐伸线 ) 正如其名 .
h
ha
α
db
d
模数 m 压力角 α = 20° 齿冠高 ha = m 齿根高 hf ≥ 1.25 m 全齿深 h ≥ 2.25 m 有效齿深 h'= 2.00 m 齿顶隙 c ≥ 0.25 m 标准节距 p = πm 基圆节距 pb = pcosα 标准圆直径 d = mz 基圆直径 db = dcosα
如图 3.3 所示 , 将一条一端固定在圆筒上的线 , 在张 紧的情形下向外反转松开 , 此时线的另一端所画出的轨 迹称为渐开线曲线 . 而这个圆筒是此渐开线的基圆 . 沿 著这个基圆转动一条直尺 , 直尺上的一定点所经过的轨 迹也为渐开线 . 根据渐开线的性质 , 弧 ac 与直线 bc 长 度必须相等 , 所以 : bc rb θ tanα = = = θ(弧度) (3.4) oc rb 根据图 3.3 , θ 可以表示为 invα + α, 代入算式 (3.4) 中: invα = tanα - α (3.5) α 函数的 invα 被称为渐开线函数 . 渐开线函数 invα 在齿轮的计算中使用率非常高 . 以基圆的圆心 O 当成 xy 直角座标的原点 , 则渐开线 函数在此直角座标系中可用下列公式表示 . x = rcos ( invα) rb = cos ( invα) cosα y = rsin( invα) rb = sin( invα) cosα 其中 r = rb/cosα 用这个公式 , 可以简单地描绘出渐开线齿形 .
y
图 3.2 标准齿条的齿形及尺寸 ( 全齿深齿形 )
另外 , 还有使用周节 P (C.P.) 来做为表示轮齿大小的 单位 . 常用在给进机构中 , 给进量可以很容易地调成 整数 . 在齿形中以标准所规定的压力角 α = 20° , 全齿深 渐开线齿形使用范围最为普遍 . 渐开线齿轮的标准齿条之齿形及尺寸列在图 3.2 中 . 齿形被称为全齿深齿形 , 标准中规定齿冠高 h a = 1.0m, 齿根高 hf ≥ 1.25m. 另外 , 还有齿深低於全齿深的矮齿齿形和齿深高於 全齿深的高齿齿形 . 矮齿的齿深以 h a = 0.8m , h f ≥ 1.0m 的标准矮齿最 为常见 , 矮齿的优点是轮齿的强度较高 , 而缺点是咬 合率较低 . 以渐开线齿轮的节距 p 乘以齿数 , 可以得出正齿轮 标圆的周长 . dπ = πmz (3.2) 经由 (3.2) 算式 , 可以导出正齿轮标准圆直径 d (节 径)的公式(3.3). d = mz (3.3)
3.6) (
c r
rb
α O
α θ a invα b x
图 3.3 渐开线曲线
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3.3 渐开线齿轮的咬合
图 3.4 所示为一对标准正齿轮的啮合状态 . 如图所示 , 渐开线齿轮齿面的接触点会在两基圆的 内公切线 ( 作用线 ) 上移动 . 因此 , 能成为一对齿轮的 咬合条件 , 必须要在法线节距 pb ( 基圆节距 ) 相等的情 形下 . pb = πmcosα (3.7) 经由公式 (3.7) 可以看出 , 一对齿轮咬合的条件不仅 仅是模数 m 必须相等 , 压力角 α 也必须相等 , 如此齿 轮才能正确地咬合 . 图 3.4 中作用线上的长度 ab 被称为啮咬合线长度 ( 咬合长度 ).
咬合线长度 ab 除以法线节距 p b 的值被称为轴直角 咬合率 ( 正面咬合率 ). 咬合线长度 ab 轴直角咬合率 ε α = (3.8) 法线节距 pb 齿轮要维持连续平稳地传动 , 咬合率必须大於 1. 因此 , 渐开线齿轮咬合时 , 模数 m 和压力角 α 是十 分重要的要素 .
3.4 渐开线齿形的创生 (Generation)
利用齿条形刀具可以很容易地加工出渐开线齿 形 . 使用创生原理而制造的切齿机械 , 较具代表性的 有滚齿机及插齿机 . 图 3.5 显示利用创生原理加工渐开线齿形时的模样 . 标准正齿轮在创生时 , 齿轮的标准圆直径 ( 节径 ) 和 齿条形刀具的标准节线在不产生滑动的条件下相切滚 动 , 即可创生出如图 3.5 所示的渐开线齿形 . 渐开线齿轮的创生切削机械 , 还有另一种使用小齿轮 形切齿刀的插齿机 . 这种插齿机 , 不但可以加工外齿轮 , 还可以加工内齿轮 .
O1 O2
齿条形刀具
d1 db1 O1 α
a
咬合线长度
α b db2 d2
O2 d sin2α 2 I α d db O
O1 O2
图 3.5 标准正齿轮的创生
( α = 20°, z = 10, x = 0 )
图 3.4 渐开线齿轮的咬合
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3.5 下切 (Under Cut)
如图 3.5 中所示的小齿数标准正齿轮切齿加工时 , 刀具切削深度超过干涉点 I 时 , 所产生的下切现像 . 下切是刀具的刃部先端直线部分 ( ) 将齿轮齿根部 的齿形曲线切掉之现像 . 设标准正齿轮的刀刃先端直线部的深度为 1 m, 则不产生下切的条件为 : mz m ≤ sin2α (3.9) 2 根据这个条件 , 导出标准正齿轮下切界限齿数 z 的 公式(3.10). 2 z = (3.10) sin2α 标准压力角 α = 20° 时 , 下切界限齿数为 z=17. 不过 , 若在强度及咬合率等方面没有问题时 , 即使是齿数在 16 以下也可以使用 .
3.6 和图 3.7 所显示的为转位齿轮的加工 , 此时刀具 的偏移量 xm 被称为转位量 , 而 x 则被称为转位系数 .
变位齿轮不产生下切的条件是 : zm m - xm ≤ sin2α (3.11) 2 由此得出下切界限齿数 z 为 : 2 (1 - x) z = (3.12) sin2α 同样亦可得出 , 转位系数 x 的值为 : z x = 1 - sin2α 2 (3.13)
3.6 齿轮的转位 (Profile Shifting)
防止下切的方法之一是齿轮的转位 . 转位有正转位 和负转位 . 为了防止如图 3.5 中所示的下切 , 我们提 出正转位的例子 , 并图示於 3.6 中 . 与图 3.6 相反地 , 图 3 7 为负转位的例子 . 从图中可以明显地看出 , 由於采用负转位 , 所以下切现像也变得更加严重 . 图
除了防止下切的发生外 , 中心距离的调整 , 也经常 使用齿轮的转位 . 齿轮在转位时除了必须讨论下切问题外 , 齿顶的宽 度过小也必须加以注意 . 小齿数齿轮在正转位过大时 , 有可能会造成齿顶宽度不足甚至齿顶变尖 . 有关正齿轮齿顶宽度 ( 齿顶厚 ) 的计算方法列於表 3.2 中 .
表 3.2 正齿轮齿顶宽度 ( 齿顶厚 ) 计算
序号 1 计算项目 记号 计算公式 计 算 例
齿顶圆 压力角 齿顶圆弧 齿厚半角 齿顶厚
αa ψa sa
2 3
m = 2 α = 20° z = 16 d x =+ 0.3 d = 32 cos -1 b db = 30.07016 da da = 37.2 π αa = 36.06616° 2xtanα + z +(invα - invαa ) invαa= 0.098835 2z (弧度) invα = 0.014904 ψa = 1.59815° (0.027893 弧度 ) ψa da sa = 1.03762
齿条形刀具
齿条形刀具
ψa Sa αa
(α )
xm
d sin2α 2
α d db d O db
xm
α
(ψ )
O (S )
图 3.6 正转位正齿轮的创生
( α = 20°, z = 10, x = + 0.5 )
图 3.7 负转位正齿轮的创生
图 3.8 齿顶厚
( α = 20°, z = 10, x =-0.5 )
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4 齿轮尺寸计算
设计齿轮时 , 尽管顺序会有所不同 , 但所有的设计 者必须要做下列工作 . ◎计算齿轮的强度 ◎计算材料的尺寸 ◎计算齿轮的齿厚 ◎计算齿隙 ◎计算齿轮上的作用力 ◎探讨齿轮的润滑法及润滑油 决定齿轮的诸元 , 材料及精度 材料 , 毛胚 , 车削等必要的尺寸 对齿轮切削及研磨等必要的尺寸 决定轴及轴承的尺寸时所必要的资料
a
从这里开始 , 按不同顺序 , 对设计时所必要的项目 详加说明 . 首先是齿轮的尺寸计算 . 根据各种齿轮的基本诸元 , 计算各种齿轮在车削 , 滚齿等加工时所必要的尺寸 .
d1 O1
db1 α
df2
db2
d2
da2
O2 α
4.1 正齿轮 (Spur Gears)
d a1
df
1
(1)标准正齿轮 (Standard Spur Gears) 图 4.1 说明标准正齿轮的咬合状况 . 标准正齿轮於标准节圆在相切滚动之状态下咬合转 动. 表 4.1 为标准正齿轮的计算表 . 表 4.1 标准正齿轮的计算表
序号 1 2 3 4 5 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
图 4.1 标准正齿轮的咬合
( α = 20°, z1 = 12, z2= 24, x1 = x2 = 0 )
模数 标准压力角 齿数 中心距离
m α z a d db ha h da df ( z1 + z2) m 2 zm dcosα 1.00m 2.25m d + 2m d - 2.5m
注1
3 20 12 54.000 36.000 33.829 03.000 06.750 42.000 28.500 72.000 67.658 03.000 06.750 78.000 64.500 24
标准圆直径 6 基圆直径 7 齿冠高 8 全齿深 9 齿顶圆直径 10 齿底圆直径
注 1 记号加注下标 1,2 , 以区别大 , 小齿轮 .
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在表 4.1 中 , 首先便指定出模数 m 及齿数 z 1 , z 2 . 便 指定出 m 中心距离 a 与转速比 i 为已知条件时 , 计算 出齿数 z1, z2 之数据 .
表 4.2 齿数的求法
序号 1 2 3 4 5 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例
模数 中心距离 转速比 齿数的和 齿数
m a i z1 + z2 z 2a m z1 + z2 i+1 i(z1 + z2) i+1 16
03 54.000 1.25 36 20
如上例所示 , 齿数刚好为整数 . 但是 , 在实际计算时 并非一定如此 ( 齿数之和有可能不为整数 ). 遇到这种 情况时 , 取最近的整数 ( 或稍加修正 ) 为齿数 , 再将齿 轮予以转位或者以螺旋齿轮代替正齿轮的话 , 可得到与 所需转速比相近的解答 .
14
齿轮技术入门篇
(2)转位正齿轮 (Profile ShiftedSpur Gears) 图 4.2 为转位齿轮的咬合示意图 . 转位正齿轮的咬合最重要的是咬合标准圆直径 d' 和 压力角 α ' , 也可以说当咬合压力角不为标准压力角时 , 即为转位齿轮 . 这些数值 , 可根据已知的转位正齿轮中心距离 a 利 用下列公式求出 : z1 d'1 = 2a z1 + z2 z2 (4.1) d'2 = 2a z1 + z2 db1 + db2 α' = cos - 1 2a 转位齿轮可视为这两个相切咬合圆的滚动 , 咬合节圆 的压力角即为咬合压力角 . 表 4.3 为已知转位系数 x1, x2, 求算其他齿轮诸元的 计算方法 , 此算法是以齿顶隙 c=0.25m 为基础所发展 出来的 .
d'1 d1 O1 df1 db1 α'
a
df2
d2 db2
d'2
da2
O2 α'
图 4.2 转位齿轮的咬合
( α = 20°, z1 = 12, z2= 24, x1 = + 0.6, x2 = + 0.36 )
表 4.3 转位正齿轮的计算(1)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
模数 压力角 齿数 转位系数
m α z x invα' α' y a d db d' ha1 ha2 h da df 2 tanα x1 + x2 invα + z1 + z2
查阅渐开线函数表
3 20 12.0000 24.0000 00.6000 00.3600 0.034316 26.0886 0.83329 56.4999 36.0000 33.8289 37.6670 4.420 6.370 44.8400 32.1000 72.0000 67.6579 75.3330 3.700 79.4000 66.6600
α' 角的渐开线函数
咬合压力角 中心距离修正系数 中 心 距 离 标准圆直径 基圆直径 咬合标准圆直径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
z1 + z2 cosα - 1 2 cosα' z1 + z2 + y m 2 zm dcosα db cosα' (1 + y - x2 ) m (1 + y - x1 ) m { 2.25 + y - x1 + x2 ) m ( } d + 2ha da - 2h
转位齿轮的计算中 , 将 x 1 = x 2 = 0 时 , 即为标准齿 轮的计算 .
15
齿轮技术入门篇
若将计算表 ( 1) 中的第 4 到第 8 项的顺序颠倒的话 , 就变成中心距离为已知 条件 , 倒求转位系数的方法 , 如表 4.4 转位齿轮的计算 (2). 表 4.4 转位齿轮的计算(2)
序号 1 2 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例
中心距离 中心距离修正系数
a y α' x1 +x2 x
- m
56.4999 a z1 + z2 2 00.8333 26.0886 0.9600 0.6000 0.3600
3
咬合压力角
cos - 1
cosα 2y z1 + z2 + 1
4 5
转位系数和 转位系数
(z1 + z2)(invα' -invα) 2 tanα
至於如何将转位系数和 x 1 + x 2 分配到每个齿轮上 , 有著各式各样的方法 . 其中 比较著名的有 BSS(英国 国家规格), DIN(德国国家规格)等 . 在这里 , 我们 将省略对此问题的说明 . 在上述转位正齿轮的计算例中 , 是在既为防止下切 , 又不使齿顶变尖的情况下 , 为小齿轮(z1 = 12)选择转 位系数 .
16
齿轮技术入门篇
(3)齿条和正齿轮 (Racks & Pinions) 在这裏 , 我们将介绍齿条与正齿轮的咬合及计算方法 . 在图 4.3(1) 中 , 我们举出了标准正齿轮与齿条的咬 合状况 . 在这个咬合中 , 标准正齿轮的标准节圆与齿 条的节线相切 . 图 4.3(2) 则表示转位正齿轮和齿条的咬合状态 . 转 表 4.5 齿条与变位正齿轮的啮合计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 计 算 项 目 记号 计 算 公式
位正齿轮的标准节圆和齿条的节线不相切 , 在离开转 位量 的位置咬合 ( 注 . 齿条的压力角即为标准压力角 , 既然标准压力角在一特定系统中不会改变 , 也就没有 所谓的转位齿条了 . 因此无论小齿轮如何转位 , 其与 齿条的咬合压力角仍旧为标准压力角不会改变 ). 表 4.5 中 , 示意了齿条和转位正齿轮咬合的计算方 法 . 当表中的转位系数 x 1= 0 时 , 可以做为无转位标准 正齿轮的计算公式加以使用 .
计 算 例 正齿轮 齿条
模数 压力角 齿数 转位系数 节线高度 咬合压力角 装配距离 标准圆直径 基圆直径 啮合标准圆直径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
m α z x H α' a d db d' ha h da df
+ H + xm
3 20° 12 — 0 0.600 — 32.000 20° zm 2 51.800 36.000 33.829 36.000 04.800 06.750 45.600 32.100 — 03.000
zm dcosα db cosα' m( 1 + x) 2.25m d + 2ha da - 2h
—
齿条与正齿轮咬合时 , 正齿轮回转一周的齿条移动 量 l 为标准节距的齿数倍 . l = πmz (4.2)
齿条的移动量 l 不受齿轮转位的影响 , 也是由齿条
的标准节距 πm 和正齿轮的齿数 z 来决定 .
d
d db α d 2
db α d 2 xm H a
图 4.3(1) 标准正齿轮与齿条的咬合
( α = 20°, z1 = 12, x1 = 0 )
17
H
a
图 4.3(2) 转位正齿轮与齿条的咬合
( α = 20°, z1 = 12, x1 = + 0.6 )
齿轮技术初级篇
4.2 内齿轮 (Internal Gear)
(1)转位内齿轮的计算 内齿轮与正齿轮的咬合状况如图 4.4 所示 . 内齿轮和外齿轮咬合时 , 最重要的是要掌握咬合标
α' O1 α' a db2 da2 d2 df 2 O2
准圆直径 d' 和咬合压力角 α'. 具体的数据可以根据转位齿轮的中心距离 a 简单地 利用下式求出 .
d'1 = 2a z2 - z1 z2 d'2 = 2a z2 - z1 α' = cos - 1 db2 - db1 2a z1
(4.3)
表 4.6 中 , 列出了变位内齿轮与正齿轮的计算方法 . 计算标准齿轮时 , 我们只要将式中的 x1 = x2 = 0 来 计算即可 . 表 4.6 转位内齿轮和正齿轮的计算(1)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 计 算 项 目 记号 计 算 公 式
图 4.4 内齿轮与正齿轮的咬合
计 算 例 正齿轮(1) 内齿轮(2)
( α = 20°, z1 = 16, z2= 24, x1 = x2 = + 0.5 )
模数 压力角 齿数 转位系数 渐开线函数 咬合压力角 中心距离修正系数 中 心 距 离 标准圆直径 基圆直径 咬合部节径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
m α z x inv α' α' y a d db d' ha1 ha2 h da1 da2 df1 df2 x2 - x1 2 tan α + inv α z2 - z1
查阅渐开线函数表
3 20° 16 0 24 + 0.5 0.060401 31.0937° 00 00.3894260 13.16830 48.000 45.105 52.673 03.000 72.000 67.658 79.010 1.500
z2 - z1 cos α - 1 2 cos α' z2 - z1 + y m 2 zm d cos α db cos α'
( 1 + x1 ) m ( 1 - x2 ) m
2.25m
06.75000 54.000 40.500 69.000 82.500
d1 + 2ha1 d2 - 2ha2 da1 - 2h da2 + 2h
394
齿轮技术入门篇
若是在中心距离 a 为已知条件下 , 欲求得转位系数
x 1 , x 2 时 , 则必须将表 4.6 中第 4 项到第 8 项的顺序 颠倒过来计算 , 如表 4.7 .
表 4.7 转位内齿轮和正齿轮的计算(2)
序号 1 2 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例
中心距离 中心距离修正系数
a y α' x2 - x1 x
-
13.1683 a m z2 - z1 2 00.38943
3
咬合压力角
cos - 1
z
2
- z1 + 1
2y
cosα
31.0937° 0 0.5000 0 0.5
4 5
转位系数的差 转位系数
(z2 - z1)(invα' -invα) 2tanα
内齿轮或正齿轮在使用小齿轮形切齿刀切齿时 , 加 工齿轮的齿深及齿底圆直径可能与根据上式所算得的 资料不同 . 这是因为齿数及小齿轮形切齿刀转位系数 的影响 . 要想得到正确的尺寸 , 需要根据小齿轮形切 齿刀的转位系数严密计算 . (2)内齿轮的干涉 内齿轮与外齿轮在啮合时 , 会发生如下具有代表性 的三种干涉 . 1. 渐开线干涉 (involute interference) 2. 滚迹线干涉 (trochoid interference) 3. 脱离干涉 (trimming interference) (a)渐开线干涉 渐开线干涉是正齿轮的齿根与内齿轮的齿冠间的干 涉 , 容易发生在正齿轮的齿数较少时 . 避免渐开线干涉发生的条件是 : z1 ≥ 1 - tanαa2 z2 tanα' 其中 αa2:是内齿轮的齿顶压力角 db2 da2 (4.5) (4.4) (b)滚迹线干涉 滚迹线干涉是正齿轮的齿冠在脱离内齿轮齿沟时 ,
与内齿轮的齿冠间产生之干涉 , 容易发生在内齿轮与 正齿轮的齿数差较小时 . 不产生滚迹线干涉的条件是 :
z1 θ1 + invα' - invαa2 ≥ θ2 z2 其中
2 2 2 θ1 = cos - 1 ra2 - ra1 - a 2ara1
(4.8)
a2 = cos - 1 α
+ invαa1 - invα'
2 2 2 θ2 = cos - 1 a + ra2 - ra1 2ara2
α':是咬合压力角 = cos - 1 (z2 - z1)mcosα α' 2a (4.6)

(4.9)
其中
αa1 是正齿轮的齿顶压力角 (4.10)
想要使 (4.5) 公式成立 , 则内齿轮的齿顶圆比基圆大 是其必要条件 . a2 ≥ db2 d (4.7) 节圆压力角 α = 20° 的标准内齿轮 , 如果齿数不能满 足条件 z2 > 34 的话 , 则内齿轮的齿顶圆无法大於基圆 .
d αa1 = cos - 1 b1 da1 αa2 = cos - 1 db2 da2
经由计算可以得出 , 节圆压力角 α = 20°的标准内 齿轮与标准正齿轮啮合时齿数差 z 2 - z 1 只要大於 9, 就不会发生滚迹线干涉 .
19
齿轮技术入门篇
表 4.8 (1)不发生脱离干涉的内齿轮齿数界限 α0 =20° 0 =x2 =0 ,x
(c)脱离干涉 脱离干涉是指正常咬合的内齿轮与正齿轮间 , 正齿 轮无法从咬合状态沿半径方向脱离退出 , 这种干涉也 是容易发生在内齿轮与正齿轮的齿数差较小时 . 不发生此干涉的条件如式 (4.11) 所示 : z θ1 + invαa1 - invα' ≥ 2 ( θ2 + invαa2 - invα' ) z1 其中 (4.11) 2 1 - (cosαa1/cosαa2) θ1 = sin - 1 1 - ( z1 /z2 ) 2 √ (4.12) (cosαa2/cosαa1) 2 - 1 θ2 = sin - 1 (z2 /z1 ) 2 - 1 √ 即使发生脱离干涉 , 只要将齿轮沿轴方向移动仍然 可以装卸齿轮 , 且完全不会影响齿轮咬合后的运转 . 但是 , 当使用小齿轮形切齿刀创生内齿轮时 , 这种 干涉就成了重大的问题了 . 也就是说 , 在有脱离干涉 的情形下 , 小齿轮形切齿刀从内齿轮退刀脱出时 , 由 於干涉的影响 , 刀具有发生破损的可能 .
z0 z2 z0 z2 z0 z2
15 34 28 46 44 62
16 34 30 48 48 66
17 35 31 49 50 68
18 36 32 50 56 74
19 37 33 51 60 78
20 38 34 52 64 82
21 39 35 53 66 84
22 40 38 56 80 98
24 42 40 58 96
25 43 42 60 100
27 45
114 118
此表中 , z0 = 15 ～ 22 时 , 将发生渐开线干涉 ( z0 为小齿轮形切齿刀的齿数). 表 4.8(2) 列出了利用转位小齿轮形切齿刀切削标准 内齿轮时 , 不发生脱离干涉的内齿轮最少齿数 . 此时 , 设 x0 = 0.0075z0 + 0.05 .
表 4.8 (2) 不发生脱离干涉的内齿轮齿数界限
刀具压力角 α0 =20°的标准内齿轮 , 利用无转位的 (x 0 = 0)小齿轮形切齿刀切齿时 , 不发生脱离干涉的 内齿轮齿数界限 ( 下限 ) 列於表 4.8(1).
z0 15 16 17 18 19 20 21 22 x0 0.1625 0.17 0.1775 0.185 0.1925 0.2 0.2075 0.215 z2 36 38 39 40 41 42 43 45 z0 28 30 31 32 33 34 35 38 x0 0.26 0.275 0.2825 0.29 0.2975 0.305 0.3125 0.335 z2 52 54 55 56 58 59 60 64 z0 44 48 50 56 60 64 66 80 x0 0.38 0.41 0.425 0.47 0.5 0.53 0.545 0.65 z2 71 76 78 86 90 95 98 115
α0 =20° 2 =0 ,x
24 0.23 47 40 0.35 66 96 0.77 25 48 42 0.365 68 100 0.8 27 50 0.2375 0.2525
136 141
此表中 , 当 z 0 = 15 ～ 19 时 , 将发生渐开线干涉 , 内 齿轮齿冠的部分正确的渐开线齿形将因为与刀具发生 干涉而被切掉 .
θ
1
干涉
θ
1
干涉
干涉 渐开线干涉
θ
2
θ
2
滚迹线干涉
图 4.5 渐开线干涉和滚迹线干涉
图 4.6 脱离干涉
20
齿轮技术入门篇
4.3 螺旋齿轮 (Helical Gear)
如图 4.7 所示 , 螺旋齿轮是齿筋呈螺旋线状的圆筒
齿直角方式的螺旋齿轮只要齿直角模数 m n 和齿直
角压力角 α n 相同 , 既使是标准圆螺旋角 β 即不同 , 也 齿轮 . 在节圆上 , 螺旋线之螺旋角为 β , 回转一周的导 程为 pz.
螺旋齿轮的齿形曲线 , 从轴直角断面看为渐开线曲
可以利用相同的滚齿刀切齿加工 . 但是 , 轴直角方式的螺旋齿轮就不一样了 , 虽然是 轴直角模数 m t 和轴直角压力角 α t 相同 , 如果标准圆 筒螺旋角 β 不同的话 , 切齿时就不能使用相同的滚齿 刀具 . 由於齿直角方式螺旋齿轮比较容易制造 , 因此被广 泛采用 . 在平行轴使用螺旋齿轮咬合时 , 必须使用螺旋角大 小相等 , 旋向相反的齿轮组 . 螺旋角大小不同或旋向相同的螺旋齿轮 , 是不能使 用在平行轴上咬合转动的 , 只能在两轴交错的情形下 咬合 , 此时便称之为交错轴螺旋轮了 .
线 , 齿形有齿直角方式与轴直角方式二种 . 螺旋线在齿直角方向上所测定的节距为 p n(齿直角 节距), 将之除以 π 所得的数值为齿直角模数 mn.
mn = pn π
(4.13)
以齿直角模数 mn 和齿直角压力角 αn 为标准的齿轮 , 称为齿直角方式螺旋齿轮 . 把在轴和节面垂直平面上 , 其上的节圆所测出的节 距 p t (轴直角节距) 除以圆周率 π 所得出的数值称为
轴直角模数 mt.
p mt = πt (4.14)
以轴直角模数 mt 和齿直角压力角 αt 为标准的齿轮 , 称为齿直角方式螺旋齿轮 .
px
标准圆直径
标准圆周长
d
πd
pn
标准圆螺旋角
pt β pz = πd/tanβ
导程
图 4.7 螺旋齿轮(右旋齿)
21
齿轮技术入门篇
(1)齿直角方式螺旋齿轮 对於转位螺旋齿轮的咬合而言 , 咬合圆直径 d' 和轴
直角咬合压力角 α't 是重要的因素 . 从轴直角来考虑的话 , 正齿轮和螺旋齿轮的咬合情 形是相同的 , 所以计算公式也相同 . z1 d'1 = 2a z1 + z2 z2 (4.15) d'2 = 2a z1 + z2 d +d α't = cos - 1 b1 2a b2 表 4.9 是齿直角方式转位螺旋齿轮的计算表 . 计算标 准螺旋齿轮时 , 式中的 xn1 = xn2 = 0.
表 4.9 齿直角方式转位螺旋齿轮的计算 (1)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
齿直角模数 齿直角压力角 标准圆筒螺旋角 齿数 ( 螺旋方向 ) 轴直角压力角 齿直角转位系数
mn αn β z αt xn inv α't α't y a d db d' ha1 ha2 h da df x + xn2 2 tanαn n1 + invαt z1 + z2
查阅渐开线函数表
3 20° 30° 12(L) 60(R) tan - 1 tanαn cosβ 22.79588° + 0.09809 0.023405 23.1126° 0.09744 125.000 41.569 38.322 41.667 3.292 6.748 48.153 34.657 213.842 200.346 207.846 191.611 208.333 2.998 0
α't 的渐开线函数
轴直角咬合压力角 中心距离修正系数 中心距离 标准圆直径 基圆直径 咬合标准圆直径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
z1 + z2 cosαt - 1 2cosβ cosα't z1 + z2 + y mn 2cosβ zmn cosβ dcosαt db cosα't (1 + y - xn2 ) n m ( 1 + y - xn1 ) n m { 2.25 + y - xn1 + xn2 ) mn ( } d + 2ha da - 2h
22
齿轮技术入门篇
当齿轮的中心距离 a 为已知的条件下 , 欲求得转位
系数 x n1 , x n2 时 , 需将表 4.9 中的第 4 项到第 10 项按 相反的顺序计算即可 . 计算结果列於表 4.10.
表 4.10 齿直角方式转位螺旋齿轮的计算 (2)
序号 1 2 计算项目 记号 计 算 公 式 计 算 例
中心距离 中心距离修正系数
a y α't
-
125 a mn z1 + z2 2 cosβ 0.097447 23.1126° 0.09809 0.09809 0
3
轴直角咬合压力角
cosαt cos - 1 2 ycosβ z1 + z2 + 1
4 5
转位系数和 齿直角转位系数
xn1 +xn2 (z1 + z2)(invα't -invαt) 2 tanαn xn
齿直角方式螺旋齿轮与轴直角方式螺旋齿轮的关系
如下 :
xt = xn cosβ mt = mn cosβ
(4.16)
αt = tan -1 tanαn cosβ
23
齿轮技术入门篇
(2)轴直角方式螺旋齿轮 表 4.11 是轴直角方式变位斜齿齿轮的计算表 . 计算
标准斜齿齿轮时 , 取 xt1 = xt2 = 0.
表 4.11 轴直角方式转位螺旋齿轮的计算 (1)
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
轴直角模数 轴直角压力角 标准圆筒螺旋角 齿数 ( 螺旋方向 ) 轴直角转位系数
mt αt β z xt inv α't α't y a d db d' ha1 ha2 h da df
2 tanαt
3 20° 30° 12(L) 60(R) 0.34462 0 xt1 + + invα xt2 t z1 + z2 0.0183886 21.3975° 0.33333 109.0000 36.0000 33.8289 36.3333 04.0000 44.0000 30.5680 180.0000 169.1447 181.6667 002.9660 6.716 185.9320 172.5000
α't 的渐开线函数
轴直角咬合压力角 中心距离修正系数 中心距离 标准圆直径 基圆直径 咬合圆直径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
查阅渐开线函数表
z1 + z2 cosα t - 1 2 cosα't z1 + z2 + y mt 2 zmt dcosαt db cosα't (1 + y - xt2 ) t m ( 1 + y - xt1 ) t m { 2.25 + y - xt1 + xt2 ) mt ( } d + 2ha da - 2h
将表 4.11 中的第 5 项到第 9 项按相反的顺序计算 时 , 可由中心距离反求转位系数如表 (2). 表 4.12 轴直角方式转位齿轮的计算 (2)
序号 1 2 计算项目 代号 计 算 方 程 式 计 算 例
中心距离 中心距离修正系数
a y α't xt1 +xt2 xt
-
109 a mt z1 + z2
2
0.33333
3
轴直角咬合压力角
cos - 1
z
1
+ z2 + 1
2y
cosαt
21.39752° 0.34462 0.34462 xn = xt cosβ 0
4 5
转位系数和 轴直角转位系数
(z1 + z2)(invα't -invαt) 2 tanαt
轴直角方式螺旋齿轮与齿直角方式螺旋齿轮的关系 如下 :
mn = mtcosβ αn = tan -1(tanαtcosβ)
24
(4.17)
齿轮技术入门篇
(3)Sunderland 齿形 ( 人字齿轮 ) Sunderland 齿形采用轴直角方式 , 是具有代表性的螺 旋齿轮 . 这种齿形的轴直角压力角 αt = 20° 标准圆筒螺旋角 , β = 22.5° . 人字齿轮与轴直角方式转位螺旋齿轮在计算上只有齿 冠高和全齿深的计算公式不同 . Sunderland 齿形人字齿轮的计算列於表 4.13.
表 4.13 Sunderland 齿形人字齿轮的计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
轴直角模数 轴直角压力角 标准圆筒螺旋角 齿数 轴直角转位系数
mt αt β z xt inv α't α't y a d db d' ha1 ha2 h da df
2 tanαt
3 20° 22.5° 12 0.34462 xt1 + xt2 invα t z1 + z2 + 60 0 0.0183886 21.3975° 0.33333 109.0000 36.0000 33.8289 36.3333 03.6390 180.0000 169.1447 181.6667 002.6050
α't 的渐开线函数
轴直角咬合压力角 中心距离修正系数 中心距离 标准圆直径 基圆直径 咬合圆直径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
查阅渐开线函数表
z1 + z2 cosα t - 1 cosα't 2 z1 + z2+ y mt 2 zmt dcosαt db cosα't (0.8796 + y - xt2 ) t m ( 0.8796 + y - xt1 ) t m { 1.8849 + y - xt1 + xt2 ) mt ( } d + 2ha da - 2h
5.621 43.2780 185.2100 173.9680 32.0360
25
齿轮技术入门篇
(4)螺旋齿条 (Helical Rack) 螺旋轮与螺旋条的咬合从轴直角看上去 , 与齿条和 正齿轮的咬合完全相同 . 表 4.14 为齿直角方式螺旋条的计算 , 表 4.15 为轴 直角方式螺旋条的计算 . 表 4.14 齿直角方式螺旋齿条的计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 螺旋齿轮 螺旋齿条
齿直角模数 齿直角压力角 节圆筒螺旋角 齿数 ( 螺旋方向 ) 齿直角转位系数 节线高度 轴直角压力角 装配距离 标准圆直径 基圆直径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
mn αn β z xn H αt a d db ha h da df tanαn tan - 1 cosβ zm n + H + xn mn 2cosβ zmn cosβ dcosαt mn( 1 + xn ) 2.25mn d + 2ha da - 2h
2.5 20° 10°57′49〃 ―(L) 20(R) ― 0 ― 27.5 20.34160° 52.965 ― 47.75343 2.5000 2.500 5.625 55.92900 ― 44.67900 50.92956
表中 xn = 0 时 , 即为无转位齿直角齿轮的计算 . 齿直角方式螺旋齿条与螺旋齿轮在平行轴相互咬合 时 , 螺旋角相等 , 旋向相反是必要条件 . 螺旋齿轮回转一周时齿条的位移量为齿条轴直角节 距的齿数倍 . πmn l = z cosβ (4.18)
在表 4.14 的情况下 , 轴直角节距 p t 为 8mm, 所以位 移 l 为 160 mm. 如上所述 , 只要适当地选择螺旋角 , 轴直角节距 pt 可 以成为整数 .
26
齿轮技术入门篇
表 4.15 轴直角方式螺旋齿条的计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 螺旋齿轮 螺旋齿条
轴直角模数 轴直角压力角 螺旋角 齿数 ( 螺旋方向 ) 轴直角转位系数 节线高度 装配距离 标准圆直径 基圆直径 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
mt αt β z xt H a d db ha h da df zm t 2 + H + xt mt
2.5 20° 10°57'49" ―(L) 20(R) 0 ― ― 27.5 52.500 50.000 ― 46.98463 2.500 2.500 5.625 55.000 ― 43.750
zmt dcosαt mt( 1 + xt ) 2.25mt d + 2ha da - 2h
轴直角方式螺旋齿条和螺旋轮啮合时 , 螺旋轮旋转 一周时齿条的位移量 l 是齿条的轴直角节距的齿数倍 . l = πmtz (4.19)
27
齿轮技术入门篇
4.4 伞形齿轮 (Bevel Gear)
伞形齿轮是在相交的两轴之间做传动的圆锥形齿 轮 . 根据齿筋的形状 , 分为直齿伞形齿轮 , 弯齿伞形齿 轮 , 零度齿伞形齿轮 . 伞形齿轮是拥有圆锥形节圆的两个齿轮 , 咬合转动 时於相切的两个节锥上做纯滚动接触的齿轮 . 齿数为 z1 的小齿轮和齿数为 z2 的大齿轮在轴角为 ∑ ( 相交两轴间的夹角 ) 咬合时 , 各节圆锥角为 δ 1,δ 2 . 计算方法如下所示 .
tan δ1 = z2 sin∑ z1 + cos∑ sin∑ tan δ2 = z1 z + cos∑
2

(4.20)
轴角 ∑ 为直角的情形最为常见 . 除直角外 , 也可在锐 角及钝角的状态下使用 . 在锐角及钝角的状态下使用 的伞形齿轮被称为斜交伞形齿轮 . 图 4.8 为轴角为钝 角的斜交伞形齿轮 . 轴角 ∑ = 90° , 公式 (4.20) 变化如下 : 时 z1 δ1 = tan - 1 z2 z δ2 = tan - 1 2 z1 (4.21)
δ1 δ2 ∑
轴角 ∑ = 90° 转速比 z 2/ z 1 = 1 的伞形齿轮被称为等 , 径伞形齿轮 . 伞形齿轮的咬合必须以一对的齿轮情况来考虑 . 确 认之外的齿数组合无法正确咬合 . 伞形齿轮的咬合 , 若如图 4.9 所示 , 由大端之轴直角 方向为标准来看 , 可以得到类似於以背锥距离为中心 距离的咬合正齿轮对 , 此正齿轮称为等价正齿轮 .
z2 m 图 4.8 伞形齿轮的节圆圆锥角
R b
δ2 δ1 Rv1 图 4.9 伞形齿轮的咬合
28
d1
Rv2
d2
z1m
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(1)Gleason 直齿伞形齿轮 直齿伞形齿轮是齿筋为沿圆锥面指向圆锥顶点的直 线伞形齿轮 . 直齿伞形齿轮有 Gleason 直齿伞形齿轮和标准直齿伞 形齿轮两种 .
R b
这里介绍的 Gleason 直齿伞形齿轮 , 其齿形为齿深 h = 2.188m, 顶隙 c = 0.188m , 有效齿深 h' = 2.000m. 这种齿轮的特点是 : ○是一种转位齿轮
为使大小齿轮的强度得以均衡 , 对小齿轮予 以正转位 , 对大齿轮予以负转位 , 但是在大小齿 轮齿数相等的等比伞形齿轮上 , 则不予转位处 理. ○有平行的齿顶隙 齿顶圆锥母线和相咬合齿轮的齿底圆锥母线 平行 .
δa
90° δ -
X
Xb
轴角 ∑ = 90° Gleason 直齿伞形齿轮 , 为防止产生 的 下切的最小齿数列於表 4.16.
θf
θa δa δf δ
图 4.10 伞形齿轮的尺寸及角度 表 4.16 防止下切的最小齿数
标准压力角 (14.5° ) 20° (25° ) 29/29 以上 16/16 以上 13/13 以上 28/29 以上 15/17 以上 齿数的组合 (z1/z2) 27/31 以上 14/20 以上 26/35 以上 13/30 以上 25/40 以上 24/57 以上
表 4.17 是 Gleason 直齿伞形齿轮的尺寸计算表 . 所 计算出的尺寸及角度如图 4.10 所示 . 表 4.17 也可计算斜交直齿伞形齿轮 . Gleason 公司 , 将经过削鼓形加工的直齿伞形齿轮称 为 coniflex gear. 经过此加工的 coniflex 齿轮对防止因 装配误差而引起的单侧齿承非常有效 .
29
d da
ha h hf
di
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表 4.17 Gleason 直齿伞形齿轮的计算
序号 1 2 3 4 5 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
轴角 模数 ( 大端 ) 标准压力角 齿数 标准圆直径
∑ m α z d δ1 δ2
90° 3 20° zm sin∑ tan - 1 z2 z1 + cos∑ ∑ - δ1
2 sinδ2 最 好 能 控 制 在 R / 3 或者 10 m 之内 2.000m - ha2 0.540m + 0. 460m z2cosδ1 z1cosδ2
20 60 26.56505°
040 120 63.43495°
6
标准圆锥角
7 8
圆锥距离 齿幅
R b ha1 ha2 hf θf θa1 θa2 δa δf da X Xb di
d2
67.08204 22 4.035 2.529 2.15903° 3.92194° 30.48699° 24.40602° 67.2180 58.1955 19.0029 44.8425 1.965 4.599 3.92194° 2.15903° 65.59398° 59.51301° 121.7575 28.2425 9.0969 81.6609
9
齿冠高
10 11 12 13 14 15 16 17 18
齿根高 齿根角 齿顶角 齿顶圆锥角 齿底圆锥角 齿顶圆直径 冠顶距离 齿顶间轴向距离 小端齿顶圆直径
2.188m - ha
tan θf 2 θf 1
- 1
(hf/R)
δ + θa δ - θf d + 2hacosδ Rcosδ - hasinδ b cosδa cosθa da -
2b sinδa
cosθa
Gleason 直齿伞形齿轮的特点是转位 . 表 4.17 的格 里森直齿伞形齿轮的齿形和表 4.18 的标准直齿伞形 齿轮的齿形示意於图 4.11.
图 4.11 直齿伞形齿轮的齿形
Gleason 直齿伞形齿轮 标准直齿伞形齿轮
30
齿轮技术入门篇
(2)标准直齿伞形齿轮 标准直齿伞形齿轮的齿形为全齿深且没有转位的齿 形 . 计算方法如表 4.18 所示 . 表 4.18 标准直齿伞形齿轮的计算
序号 1 2 3 4 5 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
轴角 模数 ( 大端 ) 标准压力角 齿数 标准圆直径
∑ m α z d δ1 δ2
90° 3 20° zm tan - 1 ∑ - δ1
2 sinδ2 最 好 能 控 制 在 R / 3 或者 10 m 之内
20 60
040 120 63.43495°
6
标准圆锥角

sin∑ z2 z1 + cos∑
26.56505°
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
圆锥距离 齿幅 齿冠高 齿根高 齿根角 齿顶角 齿顶圆锥角 齿底圆锥角 齿顶圆直径 冠顶距离 齿顶间轴向距离 小端齿顶圆直径
R b ha hf θf θa δa δf da X Xb di
d2
67.08204 22 3.0000 3.7500 03.19960° 02.56064° 29.12569° 0 65.99559° 23.36545° 0 60.23535° 65.36660c 122.68330c 58.65840c 027.31670c 19.23740c 43.92920c 008.95870c 082.44850c
1.00m 1.25m tan - 1(hf/R) tan - 1(ha/R) δ + θa δ - θf d + 2hacosδ Rcosδ - hasinδ b cosδa cosθa da - 2b sinδa cosθa
表 4.18 除直交轴外 , 也可使用其计算斜交直齿伞形 齿轮 .
31
齿轮技术入门篇
(3)Gleason 弯齿 ( 螺旋齿 ) 伞形齿轮 弯齿伞形齿轮如图 4.12 所示 , 是齿筋呈螺旋线状 ( 通常以直径为 d c 之近似圆弧代替 ) 的伞形齿轮 . 齿 筋 d c 和节锥母线的夹角称为螺旋角 . 齿幅中央的螺旋 角称之为中央螺旋角 β m , 只单纯的称螺旋角或 β 时 , 通常是指这个中央螺旋角 . 表 4.21 是一般 Gleason 弯齿伞形齿轮的计算公式 . 这裏所介绍的 Gleason 弯齿伞形齿轮的齿形 , 是齿
dc
βm
深 h = 1.888m, 顶隙 c = 0.188m, 有效齿深 h' = 1.700m 的矮齿齿形 , 使用在模数 2.1 以上的齿轮 .
R b
b/2 b/2
角 ∑ = 90° , 齿直角压力角 αn = 20°的 Gleason 弯 齿伞形齿轮 , 其不发生根切的最小齿数列於表 4.19.
δ Rv
图 4.12 弯齿伞形齿轮(左旋) 表 4.19 防止下切的最小齿数
齿直角压力角 20° 17/17 以上 16/18 以上 齿数的组 合 (z1/z2) 15/19 以上 14/20 以上 13/22 以上 12/26 以上
β = 35°
小齿轮的齿数小於 12 时 , 根据表 4.20 来决定齿形 的尺寸 . 表 4.20 小齿轮齿数不超过 12 的弯齿伞轮的尺寸 小 齿 轮 齿 数 z1 6 7 8 9 大 齿 轮 齿 数 z2 34 以上 33 以上 32 以上 31 以上 有 效 齿 深 h' 1.500 1.560 1.610 1.650 全 齿 深 h 1.666 1.733 1.788 1.832 大 齿 轮 的 齿 冠 高 ha2 0.215 0.270 0.325 0.380 小 齿 轮 的 齿 冠 高 ha1 1.285 1.290 1.285 1.270 大 齿 轮 的 30 0.911 0.957 0.975 0.997 圆 弧 齿 厚 40 0.803 0.818 0.837 0.860 s2 50 ― 0.757 0.777 0.828 60 ― ― 0.777 0.828 齿 直 角 压 力 角 αn 20° 螺 旋 角 β 35°～ 40° 轴 角 ∑ 90°
(注)表内资料为 m = 1 时的结果 .
10
11
30 以上 29 以上
1.680 1.865 0.435 1.245 1.023 0.888 0.884 0.883
1.695 1.882 0.490 1.205 1.053 0.948 0.946 0.945
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齿轮技术入门篇
Gleason 弯齿伞形齿轮的计算列於表 4.21.
表 4.21 Gleason 弯齿伞形齿轮的计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 计算项目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
轴角 大端轴直角模数 齿直角压力角 中央螺旋角 齿数 ( 螺旋方向 ) 轴直角压力角 标准圆直径
∑ m αn βm z αt d δ1 δ2
90° 3 20° 35° tanαn tan-1 cosβ zm sin∑ tan - 1 z2 z1 + cos∑ ∑ - δ1
2sinδ2 希 望 控 制 在 0 . 3 R 或 10m 以下
(
)
20(L)
040(R)
23.95680 60 26.56505° 120 63.43495°
8
标准圆锥角
9 10
圆锥距离 齿幅
R b ha1 ha2 hf θf θa1 θa2 δa δf da X Xb di
d2
67.08204 20 3.4275 2.2365 1.90952° 3.40519° 29.97024° 24.65553° 66.1313 58.4672 17.3563 46.1140 螺旋方向为左旋 与右旋齿齿轮配合 使 用 . 图 4.13 为 左 旋零度伞形齿轮 . 1.6725 3.9915 3.40519° 1.90952° 65.34447° 60.02976° 121.4959 28.5041 8.3479 85.1224
1.700m - ha2 0.460m +
11
齿冠高
z2cosδ1 z1cosδ2
0.390m
12 13 14 15 16 17 18 19 20
齿根高 齿根角 齿顶角 齿顶圆锥角 齿根圆锥角 齿顶圆直径 冠顶距离 齿顶间轴向距离 小端齿顶圆直径
1.888m - ha
tan - 1(hf/R) θf 2 θf 1 δ + θa δ - θf d + 2hacosδ Rcosδ - hasinδ b cosδa cosθa da - 2b sinδa cosθa
用於斜交轴间的斜交 Gleason 弯齿伞形齿轮亦可使用 表 4.21 计算 . 齿轮组的组合为旋向相反的一对齿轮相配合 . (4)Gleason 零度伞形齿轮 (Zerol Bevel Gears) 如图 4.13 所示 , 中央螺旋角 β m 为零的伞形齿轮被 称为零度伞形齿轮 . 齿轮尺寸的计算方法与 Gleason 直齿伞形齿轮相同 , 可以使用表 4.17 计算 .
图 4.13 零度伞形齿轮(左旋齿)
33
齿轮技术入门篇
4.5 交错轴螺旋齿轮 (Screw Gears)
交错轴螺旋齿轮是圆筒齿轮 ( 螺旋齿轮 ) 组用在交错 轴间传动时的称呼 . 交错轴螺旋齿轮单独来看是螺旋齿轮 . 咬合状态示如 图 4.14 所示 .
齿轮 1 (右旋) (左旋)
交错轴螺旋齿轮若相互间的齿直角模数 m n 与齿直角 压力角 α n 不相等 , 是无法咬合的 . 齿轮在无转位的情况下咬合时轴角 ∑ 可根据标准圆筒 螺旋角 β1,β2 来计算 .
∑ β2
β1 β2 ∑
β1
齿轮组的旋向相同时 : ∑ = β1 + β2 齿轮组的旋向相反时 : ∑ = β1 - β2或 ∑ = β2 - β1

齿轮 2 (右旋)
(4.22) 当 ∑ = 0 时 , 两轴平行 , 此时的齿轮称做螺旋齿轮 . 当 ∑ ≠ 0 时 , 两轴交错 , 此时的齿轮称为交错螺旋齿轮 .
图 4.14 交错轴螺旋齿轮的咬合
如果在转位的情形下使用时 , 咬合会变得非常复杂 . 此 时的轴角 ∑ 必须根据咬合节圆筒螺旋角 β'1,β'2 来计算 .
齿轮组的旋向相同时 : ∑ = β'1 + β'2
齿轮组的旋向相反时 : ∑ = β'1 - β'2 或 ∑ = β'2 - β'1

(4.23)
表 4.22 中列出齿直角方式交错轴转位螺旋齿轮的计 算.
计算无转位的标准交错螺旋齿轮时 , 计算表中以 xn1 = xn2 = 0 代入即可 .
34
齿轮技术入门篇
表 4.22 齿直角方式转位交错轴螺旋齿轮的计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 小齿轮(1) 大齿轮(2)
齿直角模数 齿直角压力角 节圆筒螺旋角 齿数 ( 螺旋方向 ) 等价正齿轮齿数 轴直角压力角 齿直角转位系数
mn αn β z zv αt xn invα'n α'n α't y a d db d'1 x +x 2tanαn zn1 + z n2 + invαn
v1 v2
3 20° 20° 15(R) z cos3β tan - 1 tanαn cosβ 18.0773 21.1728° 0.4 0.0228415 22.9338° 24.2404° 26.0386° 30° 24(R) 36.9504 22.7959° 0.2
α'n 的渐开线函数
齿直角咬合角 轴直角咬合角 中心距离修正系数 中心距离 标准圆直径 基圆直径
由渐开线函数表中查出
tan - 1 tanα'n cosβ 1 cosαn ( zv1 + zv2) -1 cosα'n 2 z2 z1 + + ymn 2cosβ1 2cosβ2 zmn cosβ dcosαt d1 2a d + d 1 2 2a d2 d1 + d2
0.55977 67.1925 47.8880 44.6553 49.1155 83.1384 76.6445 85.2695
15
咬合节圆直径
d'2
16 17 18 19 20 21
咬合节圆筒螺旋角 轴角 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 齿底圆直径
β' ∑ ha1 ha2 h da df
d' tan - 1 tanβ d β'1 + β'2或β'1 - β'2 ( + y - xn2) n 1 m (1 + y - xn1) n m { 2.25 + y - xn1 + xn2 ) mn ( } d + 2ha da - 2h
20.4706°
30.6319°
51.1025° 0 4.0793c 0 3.4793c
6.6293 90.0970c 56.0466c 42.7880c 76.8384c
无转位标准交错轴螺旋齿轮的咬合时 , 下列的关系式 成立 . d'1 = d1 d'2 = d2 (4.24) β'1 = β1 β'2 = β2
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齿轮技术入门篇
4.6 圆筒蜗轮蜗杆 (Worms & Worm Gears)
圆筒蜗轮蜗杆是有螺纹状轮齿的蜗杆和与之咬合的 蜗轮之齿轮组 . 在交错轴间使用的齿轮以蜗轮蜗杆组 最为常见 . 一般轴角为 ∑= 90° 齿 ( 牙 ) 以上的蜗杆一 双 . 般称为多牙蜗杆 . 如图 4.15 所示 , 蜗杆是拥有一齿 ( 牙 ) 或以 , 上具 螺纹状齿的齿轮 . 在节圆筒上 , 螺旋线以 γ 为其节圆导 角 . 螺旋线回转一周时 , 相应的螺旋线移动距离称为导 程 pz. 根据 JIS B 1723 标准规定 , 圆筒蜗杆的齿形有下列 四种规定 .
1形:轴平面之齿形为梯形 2形:齿沟在齿直角断面中为梯形 3形:用轴平面之齿形为梯形的切削刀具 ( 铣刀或 研磨砂轮 ), 以刀具轴与蜗杆轴之夹角 ( 轴角 ) 为 γ 角 ( 导角 ) 时 , 所加工出的齿形 4 形:轴直角断面之齿形为渐开线齿形 其中 , 3 形的齿形最为普及 .
33 形蜗杆的齿直角压力角 α n 有比刀具压力角 α 0 小的倾向 .
在 JIS 标准中规定 ,3 形齿形以轴向模数 mx 及刀具压 力角 α 0 = 2 0° 为标准 . 在制作这种蜗轮时 , 必须以专 用的蜗轮滚齿刀加工 .
表 4.23 圆筒蜗杆轴向模数
1 6.30 1.25 8.00 1.60 10.00 2.00 12.50 2.50 16.00 3.15 20.00 4.00 25.00 5.00
轴向模数 m x 以 R10 为采用的标准数 , 数值列於表 4.23.
因为蜗轮蜗杆组是一种传达交错轴间运动的齿轮 , 所 以蜗杆的轴平面和蜗轮的轴平面不一致 . 蜗杆的轴平面是蜗轮的轴直角断面 ( 正面 ). 蜗杆的轴直角断面 ( 正面 ) 是蜗轮的轴平面 . 唯一相同一致的断面是齿直角断面 . 因此 , 以齿直角断面上的齿直角模数 m n 为标准来制
γ
作蜗轮的方法也是相当普遍的 . 根据这种方式 , 我们可利用市贩的滚齿刀 ( 不是专 用的滚齿刀 ) 即可切削蜗轮 , 非常方便 .
pt
αt πd
下面将蜗轮组在轴平面 , 轴直角断面 ( 正面 ) 和齿直 角断面上的模数 , 压力角 , 节距及导程的关系表列於 4.24.
d
px αx
pn
pn
αn
表 4.24 蜗杆蜗轮比较表
蜗 杆 轴直角断面 ( 正面 ) 轴 平 面 齿直角断面
β
m mx = n cosγ
mn
mt =
mn sinγ
pz = πdtanγ 图 4.15 圆筒蜗杆 ( 右旋 )
α x = tan - 1 tanαn α n cosγ px = πmx pz = πmxz
轴直角断面 ( 正面 )
α t = tan - 1 tanαn sinγ pt = πmt pz = πmt ztanγ
轴 平 面
pn = πmn pz = πmnz cosγ
齿直角断面 蜗 轮
36
齿轮技术入门篇
欲对表 4.24 中相互关系有进一步的理解 , 可参考图 4.15 的说明 . 其中各项诸元之间的关系式与螺旋齿轮 的计算公式 (4.16) 及 (4.17) 相同 , 只要将公式中的 β 角换成 (90° γ) 代入即可 . 因此 , 可以换个方式说 , 以 γ - 角为节圆筒导角的蜗杆 , 近似於以( 90° - γ )角为螺 旋角的螺旋齿轮 . (1)轴向模数方式蜗杆蜗轮 这种方式的蜗轮蜗杆是以轴向模数 m x , 齿直角压 力角 αn = 20° 为标准来计算 . 参考表 4.25.
γ
df1 d1 da1 a
ri
图 4.16 圆筒蜗杆蜗轮的尺寸 表 4.25 轴向模数方式蜗杆蜗轮计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 计算项目 记号 计 算 公 式 计 算 例 蜗 杆(1) 蜗 轮(2)
轴向模数 齿直角齿形角 牙数齿数 标准圆直径 节圆筒导角 轴直角转位系 中心距离 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 喉径 喉圆半径 齿底圆直径
mx αn z d1 d2 γ xt2 a ha1 ha2 h da1 da2 dt ri df1 df2 d1 + d2 + xt2mx 2 1.00 mx ( 1.00 + xt2)mx 2.25 mx d1 + 2ha1 d2 + 2ha2 + mx 注 2 d2 + 2ha2 d1 - ha1 2 da1 - 2h dt - 2h (Qmx) 注 1 z2 mx tan - 1 mx z1 d1
3 ( 20° ) 右双头 30(R) 44.000 90.000
7.76517° ― 67.000 3.000 6.750 50.000 ― ― 36.500 99.000 96.000 19.000 82.500 3.000 0
注1.直径系数 Q 是蜗杆的节圆直径 d1 与轴向模数 mx 之比 , 即 Q =
d1 mx
注2.蜗轮齿顶圆直径 da2 的计算还有许多其他的方法 . 注3.蜗杆的齿幅 b1 若能满足 πmx(4.5 + 0.02z2)即可 . 注4.由於蜗轮的有效齿幅 b'= 2mx√Q + 1, 因此 , 蜗轮的齿幅 b2 能 达到 b' + 1.5mx 以上即可 .
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df2 d2 dt da2
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(2)齿直角方式蜗轮蜗杆 此方式的蜗轮蜗杆以齿直角模数 mn , 齿直角压力角 αn = 20° 为标准进行齿轮的计算 . 表 4.26 为计算表 .
表 4.26 齿直角方式蜗轮蜗杆的计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例 蜗 杆(1) 蜗 轮(2)
齿直角模数 齿直角压力角 牙数齿数 蜗杆标准圆直径 节圆筒导角 蜗轮节圆径 齿直角转位系数 中心距离 齿冠高 全齿深 齿顶圆直径 喉径 喉圆半径 齿底圆直径
mn αn z d1 γ d2 xn2 a ha1 ha2 h da1 da2 dt ri df1 df2 d1 + d2 + xn2mn 2 1.00 mn ( 1.00 + xn2)mn 2.25 mn d1 + 2ha1 d2 + 2ha2 + mn d2 + 2ha2 d1 - ha1 2 da1 - 2h dt - 2h sin - 1 mnz1 d1 z2 mn cosγ
3 ( 20°) 右双牙 30(R) ― 44.000 7.83748° ― ― 90.8486 - 0.1414 67.000 3.000 6.750 50.000 ― ― 36.500 99.000 96.000 19.000 82.500 2.5758
关於注释请参照表 4.25.
(3)蜗轮齿轮的齿面削鼓形加工 对於蜗轮而言 , 比起其他齿轮 , 齿面削鼓形加工尤为 重要 . 经过齿面削鼓形加工 , 可以防止因为齿轮的安装误 差等引起的单侧齿承 , 确保形成油膜所必须的油料吸 入间隙 .
这里会出现主要的两个 问题 , 一是油料吸入间隙 无法确保 , 二是像这样无 误差的理想状况是不实 际的 , 结果仍旧会形成单 侧齿承 .
滚刀
蜗杆
齿面削鼓形加工的四种方法介绍如下 .
(a)使用比蜗杆的标准圆大的滚齿刀加工蜗轮 使用与蜗杆相同标准圆直径的滚齿刀加工蜗轮时 , 蜗 轮的齿面削鼓形加工量为零 . 像这样完全没有误差加工出来的蜗轮组 , 在无误差的 情形下装配后 , 齿承应该是全面的 .
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想要解决这些问题 , 便 需 要 如 图 4.17 所 示 , 使 用大於标准圆直径的滚 齿刀滚制蜗轮 , 这样会使 图 4.17 使用大直径滚刀的 齿承集中在齿幅的中央 切齿方法 部 , 便能确保油料吸入间 隙.
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(b)将滚齿刀轴沿齿幅方向上下微量 Δh 移动之切齿方法 使用滚齿机切削蜗轮时 , 在滚齿刀轴与蜗轮的中心对 正下 , 完成正常的全深度切齿后 , 再将滚齿刀轴的中心 向上移动 Δh 量切齿 , 然后按同样的步骤向下移动 Δh 量切齿 . 但是 , 上下移动时 , 必须是要沿著齿筋方向行 进才行 . 因此需要移动的方向 , 是滚齿刀在与导角相 吻合的导程方向上下移动 , 或是上下调整蜗轮毛胚的 位置 , 并将毛胚沿圆周方向微量调整固定之后加工 . 由 此达到齿面削鼓形的加工 . (c)滚刀轴左右倾斜 Δθ 角的切齿方法 使用滚齿机加工蜗轮齿时 , 一般而言 , 滚齿刀轴会 先按计算过的安装角设定并加工 , 然后再将滚齿刀轴 设定为向左倾斜 Δθ 角后切齿 . 再按同样的步骤向右倾 斜后切齿 , 这样便达到齿面削鼓形的加工 . 上述对蜗轮的削鼓形加工方法中 , 使用最常使用的 是 (a) 方法 .(b) 和 (c) 则几乎不被使用 .
下面介绍蜗杆的鼓形加工方法 . (d)将蜗杆的轴平面压力角加工成比蜗轮的轴平面压力 角来得大 , 是为对蜗杆的削鼓形加工法 这个方法可以不改变对於齿轮来说最为重要的轴平 面上的法线节距 , 只需改变轴平面压力角与轴向节距 , 即可达成蜗杆的削鼓形加工 . pxcosαx = px'cosαx' (4.25)
由於修整后的轴平面压力角 α x 比修整前的 α x' 要来 得大 , 因此若想满足公式 4.25, 就必须将修整后的轴 向节距 px 也增大才行 . 也就是说 , 这种方法是将轴平面压力角 αx 与轴向节 距 px 增大的修整法 . 图 4.21 中 , 经过修整的蜗杆与标准蜗轮咬合时 , 图 中 A 点的间隙 ( 削鼓形修整量 ) 可使用以下公示计算 其近似值 . 削鼓形修整量≈ k px - px' d1 px' 2 (4.26)
其中 d1:蜗杆的标准圆直径 k :系数 . 可以从表 4.27 或图 4.20 中查出 . Δh 表 4.27 系数 k 值 14.5° 17.5° αx 0.55 0.46 k
20° 0.41
22.5° 0.375
图 4.18 上下移动法 k
Δh
Δθ Δθ
轴平面压力角 αx
图 4.20 系数 k 之值 图 4.19 左右倾斜法
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表 4.28 列出了蜗杆的削鼓形修整计算 .
表 4.28 蜗杆的削鼓形加工计算
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 计 算 项 目 记号 计 算 公 式 计 算 例
轴向模数 齿直角压力角 蜗杆的牙数 蜗杆的标准圆直径 节圆筒导角 轴平面压力角 轴向节距 导程 鼓形修形量 系数
mx ' 注 : 这是修形前的数 αn' 值. z1 d1 γ' αx' px' pz' CR k tan - 1 mx'z1 d1 tanαn' tan - 1 cosγ' πmx' πmx'z1
根据齿承的比例来 决定 从表 4.27 中查出
3 20° 2 44.000 7.765166° 20.170236° 9.424778 18.849556 0.04 0.41
擦 系 数 μ 摩
d1 30°
A
图 4.21 计算削鼓形修整量的 A 点
※修整后的数据
11 12 13 14 15 16
轴向节距 轴平面压力角 轴向模数 节圆筒导角 齿直角压力角 导程
px αx mx γ αn pz
2CR px'+ 1 kd1 px' ' cos - 1cosαx px px π tan - 1 mxz1 d1
1 tan - (tanαxcosγ) πmxz1
9.466573 20.847973° 3.013304 7.799179° 20.671494° 18.933146
标准节圆筒导角 γ(度)
图 4.22 标准节圆筒导角 γ 与摩擦系数 μ 的自锁界限
Ft1 = Fn( cosαnsinγ - μcosγ) (4.27) (4)蜗轮组的自锁作用 切向力 F t1 大於零时 , 不能产生自锁作用 . 从公式中 看出 , 齿直角压力角 αn , 节圆筒导角γ 和摩擦系数 μ 这 三个要素影响自锁作用的产生 . 其中静摩擦系数 μ 受 到润滑状况及齿面表面粗度等的影响 , 是不确定的因 素. 公式(4.27)中 , 如果设 F t1 = 0, α n = 20° 的话 , 分 度圆柱导程角 γ与摩擦系数 μ 的关系如图 4.22 所示 . 在实际的蜗轮组中 , 摩擦系数 μ 值的正确值计算不 易 . 而且 , 实际上由於轴承损失及润滑油搅拌损失等 也会引起制动作用 , 因此要想完全正确地掌握这些因 素的变化非常困难 . 所以 , 对於蜗轮组是否能自锁的 判断也就相当的困难了 . 不过 , 可以很确定地说 , 标准圆筒导角 γ 越小 , 蜗轮
自锁作用是蜗轮组的特点之一 . 自锁作用是指无法由蜗轮驱动蜗杆的状态 . 利用这 种特性使用在升降装置中 , 可以简单地保持停止位置 , 另外在其他方面亦有很多有效的用途 . 受各种因素的影响 , 蜗轮组分能自锁作用和不能自 锁作用两种 . 在不计算轴承损失及搅拌润滑油损失等影响的理想 状态下 , 判断是否会发生自锁作用是取决於齿面的作 用力 . 於齿轮中级篇 8.5 蜗轮组上的作用力 (P427) 叙述中 , 在蜗轮做为驱动齿轮时 , 蜗杆的切线力 Ft1 可 由下式算得 .
组的自锁性也就越高 .
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