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台州学院2007年第一学期 07级数学与应用数学专业 《高等代数I》(答案)
题号 分值
一
10
二
30
三
40
四
20
总分
100
一. 填空题(每小题2分, 共10分)
1. 设P1 和P2 都是数域, P1 ∩ P2 和P1 ∪ P2 中P1 ∩ P2 是数域, P1 ∪ P2 不一定是数域. 则 而 2. 已知排列1237i46k9是奇排列, i = 8, k = 5. 则 3.
线性方程组Ax = b有解的充要条件是R(A) = R(A, b). 有唯一解的充要条件
是R(A) = R(A, b) = A的列数.
0 0 . 4. . . 0 n 0 0 . . . 0 1 2 0 . . . . . .
= (1)
n(n1) 2
n!.
n 1 0 0 0 0 0
5. 用非退化线性替换x = P y 把二次型f (x1 , x2 , x3 ) = 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 化为标准 1 1 2 1 2 形, 其中P = 1 1 1 . 2 2 0 0 1
二. 计算题(每小题6分, 30分) 共
1. Dn = 2Dn1 Dn2 , Dn Dn1 = Dn1 Dn2 = = D2 D1 = 2. Dn = 2 + Dn1 = 4 + Dn2 = 2(n 1) + D1 = 2n. 2. 当a = 6时, 线性方程组无解. 当a = 6时R(A) = R(A, b) = 3, 方程组有无穷多个解.
其一个特解为α0 = (2, 3, 0, 0, b2 ). 导出组的基础解系为: 2
ξ1 = (1, 2, 1, 0, 0), ξ2 = (1, 2, 0, 1, 0), 通解为x = k1 ξ1 + k2 ξ2 + α0 , k1 , k2 为任意
的数.
3. 向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α3 . α4 = α1 + 3α2 α3 , α5 = α2 + α3 . 4. 0 B . 1 A 0 = 0 A1 B 1 , 0 A C 1 0 A1 = B B 1 CA1 0 B 1
三. 证明题(每小题10分, 40分) 共
1
1. 设n阶矩阵A的秩为n 1, A的一个n 1阶子式Ann = 0, 证明齐次线性方程组Ax = 0存的基础解系为(An1 , An2 , ..., Ann ).
证明: 因为R(A) = n 1, 所以Ax = 0的基础解系只含一个向量. 有AA = |A| = 0, 所 以A 的每一个列向量都是Ax = 0的解. 特别地A 的第n个列向量(An1 , An2 , ..., Ann )也 是解, 由于Ann = 0, 所以这是一个非零向量, 从而是基础解系.
2. 设α1 , α2 , ..., αs 线性无关, 证明β1 = α1 , β2 = α1 + α2 , ..., βs = α1 + α2 + + αs 也
线性无关. 证明: k1 β1 + k2 β2 + + ks βs = 0, 则 设
(k1 + k2 + + ks )α1 + (k2 + + ks )α2 + + ks αs = 0.
由于α1 , α2 , ..., αs 线性无关, k = k2 = = ks = 0, 所以β1 , β2 , ..., βs 线性无关. 得
3. 证明一个秩为r的矩阵可以写成r个秩为1的矩阵之和. 0 , 于是A = 0
Er 证明:因为R(A) = r, 所以存在可逆矩阵P, Q使得P AQ = 0
P 1 F11 Q1 + + P 1 Fii Q1 , 其中Fii 表示位于(i, i)位置的元为1,其余元素均为零
的矩阵. 由于P 1 和Q1 均可逆, 所以R(P 1 F11 )Q1 = R(Fii ) = 1.

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