4. 设A是n阶可逆对称矩阵,且二次型xT Ax是正定二次型,证明二次型xT A1 x也是
正定二次型. 证明: 只需证明A1 正定即可. 事实上, 因为A可逆且AT A1 A = AT , 所以A1 与AT 合 同, 它们有相同的正定性. 再考虑到A与AT 有相同的正定性, 得证. 四. (每小题4分,共20分)判断题下列命题或结论正确与否,若不正确,请改正,并说 明为什么.
1. 设α1 , α2 , α3 线性相关, 2 , α3 , α4 线性无关, α1 不能由α2 , α3 , α4 线性表示. α 则
答: 此结论不正确. 应改为设α1 , α2 , α3 线性相关, 2 , α3 , α4 线性无关, α1 可以由α2 , α3 , α4 线 α 则 性表示. 这是因为由α2 , α3 , α4 线性无关可得α2 , α3 线性无关, 再由α1 , α2 , α3 线性相关, 可得α1 可以有α2 , α3 线性表示, 从而也可以由α2 , α3 , α4 线性表示.
2. 如果矩阵A的秩是r, 则A的所有r阶子式都不为零. 3. 设A是m × n矩阵, B是n × n矩阵, AB = 0, R(A) < n且R(B) < m. 若 则
答该命题不正确, 应改为若AB = 0, 则B 的列向量都是齐次线性方程组Ax = 0的解.
4. 设A为正定矩阵, AT 也是正定矩阵. 则
答:该命题正确.
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0 0 0 1 5. 设D = 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 0 = 4!.
答:该结论正确.
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