中小学数学小百科 (39)
加强数学解题教学初探 山东省烟台十三中 林英和 潘波 滕秀玉 数学解题的教学,是数学教学的重要组成部分,也是实现数学教学目的 的主要手段.在数学教学中,无论是概念的引入,公式的推导,定理的证明 及知识的应用无不与数学解题教学有关.解题教学贯穿于数学教学的各个环 节中. 首先,解题教学有助于加深对基础知识的理解.通过解题,学生可以把 知识按纵横两个方向重新进行组合,使所学知识按使用目的建立新的有效联 系,从而形成合理的认知结构.学过数学的人都有这样的体验:一些定理, 公式在学习时体会不深,一旦在解题时它们发挥了威力,对它们的理解就加 深了.或者,初学时似乎都懂了.但解题时不会用或用的不对,就促使学生 重新学习有关的定理,公式,从而也加深了对所学知识的理解. 其次,解题教学有助于对学生进行有效的思想教育.通过对有实际意义 的问题的解决,有助于培养学生理论联系实际的学风;通过解决难题,培养 学生克服困难的精神;通过解决复杂的计算,培养学生耐心细心的工作作风; 通过解决综合性问题,培养学生解决问题的能力和辩证唯物主义观点等等. 总之解题教学在促进学生非智力因素的发展上能发挥积极的作用. 解题既是教学的手段又是教学的目的.要搞好数学解题教学,应明确以 下两方面问题. 一,数学解题教学的基本要求 通过解题教学达到以下要求: (一)使学生思维严密,具有自我判断能力,迅速确定解题策略 要达到这个要求,首先要教育学生高度重视数学基础知识,了解它对解 题的理论指导作用;其次要培养学生解题的熟练技巧和灵活运用知识寻求解 题途径的能力;第三要让学生积累解题经验,总结解题规律. (二)使学生能用数学语言准确表达自己的思维活动 为此,首先要求学生书写条理清晰,详略得当,表达清楚并符合一定格 式.因此,教学中要重视学生数学语言的训练和逻辑表达能力的培养. (三)使学生合理,准确地运算,规范地作图 解题教学中,首先要求运算准确,这是起码的要求.同时运算程序要合 理,只有合理才能作到简捷,迅速.为此要培养学生灵活运用知识解决问题 的能力. (四)使学生养成在解题后进行反思的习惯 对解题过程进行回顾与探讨:寻求其它的解题方法,探讨条件变化会引 起结论的什么变化,确立解题思路的关键是什么,获得什么新的经验等等. 以达到检验和深化的目的. 二,培养学生解题能力的基本途径 (一)培养学生认真审题的习惯,提高审题能力 数学问题一般含有已知条件和要解决的问题两个部分.审题就是要求学 生对条件和问题进行全面认识,分清题目中哪些是已知的,哪些是未知的; 它们之间有什么联系;弄清问题中涉及的所有概念术语和符号的真实含义; 在已学的知识中,哪些理论与要解决的问题有关等等.
对于较复杂的综合题,要帮助学生认清题目的类形.有些问题,往往需 要对条件或所求进行转换,转换为简单易解或有典型解法的问题.如果题中 给的条件不明显,就要引导学生去发现隐含条件.因此提高学生的审题能力, 主要是指提高学生分析问题,发现隐含条件以及化简,转化已知和所求的能 力. 例1:在实数范围内解方程:|x - 2|+ 1 - x = 3.
由于方程中含有绝对值和算术根的符号,因此题中实际已隐含条件: 1 - x≥0 ,即x≤1.于是解原方程就转化为解新的方程: 2 - x + 1- x = 3. 例 2:已知△ABC,求一点 P,使得△PAB,△PBC,△PCA 的面积相等. 对这个题,学生会不自觉地增加条件,即只在△ABC 的内部去找点 P,这 时只能求得唯一的点 P,即△ABC 的重心.然而原题中并没有"P 点在△ABC 内"这个限制条件,而是学生自己添加的,改变了原题的题意.按原题条件, 在平面上 P 点的位置共有 4 个,除△ABC 的重心外,还有能与 A,B,C 构成 平行四边形顶点的三个点. 产生上述错误的原因是审题不严造成的,所以培养学生认真审题的习惯 是提高其解题能力的基础. (二)引导学生分析解题思路,发现解题规律,寻求解题途径 数学问题中已知条件和要解决的问题之间有内在的逻辑联系和必然的因 果关系,解数学题的过程,就是灵活运用所学知识,通过周密思考去揭示这 种联系的过程.寻求解题途径的方法有分析法,综合法或将两种方法结合使 用. 例 3:在△ABC 中,AB=AC(定长),过 A 任作一直线交 BC 于 P,交外接 圆 O 于 Q, 求证:AP·AQ 为定值.(图 a)
分析:本题是定值问题,它的结论尚欠具体明确.因此,弄清定值的数 量,常常可以打开思路.为此,可以考察命题的特殊情形,即可使 AQ 为⊙O 的直径(图 b).注意到 AB=AC,则 AQ⊥BC.连结 BQ,由于直径上的圆周角 是直角,则∠ABQ=90°,从而在 RT△ABQ 中,据射影定理得 AP·AQ=AB2 ,这 就说明题中的定值就是 AB2 ,于是原命题就可以转化为下列命题: 在△ABC 中, AB=AC,过 A 任作一直线交 BC 于 P,交外接圆 O 于 Q,求 证:AP·AQ=AB2 . 经过分析,明确了证题方向,关键在于连结 BQ,证明 △ABP∽△AQB. 例 4:已知 abc=1. a b c 证明 + + = 1. ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 先引导学生观察三个相加分式的分母, 再联想已知条件 abc=1, 如果将 ab+a+1 中的 1 用已知条件 abc 代替,那么 abc+ab+a 有因式 bc+b+1,这个因式恰好

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