等于第二个分式的分母;要想使第三个分式的分母也 1 有因式bc + b + 1,必须用 来代替ab,于是, b a b c + + ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 a b c = + + ab + a + abc bc + b + 1 1 + c +1 b a b bc bc + b + 1 = + + = = 1. a ( bc + b + 1) bc + b + 1 bc + b + 1 bc + b + 1 这样,在解题过程中,引导学生分析解题思路,寻求解题途径是提高学生解 题能力的主要途径. (三)培养学生解题后进行反思的习惯 解题教学的目的并不单纯是为了求得问题的结果.真正的目的是为了提 高学生的解题能力,培养学生的创造精神.而这一教学目的主要是通过回顾 解题的过程来实现的.因此,有经验的教师在与学生一起分析解题的结果和 方法时,总要对解题的主要思想,关键因素和同一类型问题的解法进行概括 总结,并将它们用到新的问题中去.回顾解题,包括检验解答,讨论解法和 推广结果三个方面. (1)检验结果是否正确时,应让学生掌握多种检验方法,例如,对计算 题可以用逆运算进行检验,可用不同计算公式重新求解.可以改变计算顺序 去求解等等.还应检验结果是否符合条件. (2)检验推理是否有据,可以培养学生良好的科学态度,树立严谨的思 想作风.学生常犯的毛病是,检验时,只检验答案,而不检验每步推理是否 有据. 例如:求 k 为何值时,方程 x2 +Kx+1=0 与方程 x2 +x+K=0 有公共实根 a 2 + Ka + 1 = 0 (1) 解:设公共实根为a,据题意得 2 (1) (2 ) a + a + K = 0 (2 ) 得 Ka-a+1-K=0,即(K-1)(a-1)=0,∴a-1=0,即 a=1.将 a=1 代入(2)解 得 K=-2. 此题解法过程隐含着逻辑性错误,事实上,从(K-1)(a-1)=0,应解 得 k=1 或 a=1.当 K=1 时原两方程相同且无实根,应舍去.故原解题结果对, 但过程不全,这是解题中的原则性错误.这时,仅检验答案正确是不够的, 还须检验推导过程的正确性. (3)检验答案是否详尽无遗,就是要对问题的所有情形作全面的分析研 究.如前面的例 2,如果只找到一个解,那么答案就不完整了,通过检验应 该把另外三个解补上. 在回顾探索中认真完成以上各方面的工作,将有利于积累经验,开拓思 路,增强思维的灵活性,发展和提高解题能力.
以不变应万变 ——漫谈几道几何题的求解思路 江苏省丹阳市鹤溪中学 苏三林 赵解真 周建中 丹阳市里庄初中 夏留根 众所周知,数学题多如牛毛,深似海洋,千变万化,怎么也做不完.搞 "题海战术"是不能取得好成绩的.要解脱"代数繁,几何难"的困境,要 取得优异的数学成绩,必须掌握以不变应万变的本领.例如,八五届学生马 学平中考数学成绩 119 分(满分 120 分),姜旭峰中考数学成绩 118 分,总 分 600 分(满分 640 分)……他们就是掌握了这个本领,方能取得可喜的学 习成绩. 所说不变,指所学的定义,定理,公式,法则不变,只要这些基本的知 识掌握得牢,再能分清题的类型,然后采取相应的方法,遇题就能达到化繁 为简,化难为易,举一反三,触类旁通的目的.下面略举几例谈谈怎样探求 几何题的解法思路.
例 1 九义教科书《几何》第三册第 100 页第 10 题,已知△ABC 中,∠BAC 的平分线与边 BC 和外接圆分别相交于点 D 和 E,求证:△ABD∽△AEC 思考:先用"角平分线"定义,再用"同弧上圆周角相等"的性质,通 过两个角对应相等的两个三角形相似即证得结论. 利用上题结论,可简便地解决一些几何题.例如: 1.题设不变,引申结论 连结 BE,可证明:BE2 =AE·DE(95 年贵阳市中考试题) 2.增加条件,改造结论 若 I 是△ABC 的内心,可证明:EI=EB(九义制《几何》第三册第 117 页 第 12 题) 3.延伸变化,举一反三 96 年丹阳市中考试题第八题,考生感觉难度最大的题就是这道延伸变型 题.试题如下:
已知:如图,在△ABC 中,∠A 的平分线交 BC 于 D,交△ABC 的外接圆于 E,I 为 AD 上一点.且 IE2 =AE·DE. 求证:I 为△ABC 的内心. 思路分析: 要证 I 为△ABC 的内心, 只要证明 I 在∠B 和∠C 的平分线上, 不妨连结 BI,易证△ABE∽△BDE,于是得 BE2 =AE·DE,因为 IE2 =AE·DE,所
以可得 BE=IE,故∠EBI=∠EIB,即∠4+∠5=∠1+∠5=∠1+∠3,又∠5=∠2= ∠1,最后得∠3=∠4,于是得证.通过对该题进行多角度,多途径,全方位 地探索,挖掘,引申,变化,则可得到一系列妙题来.

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