2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一试题及答案
填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1) = .
【分析】 型未定式,化为指数函数或利用公式=进行计算求极限均可.
【详解1】 =,
而 ,
故 原式=
【详解2】 因为 ,
所以 原式=
【评注】 本题属常规题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.24-25 【例1.30-31】.
(2) 曲面与平面平行的切平面的方程是.
【分析】 待求平面的法矢量为,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.
【详解】 令 ,则
,, .
设切点坐标为,则切平面的法矢量为 ,其与已知平面平行,因此有
,
可解得 ,相应地有
故所求的切平面方程为
,即 .
【评注】 本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.279 【例10.28】和
《数学题型集粹和练习题集》P.112 【例8.13】.
(3) 设,则= 1 .
【分析】 将展开为余弦级数,其系数计算公式为.
【详解】 根据余弦级数的定义,有

=
=
=1.
【评注】 本题属基本题型,主要考查傅里叶级数的展开公式,本质上转化为定积分的计算. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.62第一大题第(6)小题和《数学复习指南》P.240 【例8.37】.
(4)从的基到基的过渡矩阵为 .
【分析】 n维向量空间中,从基到基的过渡矩阵P满足
[]=[]P,因此过渡矩阵P为:P=[[.
【详解】根据定义,从的基到基的过渡矩阵为
P=[[.
=
【评注】 本题属基本题型,完全类似例题见《数学复习指南》P.429 【例3.35】.
(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

则 .
【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率,一般可转化为二重积分=进行计算.
【详解】 由题设,有

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