知识点2:相似三角形判定和性质 (1)(2008年山东潍方)如图,RtABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=( C ) A. B. C. D. (2)(2008年乐山市)如图(2),小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落点恰好在 离网6米的位置上,则球拍击球的高度h为(C) A、B、 1 C、D、 (3)(2008湖南常德市)如图3,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)AB边上的高为,(3)CDE∽CAB,(4)CDE的面积与CAB面积之比为1:4.其中正确的有 (D) A.1个B.2个C.3个D.4个(4)(2008山东济宁)如图,丁轩同学在晚上由路灯走向路灯,当他走到点时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,当他向前再步行20m到达点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则两路灯之间的距离是( D ) A.24m B.25m C.28m D.30m (5)(2008 江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( B ) (6)(2008 重庆)若ABC∽DEF,ABC与DEF的相似比为2︰3,则SABC︰SDEF为( B ) A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、3∶2 (7)(2008 湖南 长沙)在同一时刻,身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为4.8米,则树的高度为( C ) A、4.8米B、6.4米C、9.6米D、10米(8)(2008江苏南京)小刚身高1.7m,测得他站立在阳关下的影子长为0.85m.紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶 ( A) A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m (9)(2008湖北黄石)如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与左图中相似的是( B ) (10)(2008浙江金华)如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米, 那么该古城墙的高度是( B ) A、6米B、8米C、18米D、24米(11)(2008湖北襄樊)如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC的大小为( B ) A.60° B.70° C.80° D.120° 12.(2008湘潭市) 如图,已知D、E分别是的AB、 AC边上的点,且 那么等于( B A.1 : 9 B.1 : 3 C.1 : 8 D.1 : 2 (13)(2008 台湾)如图G是(ABC的重心,直线L过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、 L交于D、E两点,直线BG与AC交于F点,则(AED的面积:四边形ADGF的面积=?( D ) (A) 1:2 (B) 2:1 (C) 2:3 (D) 3:2 (14)(2008 台湾) 图为(ABC与(DEC重迭的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点, 且AB // DE.若(ABC与(DEC的面积相等,且EF=9,AB=12,则DF=?( B ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 . (15)(2008贵州贵阳)6.如果两个相似三角形的相似比是,那么它们的面积比是( B ) B. C. D. (16)(2008湖南株洲)如图,在中,、分别是、边的中点,若,则等于( C ) A.5 B.4 C.3 D.2 (17)(2008年江苏南通)已知∠A=40°,则∠A的余角等于=____50____度. (18)(08浙江温州)如图,点在射线上,点在射线上,且,.若,的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和 为10.5 . (19)(2008福建泉州)两个相似三角形对应边的比为6,则它们周长的比为___6_____. (20)(2008年浙江衢州)如图,点D、E分别在ABC的边上AB、AC上,且,若DE=3,BC=6,AB=8,则AE的长为____4_____ (21)(2008年辽宁省十二市)如图4,分别是的边上的点,,,则. (22)(2008年天津市)如图,已知ABC中,EF∥GH∥IJ∥BC,则图中相似三角形共有 对.6对(23)(2008新疆乌鲁木齐市)我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度,阳阳的身高是1.6m,他在阳光下的影长是1.2m,在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m,则这棵树的高度约为 4.8 m. (24)(2008江苏盐城)如图,两点分别在的边上,与不平行,当满足 ∠ADE=∠ACB 条件(写出一个即可)时,. (25)(2008泰州市)在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm,则AB两地间的实际距离为 100 m. (26)(2008年杭州)在RtABC中,∠C为直角,CD⊥AB于点D,BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 ABC 和CBD ;并写出它的面积比 25:9 . (27)(2008年陕西省)阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案. (1)所需的测量工具是: (2)请在下图中画出测量示意图; (3)设树高的长度为,请用所测数据(用小写字母表示)求出. 解:(1)皮尺、标杆. (2)测量示意图如右图所示. (3)如图,测得标杆,树和标杆的影长分别为,. , . . (28)(2008年江苏南通)如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E. (1)求证:AB·AF=CB·CD (2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2. ①求y关于x的函数关系式; ②当x为何值时,PBC的周长最小,并求出此时y的值. (1)证明:∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE垂直平分AC ∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF. ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,∴∠DCF=∠DAF=∠B 在RtDCF和RtABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B ∴DCF∽ABC ∴,即.∴AB·AF=CB·CD (2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°, ∴AC===12,∴CF=AF=6 ∴*6=3x+27(x>0) ②∵BC=9(定值),∴PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)可知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小. 显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP=DE,PB+PA=AB. 由(1),∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,地DAF∽ABC. EF∥BC,得AE=BE=AB=,EF=. ∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10. RtADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8. ∴DE=DF+FE=8+=. ∴当x=时,PBC的周长最小,此时y= (29)(2008湖南怀化)如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N. 求证:(1); (2) 证明:(1)四边形和四边形都是正方形 (2)由(1)得∴AMN∽CDN (30)(2008湖南 益阳)ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上. Ⅰ.证明:BDG≌CEF; Ⅱ. 探究:怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法,请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解,只以Ⅱa的解答记分. Ⅱa. 小聪想:要画出正方形DEFG,只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长,从而确定D点和E点,再画正方形DEFG就容易了. 设ABC的边长为2 ,请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示,不要求分母有理化) . Ⅱb. 小明想:不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是: ①在AB边上任取一点G',如图作正方形G'D'E'F'; ②连结BF'并延长交AC于F; ③作FE∥F'E'交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G'D'交BC于D,则四边形DEFG即为所求. 你认为小明的作法正确吗?说明理由. Ⅰ.证明:∵DEFG为正方形, ∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90° ∵ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60° ∴BDG≌CEF(AAS) Ⅱa.解法一:设正方形的边长为x,作ABC的高AH, 求得 由AGF∽ABC得: 解之得:(或) 解法二:设正方形的边长为x,则在RtBDG中,tan∠B=, ∴ 解之得:(或) 解法三:设正方形的边长为x, 则 由勾股定理得: 解之得: Ⅱb.解: 正确 由已知可知,四边形GDEF为矩形 ∵FE∥F'E' , ∴, 同理, ∴ 又∵F'E'=F'G', ∴FE=FG 因此,矩形GDEF为正方形 (31)(2008湖北恩施) 如图11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若?ABC固定不动,?AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n. (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明. (2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围. (3)以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE. (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. 解:(1)?ABE∽?DAE, ?ABE∽?DCA ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴?ABE∽?DCA (2)∵?ABE∽?DCA ∴ 由依题意可知CA=BA= ∴ ∴m= 自变量n的取值范围为1AC, 点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF. (1)求证:EF∥BC. (2)若四边形BDFE的面积为6,求ABD的面积. (1)证明: , ∴ . 又∵ , ∴ CF是ACD的中线, ∴ 点F是AD的中点. ∵ 点E是AB的中点, ∴ EF∥BD, 即EF∥BC. (2)解:由(1)知,EF∥BD, ∴ AEF∽ABD , ∴ . 又∵ , , ∴ , ∴ , ∴ 的面积为8. (39)(2008山西太原)如图,在中,. (1)在图中作出的内角平分线AD.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写证明) (2)在已作出的图形中,写出一对相似三角形,并说明理由. 提示:(1)如图,AD即为所求. (2),理由如下: AD平分则,又,故. (40)(2008湖南常德市)如图7,在梯形ABCD中,若AB//DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形. (1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少(注意:全等看成相似的特例)? (2)请你任选一组相似三角形,并给出证明. 解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况: 其中有两组(①③, ②④)是相似的. ∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P= (2)证明:选择①、③证明. 在AOB与COD中, ∵AB∥CD, ∴∠CDB=∠DBA , ∠DCA=∠CAB, ∴AOB∽COD 选择②、④证明. ∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB=∠CAB, ∴在DAB与CBA中有 AD=BC, ∠DAB=∠CAB,AB=AB, ∴DAB ≌ CBA ∴∠ADO=∠BCO. 又∠DOA=∠COB, ∴DOA∽COB (41)(2008年山东临沂)如图,ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,. ⑴求证:ABF∽CEB; ⑵若DEF的面积为2,求ABCD的面积 解:⑴证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C,AB∥CD ∴∠ABF=∠CEB, ∴ABF∽CEB ⑵∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,ABCD, ∴DEF∽CEB,DEF∽ABF ∵, ∴, ∵, ∴, ∴ ∴ (42)(2008年山东潍坊)如图,AC是圆O的直径,AC=10厘米,PA,PB是圆O的切线,A,B为切点,过A作AD⊥BP,交BP于D点,连结AB、BC. 求证ABC∽ADB; 若切线AP的长为12厘米,求弦AB的长. (1)证明:∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90 o 又∵AD⊥BP,∴∠ADB=90 o,∴∠ABC=∠ADB 又∵PB是圆的切线,∴∠ABD=∠ACB 在ABC和ADB中: ? ∴ABC∽ADB; 连结OP,在RtAOP中,AP=12厘米,OA=5厘米,根据勾股定理求得OP=13厘米,又由已知可证得ABC∽PAO, ∴, 得, 解得 AB=厘米.