东北育才学校高三一轮复习学案
第五辑 平面向量
5.2平面向量的数量积
考点要求:
1,掌握平面向量的数量积及其性质和运算率;
2,掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用.
考点回顾:
1,平面向量的数量积的定义
向量的夹角:已知两个非零向量,过O点作,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量的夹角.
当且仅当两个非零向量同方向时,θ=0°,当且仅当反方向时θ=180°,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.
垂直;如果的夹角为90°则称垂直,记作.
的数量积:两个非零向量,它们的夹角为θ,则叫做称的数量积(或内积),记作,即=.
规定=0;非零向量,当且仅当时,θ=90°,这时=0.
④在方向上的投影:(注意是射影).
所以,的几何意义:等于的长度与在方向上的投影的乘积.
2.平面向量数量积的性质
设是两个非零向量,是单位向量,于是有:
①
②
③当同向时,;当反向时,,特别地,.
⑤
3.平面向量数量积的运算律
①交换律成立:
②对实数的结合律成立:
③分配律成立:
特别注意:(1)结合律不成立:;(2)消去律不成立不能得到(3)=0不能得到=或=0
④但是乘法公式成立: ;
;等等.
4.平面向量数量积的坐标表示
若=(x1,y1),=(x2,y2)则=x1x2+y1y2
若=(x,y),则||=.=x2+y2,
若A(x1,y1),B(x2,y2),则
若=(x1,y1),=(x2,y2)则(呢)
若=(x1,y1),=(x2,y2)则
规律,思想,方法:
1.注意向量夹角的概念和两向量夹角的范围;
2.垂直的充要条件的应用;
3.当角为锐角或钝角,求参数的范围时注意转化的等价性;
4.距离,角和垂直可以转化到向量的数量积问题来解决.
5.特别提示:数量积不满足结合律.
考点训练

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