铷原子之玻色-爱因斯坦凝聚
文/韩殿君
摘要
利用雷射冷却,磁阱囚禁与蒸发冷却等方式,可将铷原子气体冷却至达成玻色-爱因斯坦凝聚所需之数百nK之低温.本文将简介达成此一量子简并态之实验原理,方式与过程.
一,前言
玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation,以下简称玻爱凝聚)之物理现象由爱因斯坦於1924年,以印度物理学家玻色(Bose)之光子统计原理为基础所提出[1, 2].爱因斯坦与玻色之统计原理可推广至所有玻色子(bosons),此即所谓玻色-爱因斯坦统计(Bose-Einstein statistics).一群由相同(identical)[3]玻色子构成之系统(ensemble),即使该群玻色子间并无任何作用,随著温度降低,并达一临界值(critical temperature)时,该群粒子将大量且巨观群聚於该系统之能量最基态,此即所谓玻色-爱因斯坦凝聚,为另一物质态(new state of matter).
玻爱凝聚与一般所熟知於空间之凝聚现象,如水蒸气凝结成水等不同.玻爱凝聚乃系统之组成粒子凝聚於动量空间(momentum space),虽於特殊情况下亦同时伴随空间之上之凝聚.气态中性原子玻爱凝聚体,因粒子间之距离远较其为液态及固态时为长,因而粒子间之作用力极弱,且极为接近一理想气体(ideal gas)之系统.虽玻爱凝聚现象早於其他系统中被观测,如液态氦中的超流性(superfluidity)与液态氦库柏对(Cooper pairs)之形成等[4, 5].然而,气态玻爱凝聚体则提供一极单纯,理论上极易分析与处理,且实验上可操控之绝佳系统.
气态中性原子玻爱凝聚於1995年由美国科罗拉多大学的康乃尔(E. Cornell),魏曼(C. Wieman)[6]与麻省理工学院的凯特利(W. Ketterle)[7]等首度於实验室中达成.至今全球已超过30个实验群有能力进行该类实验.绝大多数分布於美国,欧洲如德国,法国,义大利,英国与奥国等.在亚洲国家中,由日本首先达成玻爱凝聚,中国大陆於2002年亦跟进.中正大学物理系雷射冷却实验室则於2003年9月成功产生玻爱凝聚体.
利用雷射冷却(laser cooling),磁阱囚禁(magnetic trapping)与蒸发冷却(evaporative cooling)等方式除了将气态中性原子冷却至玻爱凝聚之量子简并态(degenerate state)之外亦可以相同方式将费米子(fermions)冷却并达成量子简并[8].该一领域之研究近三年来有极大之实验突破与进展(请参阅本期双月刊中金政教授的文章).
本文将简介在中正大学达成此一量子简并态之实验原理,方式与过程.
二,雷射冷却与囚禁(Laser Cooling and Trapping)
利用雷射光束与一对反赫氏线圈(anti-Helmholtz coils)所产生之不均匀磁场,可将中性原子囚禁(trapping)於空间中,并同时予以冷却(cooling)至数百K.此即所谓磁光阱(magneto optical trap, 或简称MOT),由朱棣文 (Steven Chu)於1986年首度实现[9].磁光阱是实现气态玻爱凝聚的第一步,亦为最关键的第一步.冷却与囚禁为两种不同之物理概念.简而言之,冷却为动量空间(momentum space)或速度空间(velocity space)之压缩(compression),而囚禁则为座标空间(coordinate space)之压缩.物理学家则将速度空间与座标空间合并而统称为相空间(phase space).每单位相空间格子(lattice)中填满至少一个粒子时,即相空间密度大於1之情况下,则称该系统达成量子简并态(quantum degenerate state).玻爱凝聚即为其典型代表.此时,非以量子理论不足以描述其中物理.一般处於古典状态下之系统,如室温下之空气,其相空间密度距离达到量子简并态约有18个数量级之遥.因此,如何达成该量子简并态,长期以来一直为物理学家之研究课题.而藉由磁光阱之实现,冷原子之相空间密度因此推进至距离量子简并态之临界点仅5~6个数量级.原子物理学家於焉思忖,以此为基础将有机会达成玻爱凝聚.事后证明,此一想法为真.
单磁光阱若无结合其他冷原子源,如塞曼减速器(Zeeman slower[10])等,於一般条件之下,仅能捕获约108个冷原子.且所需之捕获时间约数分钟之久.主要原因为磁光阱之阱深仅能捕获原子源中速度小於30 m/s之原子.由於一般热原子源中,该类原子处於马克思威尔-玻兹曼速度分布(Maxwell-Boltzmann velocity distribution)之尾端,本就为数甚少.加之,
原子间存在非弹性碰撞,此将限制单双磁光阱中之最大捕获之原子数目,原子空间密度,与原子置入(loading)之时间.
为改进单磁光阱之上述弱点,我们采用双磁光阱[11] (double MOT)之设计,如图一所示.该系统系利用其中一阱作为捕获背景原子,称上游磁光阱(upper MOT).为达快速捕获背景原子之目的,该阱之真空度将因背景原子分布较多而较差,约为 10-9 torr.上游磁光阱中之原子将被一道雷射光,即推动光束(pushing beam),经由一细长连接管迅速(< 40 ms)推至另一下游磁光阱(lower MOT)中,而被捕获.因上游磁光阱中之原子之温度已低至数百K,该冷原子团在通过该50 cm之所需之时间内,仅扩散数厘米(mm).且因重力之影响而下落之数厘米,相较於磁光阱之雷射光束直径约 2.2 cm之大小,可谓微不足道,因此将能有效被下游磁光阱捕获.而下游之真空系统为一自制6.2 cm×3.3 cm×3.0 cm之pyrex 玻璃室[12].其中之真空度约为3×10-11 torr.为达成此一差分抽气(differential pumping)要求,上,下游磁光阱各分别由一组离子帮浦独立抽气.下游磁光阱之置入过程,藉由不断重复推动上游磁光阱之原子补充,以致於饱和.一般而言,
本实验室可於15秒内,捕捉超过2×109个铷原子.因玻璃室之中真空度较高,背景热原子较少,与该类原子之非弹性碰撞将大幅减少,因此原子一旦被捕获,其存活期(life time)较长,约数十秒至数分钟之久.一般而言,磁光阱中原子之密度约为1010原子/cm3 ~ 1011原子/cm3,较空气密度约小8~9个数量级.因此,可算是非常稀薄的(dilute).该实验装置图,如图二所示.
三,磁阱囚禁(Magnetic Trapping)
藉由雷射冷却之助,虽能将中性原子冷却至数百K之超低温.然而,雷射冷却虽以接近原子能阶间跃迁之共振光子扮演"冷媒"之角色,然而该类近共振光子(near resonance light)亦造成其所能达成原子最低冷却温度与最大空间密度之限制[13].因此,传统雷射冷却方式虽能极有效率地将原子之相空间密度推进只距离量子简并态之临界点5~6个数量级,却仍力犹未迨,而必须另谋他法.否则难竟其功.而其替代之法则利用磁阱囚禁.
磁阱囚禁中性原子之原理,主要利用原子之磁矩(与外加之不均匀空间分布之磁场B(r)间作用.其间之作用能为U(r)=-( B(r),如图三所示.因为原子之磁矩与原子所处之塞曼能阶(Zeeman states)有关.某些塞曼能阶对应之磁矩与外加磁场方向相反,则该类能阶之磁位能随磁场增加而增大.原子处於该类塞曼能阶时,其磁位能之最低点即为磁场最低点,因此称为低场追随原子(low field seeking state atoms).反之,称为强场追随原子(high field seeking state atoms).由於马克思威尔方程式不允许空间中DC磁场最高点之存在.因此,除非采用交变磁场(AC magnetic field),一般采用之磁阱仅能囚禁低场追随原子.而处於强场追随态之原子被置入DC磁阱中,将自动离开磁阱中心.因此,磁阱有自动筛选低场追随原子之特性,此称为自我纯化(self-purification).由於雷射冷却所产生之冷原子分布於所有塞曼能阶,为使置入磁阱前预先纯化至某一低场追随态,以增加磁阱之置入效率,该目的可藉由光激发(optical pumping)[12]方式达成.此一阶段,我们约可置入约6×108个铷原子於磁阱中.
由该方式所产生之磁阱,属於保守力场.因此,由雷射冷却所产生之高相空间密度之冷原子便有一极佳栖息之处.一般而言,在真空度约10-11 torr之条件下,原子可有数分钟之生命期.图四中所示,乃利用线圈组之排列方式,尺寸,与各线圈中电流之大小,便可决定原子於磁阱中之位能形式与阱深(potential depth).一般用於囚禁冷原子之磁阱,包括本实验采用之拓朴阱(time-averaging orbiting potential trap, TOP trap) [14],其位能均为简谐(harmonic)形式.
磁阱提供一极佳之囚禁条件,又可快速开关[15].然而,其保守力场并未提供冷却机制.欲继续增加原子之相空间密度约5~6个数量级,必须寻求一新的冷却方式.蒸发冷却(evaporative cooling)即为其中理想且可行者.
四,蒸发冷却
蒸发冷却由Hess於1986年提出[16].主要原理乃基於一多粒子之平衡系统中,其能量分布为一玻兹曼形式.粒子间以弹性碰撞(elastic collisions)交换动能以达成热平衡.当粒子能量高於所囚禁之位能障(potential barrier)时,该类粒子将脱离位能阱,并同时带走能量.所剩余之粒子将再藉由弹性碰撞重新分配能量,而达成新的热平衡.其总能量因脱离粒子携走部份而减少,因而新的热平衡温度将降低.此即所谓蒸发冷却.日常所见,如热豆浆,或热咖啡之变冷等即属於此典型例证.
然而,於磁阱中执行原子之蒸发冷却有诸多特性与限制.首先,冷原子於磁阱中与背景热原子或与阱中其他冷原子之非弹性碰撞,因而有一限度之生命期.如前所述,在真空度约为10-11 torr且原子密度小於1012原子/cm3 之条件下,其生命期约数分钟.若在该有限时间内无法达成所欲冷却之低温,则蒸发冷却将无法成为有效之冷却方式.再者,蒸发冷却之执行速率与冷原子间之弹性碰撞有效截面积(effective cross section) (,原子密度n,及原子温度T成正比.唯有当冷原子间之弹性碰撞时间远短於磁阱之生命期,则原子间经由蒸发高能量之粒子后,方可於短时间内达成新的热平衡,并因而降低温度.唯有如此,蒸发冷却方能持续进行,原子团之温度因而降低至所需.实验上,如何寻找适当蒸发冷却路径,以维持冷却期间冷原子间弹性碰撞率持续增高,甚或达於失控(runaway)之条件,实为一重要课题.
其次,蒸发冷却是以失去较高能量之粒子以达冷却之目的.此时,高能量之粒子便扮演冷媒之角色.此点与雷射冷却原子不同.基本上,於雷射冷却中,原子数不因冷却而减少.然而,蒸发冷却之过程中,原子数将随著温度降低而逐渐减少.倘若蒸发冷却之效率[17]不高,则当所有原子用尽之前,亦无法达到所需之温度与相空间密度.一般而言,超过百分之九十以上之原子在达到量子简并前就已蒸发出磁阱而离去,最后仅存少数原子形成简并气体.为增加简并气体中之原子数,因此最初於磁阱中之原子数越多,则越是有利於此目的之达成.这也是为何最初於磁光阱中若能捕获超过109 个原子之大量原子数,对量子简并气体之产生极为有利.
此外,於磁阱中进行蒸发冷却必须寻找如何赶离较高能量原子之机制.如直接非缓近式(non-adiabatic)降低磁阱高度,亦将同时减小原子之空间密度,因而减缓原子间之弹性碰撞速率,最终将导致蒸发冷却失效.可行方法之一,乃利用磁阱本身於空间中之不均匀磁场所造成原子於不同位置上不同之塞曼分裂(Zeeman splitting) (参阅图五).因唯有低场追随能阶之原子方能被磁阱囚禁.利用射频波(radio frequency)诱发原子自某一低场追随能阶跃迁至一强场追随能阶,则该原子将离开磁阱中心,等同於蒸发.而射频波之频率正可用以选择所欲蒸发之原子.此一机制自动存在於磁阱中.图五中显示,较高能量之原子其与磁阱中心位移较低能量之原子为大.而位移越大,相邻塞曼能阶间之差也越大,产生射频波跃迁之频率也越高.因此,藉著降低射频波之频率即可逐步蒸发较高能量之原子,对原子团进行蒸发冷却.图六(a) 所显示者,为射频波诱发之蒸发冷却前原子团之速度分布,该原子团中含有2108个原子,温度为100 K.图六(b)为蒸发冷却后原子团之速度分布,此时仅剩105个原子,但温度却低至 2 K.
我们所采用之拓朴磁阱,由原子团起始温度约15 (K起始,经过约5秒射频波诱发之蒸发冷却,便可将原子冷却至玻爱凝聚约450 nK之临界温度.
五,玻色-爱因斯坦凝聚之达成
铷原子经雷射冷却与囚禁,极性梯度冷却(polarization gradient cooling)[18],光学激发纯化后置入磁阱中囚禁.再於磁阱中继而进行射频波诱发之蒸发冷却.此时已可将铷原子之温度冷却至1 (K左右或更低,而空间密度亦增高至1013原子/cm3 以上,并且相空间密度已可达於玻爱凝聚所需.
观测冷原子之温度主要经由测量冷原子之速度分布,以决定原子团平均速度.若该原子团已达热平衡,则该系统仅有唯一之平衡温度T.热力学中之能量均分定律(equipartition principle)告诉我们,此时每一维度之平均速度均相等,即=== 且 kBT=m2,其中kB为玻兹曼常数,m为原子质量.实验上,通常测量冷原子之速度分布之方法,乃是将囚禁原子之位能阱突然关掉[19],然后等待一段时间(通常约为数 ms至 数十 ms),原子团则依其速度分布而自然膨胀(expanding).若原子团膨胀后之大小远超过其於阱中空间分布之尺寸,则此时原子团之空间分布实为一速度分布.计算原子团自然膨胀时间与膨胀后之大小,即可测得原子团平均速度与其平衡温度T.此一测量低温冷原子之方式,一般称之为飞行时间测量法(time of fly measurement, TOF measurement).
若原子团为一般非凝聚态气体,其三维速度分布应为一球形.实验上之观测均利用光学吸收(absorption method)之方式,将三维分布之冷原子团照射一微弱,接近原子共振频率之雷射光束,然后将该雷射光束投影至一平面CCD像机,以记录光束被原子团吸收后之二维影像.一球形之三维速度分布即使投影至二维平面,亦应呈现圆形之二维分布.因此,利用飞行时间测量法,一般非凝聚态气体之速度分布之二维投影将呈现圆形,如图七,八中 (a)所示.
随著蒸发冷却持续进行,原子团温度持续降低,并伴随相空间密度增加.当温度降至玻爱凝聚之临界温度时(Tc=450 nK),原子团将开始凝聚於速度分布之最低处.此时,原子团之速度分布将突然呈现双高斯分布(double Gaussian distribution),且中央速度之最低处之分布呈椭圆形,而非圆形,图七,八中 (b)所示.主要原因乃为此时部份之原子团中之原子已为玻爱凝聚态,其速度分布已非古典热力学描述,而必须用波动方程,即Gross-Pitaevskii equation[20]来描述.此处原子团呈椭球形分布肇因於磁阱之囚禁位能并非球形对称,因此原子团之波函数,及其平方[21]也非球形对称.当温度继续降低,凝聚态之原子数继续增加,一般之热原子(thermal atoms)数比例降低,直到所有原子形成一几全为凝聚态之原子团,也就是一纯凝聚体(pure condensate).此时之凝聚体犹如一整体之物质波(matter wave).将两团纯凝聚体交会(overlapping),将形成物质波的干涉条纹,一如光波间的干涉.图七,八中 (c)所示,即为包含3104个铷原子之近似纯凝聚体(almost pure condensate).该近似纯凝聚体之生命期(1/e lifetime),於我们之实验条件下约为10秒.
六,结论
玻爱凝聚之达成仅为研究相关有趣物理之第一步.利用相关技术与理论亦同时扩及於费米子.该研究由最初仅用於原子与分子物理之领域,经二十余年之努力已将该领域推广至与统计物理,凝聚态物理,天文物理等跨领域之研究.此乃当初之原子物理学家始料未及.这也是科学研究有趣之处.
感谢清华大学余怡德教授,成功大学蔡锦俊教授的热心帮忙,交通大学洪天河先生为本实验制作玻璃真空室,以及洪德升,蓝永昌,韩百增,杨兰升与黄康豪同学在本实验各阶段所作的贡献.
参考资料:
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磁光阱中,光子之反弹(photon recoil)限制原子最低可达温度.临近原子间光子之再吸收(photon reabsorption)限制了原子最高可达之空间密度.
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磁阱之开关速度,一般皆小於或接近1 ms.
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蒸发冷却效率的定义为. 的意义为,当原子数目N减少X倍时,相空间密度p会增加X( 倍.因此,是蒸发冷却的一个重要的参考指标.在冷却的每一个阶段中,我们要求值达到最大,以得到最大的冷却效率.
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进行飞行时间测量法时,位能阱之关闭时间必须以远快於原子於阱中之振动周期,以免此一期间为一缓进过程,使得原子有充份时间将动能转换为位能,导致低估位能阱於关闭之时刻原子团之温度.此一非缓进过之快速关阱将使原子团呈瞬间膨胀(ballistic expansion).为一般进行飞行时间测量时所必须.
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实验上所观测者,为波函数之平方值.
作者简介
韩殿君,美国德州大学奥斯汀分校物理博士,现任职国立中正大学物理系.
Email:djhan@phy.ccu.edu.tw
物理双月刊(廿七卷二期)2005年4月
物理双月刊(廿七卷二期)2005年4月
(b)
(a)
图八,此三维显示图为图七之另一呈现方式.纵轴代表代表原子数目之分布.水平轴分别为位置座标 r 与z.
图七, 由左至右,分别代表铷原子於达成玻色-爱因斯坦凝聚前,达成时,与几乎为完全玻爱凝聚体时之速度分布图(注,该测量之飞行时间为 18 ms).图中之著色代表原子分布.红色代表原子分布最多,蓝色则代表原子分布越少.该图为三维速度分布於二维平面之投影.水平轴为位置座标 r,纵轴为位置座标 z.
蒸发离开磁阱之原子
图二, 中正大学玻色-爱因斯坦凝聚实验装置.
(c)
(b)
(a)
(c)
图六,由上至下,代表射频波诱发之蒸发冷却前,后之原子团速度分布图
图四,拓朴磁阱构造简图.
图五,磁阱中执行由射频波诱发之蒸发冷却示意图.
图三, 磁阱原理示意图.
r
mF=1
mF=0
RF photons
mF=-1
强场追随原子
低场追随原子
r
U(r) = -(.B(r)
(b)
U(r)
上游磁光阱
下游磁光阱
玻璃皿
连接管
推动光束
图一,双磁光阱实验装置示意图.
(a)