《复变函数与积分变换》教学大纲
课程名称:复变函数与积分变换
英文名称:Complex Function and Integral Transformation:
课程编号:09320004
学时数及学分:54 学时 3学分
教材名称及作者:《复变函数与积分变换》,华中理工大学数学系编
出版社,出版时间:高等教育出版社,2000年
本大纲主笔人:彭建设
课程的目的,要求和任务
本课程是物理与电子信息学院系电子信息类各专业的基础理论课,通过本课程的学习,使学生掌握处理电子信息问题的一些基本数学方法,为进一步学习数字信号处理等后续课程提供必要的数学基础.要求学生熟悉复变函数(特别是解析函数)的一些基本概念,掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法,利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分;掌握保形映射的基本概念,并能用分式线性映射和几个基本初等函数构成的保型映射解决相关的问题;掌握傅立叶变换,函数和拉普拉斯变换的概念及性质,能用傅立叶变换式对信号进行处理,找出信号的内在性质,并能运用拉普拉斯变换方法求解积分,微分方程.

大纲的基本内容及学时分配
第一章 复数与复变函数(3)
1.掌握复数各种表示方法及其运算;
2.了解区域的概念;
3.理解复变函数概念;
4.了解复变函数的极限和连续的概念.
第二章 解析函数(4)
1.理解复变函数的导数及复变函数解析的概念
2.掌握复变函数解析的充要条件;
3.掌握解析函数的基本性质;
4.了解指数函数,三角函数,双曲函数,对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质(包括在单值域中的解析性).
第三章 复变函数的积分(7)
L.了解复变函数积分的定义及性质,会求复变函数的积分;
2.理解柯西积分定理,掌握柯西积分公式;
3.掌握解析函数的高阶导数公式(证明不作要求),了解解析函数无限次可导的性质:
解析函数的级数表示(7)
1.理解复数项级数收敛,发散及绝对收敛等概念;
2.了解幂级数收敛的概念,会求幂级数的收敛半径;了解幂级数在收敛圆内的一些基本性质;
3.掌握泰勒级数展开式及展开条件(证明不作要求);
4.理解洛朗(Laurent)定理(证明不用要求);
6.会用间接方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数.
第五章 留数及其应用(6)
1.理解孤立奇点的分类;
2.理解留数概念,掌握极点处留数的求法
3.掌握留数定理;
4.能用留数定理计算回路积分和三类实变函数的定积分.
第六章 保形映射(9)
1.理解解析函数导数的几何意义及保形映射的概念;
2.掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性保对称性;
3.能用分式线性映射和几个基本初等函数构成的保形映射解决相关的问题.
第七章 傅里叶变换(8)
1.掌握傅里叶级数的概念及基本运算;
2.理解傅里叶变换及傅里叶逆变换概念;
3.了解函数的概念,性质及其傅氏变换,了解广义傅氏变换,了解傅氏变换的物理意义;
4.掌握傅氏变换性质(要求能证明).
第八章 拉普拉斯变换(10)
1.理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念
2.了解拉普拉斯变换存在定理;
3.掌握拉普拉斯变换的性质(要求能证明)
4.掌握用留数求拉氏逆变换的方法;
5.理解拉氏变换卷积概念及卷积定理;
三,与其它课程的关系
先修课程:高等数学
四,考核方式
1.期末闭卷笔试 占总成绩的80%
2.平时成绩(作业,课堂讨论和小论文等)占20%
五,参考书目
《复变函数与积分变换》,华中理工大学数学系编