复变函数与积分变换
课程名称:复变函数与积分变换
英文译名:Complex Function and Integral Transformation
课程编码:070102B06
适用专业:信息与计算科学
课程类别:专业必修
学时数:48 学分:3
编写执笔人:韩仲明 审定人: 刘晓华
编写日期:2005年4月
一,本课程的内容,目的和任务:
复变函数与积分变换是高等师范院校数学专业的基础课程之一,是数学分析的后续课程,其任务是使学生获得复变函数与积分变换的基本理论与方法.它在微分方程,概率论,力学等学科中都有应用,其方法是自动控制,自动化,信号处理的常用方法之一,本课程主要讨论复变函数和积分变换.内容主要包括:复数运算,解析函数,初等函数,复变函数积分理论,级数展开及留数理论,保形映射,拉普拉斯变换,富里叶变换.复变函数与积分变换是微积分学在复数域上的推广和发展,通过本课程的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解,提高认识.复变函数与积分变换在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用,通过学习,学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识,从而增加做好中学数学教育工作的能力.
二,课程教学内容及教学基本要求
由于该课程的基础课地位,及在应用科学中的重要性,要求学生应对本课程有基本的理解与掌握.凡涉及自动化或自动控制专业,信号处理的各类专业,都要用复变函数与积分变换的理论,因此学生必须熟练掌握
(1)复变解析函数理论
(2)复变函数的积分理论及留数理论
(3)拉氏变换与富氏变换理论.
学生还应掌握复变函数的一些基础理论如罗朗级数理论及奇点理论.
学生还应理解调和函数理论.
学生还应初步了解保形映射的理论.
第一章 复数与复变函数(4学时)
1,教学内容
复数的概念;复球面,无穷远点及扩充复平面.区域,简单曲线,单连同区域与多连同区域;复变函数的概念;复变函数的极限与连续的概念,性质.
2,教学目的和要求:
理解复数,区域,单连通区域,复连通区域,逐段光滑曲线,无穷远点,扩充复平面等概念.理解复数的性质,会应用模和辐角的性质,会作点集的图形.进一步认识复数域的结构,并联系中学的复数教学.
第二章 解析函数(6学时)
1,教学内容
解析函数.柯西-黎曼方程;调和函数,复变初等函数及其主要性质.
2,教学目的和要求:
理解导数,解析函数的定义,性质及充要条件.理解函数在一点解析与函数在一点可导的区别.
熟练掌握利用C—R条件判别解析函数的方法.熟练掌握已知解析函数的实部或虚部,求该解析函数的方法.熟练求多值函数的支点,及满足条件的分支在指定点处的函数值.联系中学教学,认识复变函数中各类基本初等函数与相应初等函数的异同.
第三章 复积分理论(8学时)
1,教学内容:
复积分;柯西-古萨定理,牛顿莱不尼茨公式.复合闭路原理,柯西积分公式及高阶导数公式,平面调和函数理论.
2,教学目的和要求:
理解复积分的概念;掌握柯西积分定理和柯西积分公式以及高阶导数公式及其应用;理解刘维尔定理,莫勒拉定理;熟练掌握利用柯西积分定理和积分公式计算函数的各种积分.
第四章 复变函数的级数理论(6学时)
1,教学内容
复数列的极限;级数理论泰勒展开定理.罗朗级数,罗朗展开定理.
2,教学目的与要求
理解一致收敛,内闭一致收敛,幂级数,泰勒展式,收敛半径,收敛圆的概念.理解复变函数项级数的逐项可导性,与微积分学的相应定理比较,认识其条件结论的强弱.熟练掌握幂级数收敛半径和收敛圆的求法.熟练掌握将函数在指定点展成幂级数的方法.熟练掌握解析函数零点和级别的求法.理解罗朗级数,孤立奇点可去奇点,极点,本性奇点的概念.熟练掌握求函数在孤立奇点去心邻域上的罗朗展式.
第五章 留数(6学时)

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