2007年东莞市高中数学竞赛决赛试题
一,选择题(本大题共6小题,每小题6分,满分36分. 每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.)
1.要得到函数的图象,只需将函数的图象
A.右移个单位 B.左移个单位 C.右移个单位 D.左移个单位
2.点在直线 上移动,当取最小值时,点与原点的距离是
A. B. C. D.
3.已知等差数列{}的前项和为,若,且三点共线(该直线不过原点),则等于
A.100 B. 101 C.200 D.201
4.用一个平面去截一个正方体,所得截面不可能是(1) 钝角三角形;(2) 直角三角形;(3) 菱形;(4) 正五边形;(5) 正六边形.下述选项正确的是
A.(1)(2)(5) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(3)(4)(5)
5.设函数,若时,恒成立,则实数
的取值范围是
A. B. C. D.
6.集合,是的子集.当时,有且,则称为的一个"连续元素".那么的所有子集中,只含有两个"连续元素"的子集的个数为
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
二,填空题(本大题共6小题,每小题9分,满分54分.请把答案填在答题卡相应题的横线上.)
7.已知, ,.那么 = .
8.站在河边看对岸的目标与,但不能到达.在岸边选取相距1千米的两个观测
点,同时测得,(,,,在同一平面上),则目标与之间的距离为 千米.
9.定义运算*为:*=,如1*2=1,则函数*的最大值为______________.
10. 若正数满足,则的取值范围是 .
11.甲,乙两人约定傍晚6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人20分钟,过时即可离去,则两人在傍晚6时到7时之间会面的概率是 .
12.在数列中,,,则该数列的通项等于 .
答题卡
一,选择题
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二,填空题
7. 8. 9. 10. 11. 12.
三,解答题(本大题共4小题,满分60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
13.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面为正三角形,且垂直于底面.
(1)求四棱锥的体积;
(2)在边上是否存在一点,使得 请说明理由.
14.(本小题满分15分)
关于的方程:.
(1)若方程表示圆,求实数的取值范围;
(2)在方程表示圆时,若该圆与直线:相交于两点,且,求实数的值;
(3)在(2)的条件下,若定点的坐标为(1,0),点是线段上的动点,求直线的斜率的取值范围.
15.(本小题满分15分)
在平面上有一系列点…,.对每个正整数,点 位于函数的图象上.以点为圆心的⊙与轴都相切,且⊙与⊙彼此外切.若,且 ().
(1)求证:数列是等差数列;
(2)设⊙的面积为,, 求证:对任意,均有.
16. (本小题满分18分)
二次函数中,实数满足=0,其中.求证: (1);(2)方程在(0,1)内恒有解.
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