2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题
一选择题
1.如果集合同时满足,就称有序集对为"好集对".这里的有序集对意指当,是不同的集对,那么"好集对"一共有( )个.
2.设函数,为( )
3.设是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A除以126的余数是( )
4.在直角中, ,为斜边上的高,D为垂足. .设数列的通项为则( )
5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列,易见那么
6.设则
二.填空题
7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种.
8.设,且为使得取实数值的最小正整数,则对应此的为( ).
9.若正整数恰好有4个正约数,则称为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.
10.平行六面体中,顶点出发的三条棱的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为那么这个平行六面体的四条对角线的长度(按顺序)分别为___________________
11.函数的迭代的函数定义为
其中=2,3,4…
设,则方程组的解为_________________
12.设平行四边形中,则平行四边形绕直线旋转所得的旋转体的体积为_______________
三解答题
13.已知椭圆和点直线两点(可以重合).
1)若为钝角或平角(为原点), 试确定的斜率的取值范围.
2)设关于长轴的对称点为,试判断三点是否共线,并说明理由.
3)问题2)中,若三点能否共线 请说明理由.
14.数列由下式确定: ,试求(注表示不大于的最大整数,即的整数部分.)
15.设给定的锐角的三边长满足其中为给定的正实数,试求的最大值,并求出当取此最大值时, 的取值.
解 答
选择题
1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.
1.逐个元素考虑归属的选择.
元素1必须同时属于A和B.
元素2必须至少属于A,B中之一个,但不能同时属于A和B,有2种选择:属于A但不属于B,属于B但不属于A.
同理,元素3和4也有2种选择.
但元素2,3,4不能同时不属于A,也不能同时不属于B.
所以4个元素满足条件的选择共有种.换句话说,"好集对"一共有6个. 答:C.
2.令,则,且,,,
.从而.
令,则题设方程为 ,即 ,
故 ,,, ,
解得 . 从而 . 答:A.
3. 注意 ,2,7和9两两互质. 因为 (mod2),

(mod9),

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