2 导 数 与 微 分
2-1 导数的概念
教学目的: 1.使学生掌握导数定义的两种形式;左,右导数的概念;
2.使学生掌握导数几何意义,会求曲线的切线方程;
3.使学生理解函数的可导性与连续性之间的关系.
教学重点: 导数的定义
教学难点:导数的定义
课时分配:2学时
一,教学过程:
在自然科学的许多领域中,当研究运动的各种形式时,都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度,如物体运动的速度,而当物体沿曲线运动时,还需考虑速度的方向,即曲线的切线问题.所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率,即导数.
2-1-1 引例
微分学最基本的概念——导数,来源于实际生活中两个朴素概念:速度和切线.
1 变速直线运动的速度
设一物体作直线运动,用表示该物体从某一时刻开始到时刻所经历的路程,则是时刻的函数=().现在来确定物体在某一给定时刻的速度.
当时刻改变到时,物体在这段时间内所经历的路程为
,
因此在这段时间内,物体的平均速度为
.
若物体做匀速运动,平均速度就是物体在任何时刻的速度.若物体的运动是变速的,则当很小时,可以近似地表示物体在时刻的速度,越小,近似程度越好,当0时,如果极限存在,则此极限为物体在时刻的瞬时速度,即

2电流强度
在交流电路中,电流大小是随时间变化的.设电流通过导线的横截面的电量是,它是时间的函数.现在来确定某一给定时刻的电流强度.
当时间由改变到时,通过导线的电量是

因此,在这段时间内,导线的平均电流强度为

显然,越小,就越接近时刻的电流强度,当0时,如果极限存在,则此极限为导数在时刻的电流强度,即
.
3切线及其斜率
什么样的直线是曲线在某点处的切线呢
设曲线的图像如图2-1所示,点是曲线上的一个定点,在曲线上另取一动点,作割线,让点沿曲线向移动,则割线的位置也随之变动,当点沿曲线趋向时,割线趋向于极限的位置-.直线就是曲线在点处的切线.
设割线的倾角为,切线的倾角为,则割线的斜率为

当0时,割线的斜率就无限地接近于切线的斜率,所以切线的斜率为
.
图2-2显示了割线到切线的变化过程.
图2-2
上面三个例题虽然具体含义不同,但从抽象的数量关系看,它们的实质是一样的,都归结为计算当自变量的改变量趋于零时,函数改变量与自变量改变量之比的极限,这种特殊的极限就称为函数的导数.
2-1-2 导数概念
1.导数的定义
定义2-1: 设函数在的某个邻域内有定义,当自变量在点处取得改变量 时,函数取得相应的改变量,如果极限存在,则称这个极限值为在点处的导数,并称函数在点处可导.

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