偏导数
§8-2
繁
啦
！
烦
好爽 ！
一、偏导数的定义及其计算
工程和科学技术中，遇到的大部分
是多变量的问题，在处理时往往需
要知道在其它变量不变，只有某一
个变量变化时，引起的事物反应。
为什么要研究偏导数
在物理和力学中，经常用到力
和速度的分解和合成。通常是将任
标轴方向的分力或分速度。
意方向的力或速度分解为平行于坐
一元函数
的导数
如果 x , y 为自变量，这就是二元函数 f (x , y)关于变量 x 的偏导数。
一、
多元函数的
和全增量
偏增量
变量的增量
在空间
中的变量
的全增量为
或表示为
其中，
若固定
，则称
或
为变量
关于 x 的偏增量。
若固定
，则称
或
为变量
关于 y 的偏增量。
同学们不难将以上增量形式推广
至空间
中。例如
…………………
函数的增量
函数
相应于自变量
和
的全增量和偏增量的改变量
称为函数的全增量和偏增量
函数的增量
称为函数
在点
处的全增量。
函数的增量
称为函数在点
处的偏增量。
函数的增量
(点函数表示)
对于
中的函数
可仿此进行增量的定义
其中
例
则
函数的连续性能否
用函数的全增量描述？
想想：
函数的连续性能否
用函数的全增量描述？
函数的连续性能否
用函数的全增量描述？
能
二、偏导数
二元函数的偏导数定义
设
在
内有定义，且极限
存在，则称函数在点
对 x 可偏
导, 极限值 a 称为函数在该点的关于变
量 x 的偏导数，记为
关于 y 的偏导数 如何定义
？
关于 y 的偏导数 如何定义
二元函数的偏导数定义
设
在
内有定义，且极限
存在，则称函数在点
对 y 可偏
导, 极限值 b 称为函数在该点的关于变
量 y 的偏导数，记为
运用偏增量表示偏导数：
警告各位！
偏导数的符号
不能像一元函数那样将
是一个整体记号，
与
的商。
看成是
若函数
在点
于变量 x 和 y 的偏导数均存在，则称
在区域 ? 内的任
处关
函数
在点
处可偏导。
若函数
一点处均可偏导，则称函数
在区域 ? 内可偏导。
下面讨论偏导数的计算方法
可以看出: 定义
时，
实际上 , 是对函数
变量 y 是不变的,
, 将 y 视为常
数 , 关于变量 x 按一元函数导数的定义
进行的。
求多元函数的偏导数
求一元函数的导数。
实质上是
哇！
好爽！
以上的叙述虽然是对二元函数
元及其以上的函数中去。
进行的，但其结论可直接推广到三
多元函数的偏导数的计算方法，
没有任何技术性的新东西。
求偏导数时，只要将 n 个自变量
的求导方法进行计算。
自变量均视为常数，然后按一元函数
中的某一个看成变量 , 其余的 n－1个
求偏导数时，只要将 n 个自变量
的求导方法进行计算。
自变量均视为常数，然后按一元函数
中的某一个看成变量 , 其余的 n－1个
求偏导数时，只要将 n 个自变量
中的某一个看成变量 , 其余的 n－1个
自变量均视为常数，然后按一元函数
的求导方法进行计算。
求
在点 (1, 2) 处
的偏导数。
解
例
由定义也可用下列方式求解
建议养成先求导后代值的习惯
求
的偏导数。
解
将 y 看成常数
将 x 看成常数
例
求
的偏导数。
解
将 y 看成常数时，是对幂函数求导。
将 x 看成常数时，是对指数函数求导。
例
求
的偏导数。
解
例
讨论函数
在点
处的连续性和可偏导性。
注意
例
解
取
则
由 k 的任意性及极限的唯一性可知该
极限不存在, 故函数
在点
处不连续。
但是
在点
即函数
可偏导，且
想想是什么问题
想想是什么问题
该例说明了一个重要问题：
对多元函数来说，函数的偏导数
存在与否与函数的连续性无必然关系。
这是多元函数与一元函数
的一个本质区别。
对多元函数来说，函数的偏导数
存在与否与函数的连续性无必然关系。
对多元函数来说，函数的偏导数
存在与否与函数的连续性无必然关系。
在热力学中，已知压强P 、体积V、
温度T 之间满足关系 PV=k T , 其中, k
为常数，证明：
例
证
由关系 P V=k T
得
故
类似可得
从而
三、偏导数的
几何意义
看看书 想一想
看看书 想一想
看看书 想一想
看看书 想一想
看看书 想一想
看看书 想一想
x
y
z
O
.
.
在平面
上
就是平面
上的曲线
在点
, 即点
处切线的斜率。
在平面
上
就是平面
上的曲线
在点
, 即点
处切线的斜率。
同理：
二元函数的偏导数存在，只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的，而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续，故由偏导数存在不能推出函数连续。
二元函数的偏导数存在，只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的，而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续，故由偏导数存在不能推出函数连续。
二元函数的偏导数存在，只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的，而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续，故由偏导数存在不能推出函数连续。
二元函数的偏导数存在，只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的，而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续，故由偏导数存在不能推出函数连续。
四、二元函数的
微分中值定理
定理:
设函数
在
内可偏导, 则
和
使得
少存在一组点
至
其中,
∵
∴
证：
自己画画图就知道了
由一元函数的拉格朗日中值定理，得
记
在
与
之间，
在
与
之间，
则
且有
由中值定理，可将函数的全增量表示为
定理以及该结论可以推广到三元和三元以上的函数中。
§2、偏导数
二、高阶偏导数
与一元函数的情形类似，多元函数也有高阶导数。
在区域 ? 内，函数 z = f (x, y) 的偏导数
仍是变量 x , y 的多元函数 , 如果偏
导数
仍可偏导 , 则这些偏导数就是
原来函数的二阶偏导数。
依此类推 , 可定义多元函数的更高阶的
导数。
一般地，若函数 f (X) 的 m－1 阶偏导数仍可偏导，则称其偏导数为原来函数的m 阶偏导数。
二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数，其中，关于不同变量的高阶导数，称为混合偏导数。
例
二元函数
的二阶偏导数：
高阶偏导数还可使用下列记号：
例
二元函数
的三阶偏导数：
共 23 = 8 项
发现求高阶导数与求导顺序有关
例
求
的二阶
解
先求一阶偏导数：
再求二阶偏导数：
偏导数。
两个混合偏导数相等
有无一般性
这里的两个混合偏导数均连续
需按定义求函数在点 (0, 0) 处的偏导数。
例
设
求
解
0
0
时，按公式求导(请同学课后做)：
该例中，
这说明只有在
一定的条件下高阶偏导数才与求导顺序无关。
想想应该增加一个什么条件？
连续
定理
若
的二阶混合偏导数在
内存在且在点
处连续，
则必有
当混合偏导数连续时，求导与求导顺序无关。
证
在
内考虑式子
令
则
由二阶混合偏导数的连续性 , 可知函数
在
连续 , 可导 , 由拉格朗日中值
定理得
即
关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理，得
同理，
令
则
先关于变量 y 再关于变量 x 运用拉格朗日中
值定理，得
故
由二阶混合偏导数连续性，取极限后，即得定理的结论。
该定理的结论可推广到更高阶的混合偏导数的情形
现在问你，证明定理时为什么会想到用
？
看 图
课后再去想它
引入记号：
在
内有直到 k 阶的连续偏导数，
记为
时，则在求 n 阶及 n 阶以下
的偏导数时，可大大减少运算次数。自变
二元函数的 n 阶偏导数就有 2n 项，当
量个数越多，求导与求导顺序无关的作用
越明显。
求
的二阶偏导数。
解
再求
请同学们自己计算
例
设
且
求
解
心算一下，答案是多少？
例
设
其中，
求
解
例
例
验证函数
满足
偏微分方程
解
比较后，得
根据上面两个例题的解题过程，自己看书中的例题。
例
设
求
解
这是求隐函数的高阶偏导数，令
则
例
利用变量代换
将
方程
化为关于变量
的方
程，其中，
解
令
同理可得
将上述偏导数带入原方程，得到
设
将下列拉普拉斯方程
表示为极坐标形式：
解
极坐标系：
分别对上式两边关于x 和 y 求导，得到方程组
和
解方程组得
我们选择一种复合方式进行运算，
另外的一种方式同学们课余可试
一下。
例
将
的表达式代入 , 计算后得
注意
类似可求出
综上所述，拉普拉斯方程的极坐标形式为
通常称
为二维拉普拉斯算子，
为三维拉普拉斯算子。