Chapter 3 电阻电路的一般分析
主要内容
1. 图论的初步概念;
2. 支路电流法;
3. 网孔电流法和回路电流法;
4. 结点电压法.
§3-1 电路的图
1. 求解电路的一般方法
① 选取合适的电路变量(电流和/或电压);
② 根据KCL,KVL 以及元件的电压,电流关系(VCR),建立独立方程组;
③ 解出电路变量.
学习图论的初步知识,目的是研究电路的连接性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变量
① G = ( V, E ),表示 G 是结点和支路的一个集合.
结点(顶点,点):支路的汇合处;
支路(线段,边):是一个抽象的线段(代表一个电路元件);
② 孤立结点:不关联任何边的点;
2. 图
③ 移去支路:移去该支路,但其所关联的两个结点保持不变;
④ 移去结点:把它所关联的全部支路同时移去.
3. 电路的"图"
① 电路的"图":把电路中每一条支路画成抽象的线段形成的一个结点和支路的集合;
② 用不同的元件结构定义电路的一条支路时,该电路以及它的图的结点数和支路数将随之而不同.
③ 有向图:赋予支路方向的图.
a. 指定电路中每条支路电流的参考方向,电压取关联参考方向;
b.指定电路的图中每一条支路的方向.
§3-2 KCL和 KVL的独立方程数
一,KCL 的独立方程数(n -1)
可以证明,对于具有 n 个结点的电路,在任意( n - 1)个结点上可以得出( n - 1 )个独立的 KCL 方程,相应的( n - 1 )个结点称为独立结点.
① ∵
因为每一支路电流 ij 必然流出一个结点,并流入另一结点,故独立方程数 < n
② 从这 n 个方程中,去掉任意一个,余下的( n -1 )个方程一定互相独立,因去掉一个方程后,必有某些支路电流不可能与其他支路电流相消.
1. 独立回路
① 连通图:图 G 的任意两个结点之间至少存在一条路径;
② 子图:如果 G1 的每个结点都是图 G 中的结点,G1的每条支路都是 G 中的支路,则 G1 是G 的子图;
③ 回路:如果一条路径的起点和终点重合,且经过的其他结点都相异,这条闭合路径就构成 G 的一个回路.
二.KVL 的独立方程数( b - ( n -1))
④ 树:连通图G 的一个树 T ,是指 G 的一个子图,a, 它必须是连通的;b, 包含 G 的全部结点;c,不包含回路.
回路:(1,3,4);(2,3,5);(4,5,6);(1,2,6);(1,2,4,5);(1,3,5,6);(2,3,4,6)
可以证明,任一个具有 n 个结点的连通图,它的任何一个树的树支数为(n -1).
T1 树支:(3,4,5) 连支:(1,2,6)
T2 树支:(1,4,5) 连支:(2,3,6)
⑤ 单连支回路:G 的任意一个树,加入一个连支后形成的一个回路 .
a.除所加连支外均由树支组成;
b.由全部连支形成的单连支回路(基本回路)构成基本回路组.基本回路组是独立回路组 ;
c.根据基本回路列出的 KVL 方程组是独立方程组;
d.选择不同的树,可以得到不同的基本回路组.
T1 : 树支: (1, 3, 5 ); 回路:(2, 3, 5);(1, 3, 4) ; (1, 3, 5, 6)
T2 : 树支: (3, 4, 5 ); 回路:(1, 3, 4);(2, 3, 5) ; (4, 5, 6)
T3 : 树支: (1, 2, 4 ); 回路:(1, 3, 4);(1,2, 4, 5) ; (1, 2, 6)
② 网孔:平面图的一个 "网孔" 是指它的一个自然 "孔",它限定的区域内不再有支路;
③ 平面图的全部网孔是一组独立回路;
④ 平面图网孔数 = 独立回路数 .
① 平面图:把一个图画在平面上,能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉,否则,称为非平面图;
2.网孔
3. KVL 的独立方程数 = 独立回路数
① 平面电路,找网孔,对网孔列 KVL 方程;
② 非平面电路:先找树,再找单连支回路,对单连支回路列 KVL 方程 ;
§3-3 支路电流法
1.2b 法
以支路电压和电流为电路变量,共有 2b 个未知量 .
① 按 KCL 列出( n-1)个独立电流方程;
② 按 KVL 列出 b -( n-1)个独立电压方程;
③ 按支路的电压,电流关系( VCR )列出 b 个 VCR 方程;
④ 由 2b 个方程求解 2b 个未知量.
2.支路电流法
① 将 b 个支路电压,电流关系(VCR)代入(b - ( n - 1 )) 个KVL 方程;消去支路电压变量,得到(b - ( n - 1 ) )个以支路电流表示的 KVL 方程,加上原有的( n - 1 )个独立的结点电流方程;
② b个方程求解 b 个支路电流.
将式(3)代入式(2)得
式(1)和式(4)联立求解可得支路电流.
3.KVL 方程的一般形式
Rk ik 为回路中第 k 个支路的电阻上的电压,ik 参考方向与回路方向一致时,取 "+ ",否则,取 "- ";
4. 列写出支路电流法电路方程的步骤
① 选定各支路电流的参考方向;
③ 选取 b - ( n -1) 个独立回路(平面电路取网孔),指定回路的绕行方向,列出 KVL 方程.
② 根据 KCL 对 ( n -1) 个独立结点列写电流方程;
uSk 为回路中第 k 支路的电源电压(既包括电压源电压,也包括电流源引起的电压),当 uSk 与回路方向一致时取 "- "(因移到等号另一侧),否则取 "+".
§3-4 网孔电流法
1. 网孔电流是一组完备的独立电流变量.
① 网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流,共 b-(n-1)个;
a. im1 ,im2 为分析简便而设的假想电流;
b. i1 , i2 , i3 可用 im1 ,im2 线性表示;
② 完备性:一旦求出了网孔电流,所有支路电流可根据KCL 随之确定.
③ 独立性:因每个网孔电流沿着网孔流动,当它流到某个结点时,从该结点流入,又从该结点流出,在该结点所列的 KCL 方程中相互抵消,因此,就 KCL 来说,各网孔电流彼此独立无关.
④ 求网孔电流需要根据 KVL 及 VCR 来列方程.
流入:im1 ,im2
流出: im1 ,im2
即 im1 + im2 = im1 + im2
整理后可得
概括为一般形式
以网孔电流方向为列KVL 方程时的绕行方向(顺时针)
2. 求解过程及网孔电流方程的普遍形式
这里:
① 自电阻 第 个网孔的全部电阻之和;
② 互电阻 第 个网孔与第 个网孔之间的公共电阻,如果 与 通过公共电阻时方向一致,取 " + ",相反,取 " - " ;
③ 总电压源电压 :第 i 个网孔电压源电压升的代数和,
推广到 m 个网孔的电路,其网孔电流方程的普遍形式为
例3-1:用网孔分析法求解下图电路的各支路电流.
解:网孔电流方程为
利用行列式法可求出
例3-2:试求下图中电流 I .
解:网孔电流方程为
例3-3:试用网孔法求下图所示电路中受控源电流 Ix .
解:列网孔电流方程时先将受控电源等同于独立电源,写出网孔电流方程后,再将受控源控制量用网孔电流表示.
又
例3-4:试列写下图中所示电路的网孔电流方程.
解:因电流源两端有电压,假设为 U ,则
补充:
将 7V 电压源移至图右侧,可不设电流源电压 U,迅速求出各支路电流!
§3-5 回路电流法
1. 回路电流法是以一组独立回路电流为电路变量的求解方法
① 回路电流是在一个回路中连续流动的假想电流;
② 选单连支回路作为基本回路(独立回路),回路电流就是连支电流;
a ,树支:支路(4,5,6) 连支:支路(1,2,3)
b ,回路电流(连支电流)为 ,分别在 3 个基本回路中流动;
a,完备性: 支路电流是流过的回路电流(连支电流)的代数和;树支电流可以通过连支电流来表达.全部支路电流可用连支电流(回路电流)来表达;
b,独立性:因每个回路电流沿着回路流动,当它流到某个结点时,从该结点流入,又从该结点流出,在该结点所列的 KCL 方程中相互抵消,因此,就 KCL 来说,各回路电流彼此独立无关.
③ 回路电流(连支电流)是完备的独立电流变量.
④ b 条支路,n 个结点的电路,b 个支路电流受 n - 1个KCL 方程的约束,仅有 b - ( n -1) 个支路电流是独立的;
⑤ 连支数恰好是b - ( n -1) 个,连支电流可以作为独立电流变量,由 KVL 提供求解连支电流所需的 b - ( n -1) 个独立方程.
① 列出图示 3 个回路的回路电压方程,将所有电流均用回路电流表示;
② 整理后可得
2.求解过程及回路电流方程的一般形式
③ 一般形式(设 )
这里:
a,自电阻 第 个回路的全部电阻之和;
b, 互电阻 第 个回路与第 个回路的公共电阻之和,若两个回路电流通过公共电阻时方向一致取"+ ",否则,取 "- ";
c, 电压源电压 第 i 个回路电压源电压升的代数和,电压源电压的方向与回路电流方向一致时取"-", 否则取"+ ".
3. 电路中含有电流源的情况
① 含有电流源和电阻的并联组合,可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合再列回路方程;
② 存在无伴电流源时
a, 选取电流源支路作连支,则该回路的电流(连支电流)就是电流源电流(见例 3-1);
b,把电流源的电压作为变量,增加一个独立的回路电流与电流源之间的约束关系(见例 3-4 ).
4.电路中含有受控电压源的情况
① 先将受控电压源作为独立电压源列出回路电流方程;
② 再把受控电压源的控制量用回路电流表示;
③ 然后将用回路电流表示的受控源电压移至方程的左边.
例3-5:试求下图中电流 I1 .
解:选树时,使电压源支路作为树支,并使电流源,受控电流源及受控源的控制支路位于连支中,由于只有一个未知数I1, 故只需对 I1 所流经的回路列写方程
例3-6:下图所示电路中有无伴电流源 iS1 ,无伴电流控制电流源 iC = i2,,电压控制电压源 uC = u2,, 电压源 US2,,US3 ,列出回路电流方程.
解:选树支如粗实线所示,将连支电流作为回路电流,则
整理可得
R1 对回路电流无影响!
5. 回路电流法的步骤
① 根据给定的电路,通过选择一个树确定一组基本回路(使电流源,受控电流源出现在连支中).指定各回路电流(连支电流)的参考方向;
② 按一般公式列出回路电流方程,自电阻总是正的,互电阻的正负由相关的两个回路电流通过共有电阻时的参考方向是否相同而定.另外,要注意右边项取代数和时有关电压源前面的" + ","-" 号 ;
③ 电路中含有受控源或无伴电流源时,按前述方法处理.
§3-6 结点电压法
1. 结点电压是一组完备的独立电压变量
① 任选一个结点为参考点,其他结点到参考点的电压降,称为该结点的结点电压,共 n - 1 个 ;
② 完备性:一旦求出了 n - 1 个结点电压,全部 b 条支路电压均可根据 KVL 随之确定,因一条支路必然关联两个结点.
a, 选结点 4 为参考点;
b, un1, un2, un3 为结点电压;
c, G1,G3,G5 上的结点可用
un1, un2, un3 线性表示;
③ 独立性,因沿任一回路的各支路电压如以结点电压表示,列写的 KVL 方程恒等于零,因此,就 KVL 来说各结点电压彼此独立无关.
图中所示回路:
④ 求结点电压需要根据 KCL 及 VCR 来列方程 .
2.求解过程及结点电压方程的普遍形式
整理可得
概括为一般形式
推广到 个结点的电路,其结点电压方程的普遍形式为
这里:
① 自电导 连接到第 i 个结点的全部电导之和;
② 互电导 连接在结点 i 和结点 j 之间的电导之和的负值;
③ 注入电流 注入到第 i 个结点的电流源电流的代数和;
例3-7:列出下图的结点电压方程.
解:结点编号如图所示,则有
习惯画法!
例3-8:试列出下图所示电路的结点电压方程.
解:列结点电压方程时,如果电压源跨接在两个结点之间,怎么办 先设一个未知电流!
如果将结点 3 选作
参考结点,则只需列
两个结点方程!
列结点电压方程时,不需要事先指定支路电流的参考方向,如要检验答案,应按支路电流用 KCL 进行.
4.电路中含有无伴电压源的情况
① 选无伴电压源的一端连接点作为参考点, 则关于另一端的结点电压已知,无需再列方程!
② 把无伴电压源的电流作为附加变量列入 KCL 方程,增加结点电压与无伴电压源电压之间的关系.
3.求得各结点电压后,可以根据VCR求出各支路电流;
列写结点电压方程(例3-5 PP71).
用结点电压法求各支路电流(例3-6 PP71 ).
例3-9:试列出下图所示电路的结点电压方程.
解法一:
解法二:设无伴电压源电流为 i ,则
补充:
G1 对 un1, un2无影响!
② 含有有伴受控电压源时,把控制量用有关结点电压表示并变换为等效受控电流源;
③ 含有无伴受控电压源,参照无伴独立电压源的处理方法;
① 含有受控电流源时,暂时把它当作独立电流源,再把控制量用结点电压表示,并按上述方法列出结点电压方程,然后把用结点电压表示的受控电流源电流移到方程的左边;
5.电路中含有受控电源的情况
例3-10:下图中含有 VCCS,其电流 iC = gu2 , 其中 u2 为电阻 R2 上电压,试列写结点电压方程.
解:结点编号如图所示(与教材不同),则
补充:
整理可得
例3-11:试为下图所示含受控电流源电路(晶体管放大电路的微变等效电路)列写结点电压方程.
解:出现受控源时,暂将其看作独立电源列方程,然后把受控源的控制量用结点电压表示,代回原方程进行整理.
补充:
R4 对 un1, un2 无影响!
6,结点电压法的步骤
① 指定参考结点,其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压;
② 列出结点电压方程(按普遍形式).注意,自电导总为正,互电导总为负,另要注意注入电流前面的 "+", "-" 号;
③ 当电路中含有无伴电压源或受控源时按前述方法处理.