微分中值定理
一,引理
二,罗尔定理
三,拉格朗日中值定理
四,柯西中值定理
五,泰勒公式
一,引理
引理 设f(x)在 处可导,且在 的某邻域内恒有
则有 .
二,罗尔定理
定理4.1 设函数f(x)满足
(1) 在闭区间[a,b]上连续,
(2) 在开区间(a,b)内可导,
(3) f(a)=f(b),
注意:罗尔定理的条件有三个,如果缺少其中任何一个条件,定理将不成立.
罗尔定理几何意义:
若曲线弧在[a,b]上为连续弧段,在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线,且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同,那么曲线弧段上至少有一点,过该点的切线必定平行于x轴.
例如f(x)=|x|在[-1,1]上连续,且f(-1)=f(1)=1,但是|x|在(-1,1)内有不可导的点,本例不存在 使 .
又如f(x)=x在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,但是f(0)=0,f(1)=1,本例不存在 ,使 .
再如 f(x) 在(0,1)内可导,f(0)=0=f(1),但是f(x)在[0,1]上不连续,本例不存在
还需指出,罗尔定理的条件是充分条件,不是必要条件.也就是说,定理的结论成立,函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.
例如 在[0,3]上不满足罗尔定理的条件 但是存在 ,使 .
三,拉格朗日中值定理
定理4.2 设函数f(x)满足
(1) 在闭区间[a,b]上连续;
(2) 在开区间(a,b)内可导;
则至少存在一点
分析 与罗尔定理相比,拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在[a,b]上满足罗尔定理条件,且由 能导出 则问题可解决.
拉格朗日中值定理的几何意义:
如果在[a,b]上的连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,那么在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.
弦线的方程为
作辅助函数
即可. 的几何意义为:曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.
证 令
由于f(x)在[a,b]上连续,因此 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导,因此 在(a,b)内可导.
又由于
因此 在[a,b]上满足罗尔定理条件,所以至少存在一点 ,使 ,即
从而有 ,或表示为
上述结论对b 如果f(x)在(a,b)内可导, 则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理,即
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
其中 为之间的点.也可以记为
或
推论1 若 在(a,b)内恒等于零,则f(x)在(a,b)内必为某常数.
事实上,对于(a,b)内的任意两点 ,由拉格朗日中值定理可得
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论:
位于x1, x2之间,故有f(x1)= f(x2).由x1, x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 ,则有
其中C为某常数.
由推论1可知f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C.
f(x)=g(x)+C,
事实上,由已知条件及导数运算性质可得
例1 选择题.选出符合题意的选项.
下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的有( ).
注意罗尔定理的条件有三个: (1)函数y=f(x) 在[a,b]上连续.(2)f(x)在(a,b)内可导.(3)f(a)=f(b).
分析
不难发现 ,在[-2,0]上不满足连续的条件,因此应排除A.
对于 ,在[-2,4]上连续,在(-2,4)内可导;f(-2)=36,f(4)=0, ,因此应排除B.
对于f(x)=|x|,在[-1,1]上连续,在(-1,1)内不可导,因此应排除D.
综合之,本例应单选C.
例2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线( ).
A.仅有一条;
B.至少有一条;
C.不一定存在;
D.不存在.
由题目中所给的条件可知,函数y=f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件,可知至少存在一点
使得
分析
又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在 处的切线斜率为零,即切线平行于x轴.因此本例应选B.
例3 选择题.函数 在区间[-1,3]上满足拉格朗日中值定理的 =( ).
由于 在[-1,3]上连续,在(-1,3)内可导,因此f(x)在[-1,3]上满足拉格朗日中值定理条件.
分析
由拉格朗日定理可知,必定存在
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(-1)=4,而 因此有
可解得 ,因此本例应选D.
例4 试证
对于所给不等式,可以认定为函数的增量与自变量的增量之间的关系.因此可以设f(x)=arctan x.
证 设f(x)=arctan x ,不妨设a0时,试证不等式
分析
取f(t)=ln(1+t) ,a=0,b=x.
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理,因此必有一点 使得.
说明 本例中,若令y=ln t,a=1,b=1+x,亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时,f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
即
进而知
四,柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足:
(1)在闭区间[a,b]上都连续,
(2)在开区间(a,b)内都可导,
(3)在开区间(a,b)内,
则至少存在一点
在柯西中值定理中,若取g(x)=x,则得到拉格朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗日中值定理的推广.
五,泰勒公式
由微分的概念知道,如果y=f(x)在点 处可导,则有
从几何上看,上述表达式可以解释为:在点x0的附近用曲线y=f(x)在点 处的切线来代替曲线y=f(x) (简言之,在点x0附近,用切线近似曲线.) .
上述近似公式有两点不足:
1. 精度往往不能满足实际需要;
2. 用它作近似计算时无法估计误差.
因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式.在实际计算中,多项式是比较简单的函数,因此希望能用多项式
来近似表达函数f(x),并使得当 时,
为比 高阶的无穷小,还希望能写出 的具体表达式,以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数,为了使与f(x)尽可能相近,希望
可知
从而得到由f(x)构造的n次多项式
若用 在点 附近来逼近f(x),有下列两个结论:
(1)余项rn(x)=f (x)–Pn(x)是关于(x–x0)n的高阶无穷小,即
(2)如果f(x)在(a,b)内有直至(n+1)阶导数,则rn(x)可以表示为
综上所述,可以描述为:
泰勒公式Ⅰ 设函数f(x)在含x0的某区间(a,b)内具有直至n阶导数,则当 时有
泰勒公式Ⅱ 设函数f(x)在含x0 的某区间(a,b)内具有直至n+1阶导数,则当 时有
通常称
为f(x)在x0处的n次泰勒多项式.
以上 展开式也称为f(x)的n阶泰勒公式.
若在泰勒公式中令 ,则得到麦克劳林公式.
其中 介于0与x之间.