2.3.2 两个变量的线性关系
.
复习引入:
1,前面我们学习了现实生活中存在许多相关关系:商品销售与广告,粮食生产与施肥量,人体的脂肪量与年龄等等的相关关系.
2,通过收集大量的数据,进行统计,对数据分析,找出其中的规律,对其相关关系作出一定判断.
.3,由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性,所以样本数据应较大,和有代表性.才能对它们之间的关系作出正确的判断.
探究:
.
年龄
脂肪
23
9.5
27
17.8
39
21.2
41
25.9
45
49
27.5
26.3
50
28.2
53
29.6
54
30.2
56
31.4
57
30.8
年龄
脂肪
58
33.5
60
35.2
61
34.6
如上的一组数据,你能分析人体的脂肪含量与年龄
之间有怎样的关系吗
从上表发现,对某个人不一定有此规律,但对很多个体放在一起,就体现出"人体脂肪随年龄增长而增加"
这一规律.而表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄
人群的样本平均数.我们也可以对它们作统计图,
表,对这两个变量有一个直观上的印象和判断.
下面我们以年龄为横轴,
脂肪含量为纵轴建立直
角坐标系,作出各个点,
称该图为散点图.
如图:
O
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
5
10
15
20
25
30
35
40
从刚才的散点图发现:年龄越大,体内脂肪含量越高,点的位置散布在从左下角到右上角的区域.称它们成正相关.
但有的两个变量的相关,如下图所示:
如高原含氧量与海拔高度
的相关关系,海平面以上,
海拔高度越高,含氧量越
少.
作出散点图发现,它们散
布在从左上角到右下角的区
域内.又如汽车的载重和汽
车每消耗1升汽油所行使的
平均路程,称它们成负相关.
注:可考虑让学生思考书P77的思考.
O
我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附
近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上看大致在
一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相
关关系,这条直线叫做回归直线,该直线叫回归方程.
那么,我们该怎样来求出这个回归方程
请同学们展开讨论,能得出哪些具体的方案
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
.
.方案1,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,再移动直线,到达一个使距离的
和最小时,测出它的斜率和截距,得回归
方程.
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
如图 :
.
方案2,在图中选两点作直线,使直线两侧
的点的个数基本相同.
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
方案3,如果多取几对点,确定多条直线,再求出
这些直线的斜率和截距的平均值作为回归
直线的斜率和截距.而得回归方程. 如图
我们还可以找到
更多的方法,但
这些方法都可行
吗 科学吗
准确吗 怎样的
方法是最好的
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
年龄
脂肪含量
0
5
10
15
20
25
30
35
40
我们把由一个变量的变化
去推测另一个变量的方法
称为回归方法.
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强,
人们经过长期的实践与研究,已经找到了
计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
以上公式的推导较复杂,故不作推导,但它的原理较为简单:即各点到该直线的距离的平方和最小,这一方法叫最小二乘法.(参看如书P80)
练习:书P86A组1,3
作业:P86A组2
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