§3.7 曲率
一,弧微分
二,曲率及其计算公式
三,曲率圆与曲率半径
曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样度量曲线的弯曲程度
一,弧微分
曲线的基点与正向
设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线y f(x)上取固定点M0(x0 y0)作为度量弧长的基点 并规定依 x 增大的方向作为曲线的正向
s>0
s0 相反时s<0
显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 s s(x)
一,弧微分
弧微分公式
设x x Dx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线y f(x)上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量为Ds.
因为当Dx 0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以
由此得弧微分公式:
二,曲率及其计算公式
提示:
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度.
观察与思考:
观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量曲线的弯曲程度
平均曲率:
曲率:
曲率
设曲线C是光滑的 曲线上点M对应于弧s 在点M处切线的倾角为a 曲线上另外一点N对应于弧s Ds 在点N处切线的倾角为a Da
曲率:
曲率的计算公式
设曲线C的方程为y f(x) 且f(x)具有二阶导数
因为tan a y 所以
sec 2ada y dx
曲率的计算公式
例1 计算等边双曲线xy 1在点(1, 1)处的曲率.
曲率的计算公式:
曲线在点(1 1)处的曲率为
因此y |x 1 1 y |x 1 2
解
例2 抛物线y ax2 bx c上哪一点处的曲率最大
解 由y ax2 bx c 得
y 2ax b y 2a
代入曲率公式 得
显然 当2ax b 0时曲率最大
因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K |2a|
曲率的计算公式:
讨论:
3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么
1 直线y=ax+b上任一点的曲率是什么
2. 若曲线的参数方程为x=j(t), y=y(t) 那么曲率如何计算
提示:
1. 设直线方程为y=ax+b, 则y =a, y = 0. 于是K=0.
3. 圆的参数方程为x=R cos t, y=R sin t .
2.
三,曲率圆与曲率半径
上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆 其圆心叫做曲率中心 其半径r叫做曲率半径
曲率与曲率半径关系
曲率圆与曲率半径
设曲线在点M处的曲率为K(K 0).
在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为r=K-1的圆.
曲率圆
曲率半径
曲率中心
例3 设工件表面的截线为抛物线y 0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径
抛物线顶点处的曲率半径为
r=K-1 1.25
因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径不得超过2.50单位长
y 0.8x y 0.8
y |x 0 0 y |x 0 0.8
把它们代入曲率公式 得