dm t + o( t 2 ) (4) dt 因 为 喷 出 的 气 体 相 对 于 地 球 的 速 度 为 v (t ) u , 则 由 动 量 守 恒 定 律 有 dm m( t ) v ( t ) = m( t + t )v (t + t ) t + o( t 2 ( v ( t ) u ) (5) dt m(t + t ) m(t ) =
从(4)式和(5)式可得火箭推进力的数学模型为
m
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dv dm = u dt dt
(6)
令 t = 0 时, v (0) = v 0 , m(0) = m0 ,求解上式,得火箭升空速度模型
v (t ) = v 0 + u ln
m0 m(t )
(7)
(6)式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相对火箭)的乘积. (7)式表明,在 v 0 , m0 一定的条件下,升空速度 v (t ) 由喷气速度(相对火箭) u 及 质量比 m0 / m(t ) 决定.这为提高火箭速度找到了正确途径:从燃料上设法提高 u 值; 从结构上设法减少 m(t ) . 1.1.3 一级火箭末速度上限 火箭—卫星系统的质量可分为三部分: m p (有效负载,如卫星), mF (燃料质 量), m s (结构质量,如外壳,燃料容器及推进器).一级火箭末速度上限主要是受 目前技术条件的限制,假设: (i)目前技术条件为:相对火箭的喷气速度 u = 3 km/s 及
ms 1 ≥ m F + ms 9
(ii)初速度 v0 忽略不计,即 v 0 = 0 . 建模与求解:因为升空火箭的最终(燃料耗尽)质量为 m p + m s ,由(7)式及 假设(ii)得到末速度为
v = u ln
m0 m p + ms m0 λ m0 + (1 λ )m p 1 λ
(8)
令 m s = λ ( m F + m s ) = λ ( m0 m p ) ,代入上式,得
v = u ln
(9)
于是,当卫星脱离火箭,即 m p = 0 时,便得火箭末速度上限的数学模型为
v 0 = u ln
由假设(i),取 u = 3 km, λ =
1 ,便得火箭速度上限 9
v0=3ln9≈.6km/s
因此,用一级火箭发射卫星,在目前技术条件下无法达到相应高度所需的速度. 1.2 理想火箭模型 从前面对问题的假设和分析可以看出:火箭推进力自始至终在加速着整个火箭, 然而随着燃料的不断消耗,所出现的无用结构质量也在随之不断加速,作了无用功, 故效益低,浪费大. 所谓理想火箭,就是能够随着燃料的燃烧不断抛弃火箭的无用结构. 下面建立它的 数学模型. 假设:在 (t , t + t ) 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以 α 与 1 α 的比例同 时进行. 建模与分析:由动量守恒定律,有
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m ( t ) v (t ) = m ( t + t ) v ( t + t ) α (1 α )
由 上 式 可 得
dm t v (t ) dt
dm t ( v ( t ) u ) + o( t 2 ) dt
理 想 火 箭 的 数 学 模 型 为 (10)
dv (t ) dm m(t ) = (1 α ) u dt dt
及
v ( 0) = 0 , m ( 0) = m 0
解之得
v (t ) = (1 α )u ln
m0 m(t )
(11)
由上式可知,当燃料耗尽,结构质量抛弃完时,便只剩卫星质量 m p ,从而最终 速度的数学模型为
v (t ) = (1 α )u ln
m0 mp

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