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时间序列分析
一变数过去 (更清楚地说,是上一期,或上二,三期等) 的变数值有关.以下用 一个简单的数学模型来说明可能会更容易了解. 先定义某一个变数 y 在时间点 t 时的数值,用符号 yt 来表示之,2 那麼该变 数的现在值和过去值有关,用函数形式来表示就变成: yt = f(yt-1) ( 1.1 )
而 AR(1) 模型就是将式 (1.1) 用线性的函数来表示,我们用最简单 (不包含常 数项) 的线性式来说明 yt = a1 yt-1 ( 1.2 )
这样的 AR(1)模型有什麼特性呢 我们可以用一个数据的例子来解释,你就可以 很清楚地看出来了.假定 a1 = 0.5,而 y0=100,则由式 (1.2) 的函数关系可以得 知 y1 = 0.5×100=50,而 y2 = 0.5×50 =25,y3 = 0.5×25 = 12.5,如果用同样的方法 推算下去,你应该可以自己算出 y9 = 0.1953125.乍看之下要算出 y9 的值是什麼 好像有点复杂,但仔细想一下就可以发现它好像有一定的规则可循,因为每往前 , 推算一次就是将前一次的值再乘以 0.5 换句话说 y1 的值是 0.5×y0 y2 的值是 0.5× , , (0.5×y0) =(0.5)2 × y0 y3 的值是 0.5×(0.5×0.5×y0) = (0.5)3 × y0 ... (看出规则了吧!), , , 所以以此类推的话,y9 的值就是 (0.5)9 × y0 = 0.001953125 × 100 = 0.1953125. 其实上面这样的推算法,就是用所谓的递回推算 (solution by iteration).我 们再回到用 (1.2) 式的符号来表示,可以得到一般化的结果如下: yt = (a1)t y0 ( 1.3 )
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你可以将 yt 想像成任何一种时间序列变数,例如用 yt 来表示股票市场的大盘指数.又假定某年 7 月 1 日的大盘指数是 6000,7 月 2 日的大盘指数是 6100,7 月 3 日的大盘指数是 6050,... (以下 类推),则如果令一开始为第 0 期(即 t=0) 是 7 月 1 日,第 1 期(即 t=1) 是 7 月 2 日,... 那就是令 y0=6000,y1=6100,y2=6050... 以此类推 (不会很难懂吧!).
32 时间序列分析
ARMA 模型的偏自我相关函数 (PACF)
对任一时间序列变数 yt 而言,其阶次为 s 的偏自我相关函数的意义是,去除 该变数所有落后期小於 s 的落迟项的影响后,当期变数与落后 s 期变数之关系. 这样的描述听起来应该不是很清楚,用数学式来解释会比较容易了解. 先不论变数 yt 背后真实的 DGP 是什麼,用 yt 来跑以下的回归 (Tsay, 2002)
yt = φ1,0 + φ1,1 yt-1 + v1t yt = φ2,0 + φ2,1 yt-1 + φ2,2 yt-2+ v2t yt = φ3,0 + φ3,1 yt-1 + φ3,2 yt-2 + φ3,3 yt-3 + v3t ... yt = φj,0 + φj,1 yt-1 + φj,2 yt-2 + ... + φj, (j-1) yt-j+1 +...+ φj,j yt-j+ vjt
(2.23a) (2.23b) (2.23c) (2.23d)
φi,j 代表回归的待估系数 (i = 1, 2, 3, ..., s,j = 1, 2, 3, ..., s).从上述的回归结果所
估计出来的系数 φj,j,j = 1, 2, 3, ..., s (s 为任一正整数),在不同 j 值之下,就形 成所谓的偏自我相关函数 PACF.7 所以,我们用 φ(s) 来表示阶次为 s 的 PACF,即
φ(s) = φj,j, j = s.
从 (2.23a)-(2.23d) 式和回归方法中所谓的 「偏相关系数」 的意义可以观察出,φ(s) 其实就是 yt-s 对 yt 影响程度的「净效果」 (也就是扣除其他小於 s 的落后期变数
yt-1,yt-2,yt-3, ... ,yt-s-1 对的影响 yt). Enders (2004, p.65) 指出在 s = 1 时,自我相关函数和偏自我相关函数是相同
的,即 φ(1) = ρ(1),而 φ(2) = [ρ(1) ρ(2)2] / [1 ρ(1)2],至於 s ≥ 3 时,偏自我 相关函数的一般式则为
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Enders (2004, p.65) 则建议先将 yt 变去减去其平均值后再跑 (2.23a)-( 2.23d) 式的回归.

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