牛吃草的问题
数学,物理学家牛顿曾提出一条有关变量与不变量的有趣问题,通称 「牛吃草」 问题.该问题有很多不同的版本,但运用的数学技巧相若, 以下举出最广为流传的版本.
有一个牧场上有一块青草地,每天该青草地均会长出新的青草,且每 天长出的青草的量都是一样的.若这片草地能供 10 头牛吃 20 天吃 完,或供 15 头牛吃 10 天吃定,问该青草地能供 25 头牛吃多少天
(同学可花若干时间分析问题的难处在那里,不用急於看答案)
答案
问题的难处在於草量每天都不断变化,草量的变化涉及三个未知量: 草地原先已存在的草量,每天草地生长出来的草量,每头牛吃草的速 度.但我们根据题意只能列出两条等式,怎麼办呢
关键的步骤在於假设每头牛每天皆吃一份草,究竟一份草是多少草量 并不是重点,我们只想求在特定牛的数量下该草地可供牛吃多少天. 根据题意,10 头牛吃 20 天吃完,即草地原有的草量 + 20 天所生产的 草量 = 10 × 20 = 200 份草;15 头牛吃 10 天吃定,即草地原有的草量 + 10 天所生产的草量 = 15 ×10 = 150 份草. 由此可见,10 天所生产的草量 = 50 份草,即每天生长出 5 份草,且草 地应原先生长了150 10 × 5 = 100 份草. 现设该青草地能供 25 头牛吃 x 天
100 + 5 x = 25 x 100 = 20 x x=5
∴
该青草地能供 25 头牛 5 天
由此可见将问题出的未知量的数目减少,或用一抽象的量代表来简 代,这招对那些复杂变量的问题时很管用.