第十四届全国计算体学学术研讨会 The 14th National Computational Fluid Dynamics Conference
南投县,中华民国九十八月 Nantou County, August 16-18, 2007
用沉浸边界法求解可压缩 Navier-Stokes 方程
蔡顺峯 2 施诏峰 2 瑞国 1 1 国台湾大学工程科学与海洋工程学系 2 国台湾海洋大学机工程学系 摘要
本研究於浸边界法(immersed boundary method,简称 IBM)架构下发展一节点确之对-扩散-反应方程 (convection-diffusion-reaction,简称 CDR)散方法,以求解规则计算域之场问题.用外加人工动於任意 边界外场与物体内之特定点,强迫满足任意复杂边界之无动条件(no-slip) .一般卡式座标网格与复杂物体边界 无法重叠,因此可或缺需开发可确计算网格节点与沉浸边界以满足无动速条件之内插方法.本文提出之沉 浸边界法所计算结果与文献中值模拟测试题目及实验结果相吻合,因此对於复杂边界体计算,用此一沉浸边 界法分析场可明本方法之准确性及真实性. 关键词:卡式座标,对-扩散-反应(CDR) ,沉浸边界(IB) ,复杂边界,动外项
1 前言
处复杂形的能是值模拟的重大问题之 一.许多实际之移动或变形边界之非线性体系统问 题模拟,可避免需於每个时间项之网格重建,因而 造成计算困难.过去於复杂计算域中,贴体 (Body-Fitting)及沉浸边界法(Immersed Boundary Method)成功的模拟外型复杂场.贴体法所产生符 合外型之曲线结构或非结构网格,藉由断划分整个 边界上表面网格以产生计算域中被体占的网格. 如以椭圆方程组之表面网格座标为边界条件,用 符合边界之曲线网格产生内部格点,可与求解法同时 进并满足计算所需确.另可将外型极复杂可分 成多个简单的子计算域并分别产生网格.但是曲线座 标控制方程所牵涉之座标变换将涉及许多张矩阵和 Jacobian 转换的计算.而控制方程转换的复杂结果往 往对稳定性亦会产生影响并破坏计算收敛性. Peskin [1]发展沉浸边界方法以作为广义坐标变换的替 换,於控制方程中增加外项以代表场内任何形
的物体,以避免转换过程.增加体内特定节点之外 项可模拟物体於场之影响,故可在卡式座标中模 拟任意形物体.沉浸边界法的开发除适当处场 外型复杂,同时於网格节点保计算结果之准确 性.因此在卡式座标中可处移动或变形之复杂外型 场问题,却需随时间产生网格. Peskin [1] 发展 IB 法并於尤系统下透过控制方 程中加入外项,以模拟跳动的心脏瓣膜.沉浸边界 可以产生奇,并透过每个 Lagrangian marker 选定 的 delta 方程计算获得.近期於 Peskin 之 IB 法架构下 有许多新方法被提出.Sirovich [2],Goldstein 等人 [3] 发展虚拟边界法,模拟二维环绕圆柱场,三维平板 及紊管.虚拟边界法的关键在於引入外项,此 外项受到固体回馈回圈控制.加入动方程中之 回馈项可模拟场内无动边界.然而却引起错 误高频震荡.因此时间间隔选取受到严格限制,并使 得在复杂外型的情况下,需要昂贵的计算.Saiki 与 Biringen [4] 计算低( Re ≤ 400 )固定及移动圆
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南投县,中华民国九十八月 Nantou County, August 16-18, 2007
柱均匀研究中,改 Goldstein 的虚拟边界法,透过 区域权重平均方程在边界点上达到较好的体速内 插,并适当的分布边界点上的,以消去使用回馈 项所造成的错误震荡. 沉浸边界法的特色在於运动方程中加入源项.为 产生边界效应所提出的外方程通常有种方式. 分别是续外逼近或散外逼近(discrete-time momentum forcing method) .第一种方法主要是在散 微分方程之前加入外方程.续外法的应用将 经沉浸弹性边界的物机制耦合於方程式中.因此本 方法适用於生物医学动或多相.本方法另一优点 为方法的建构可以独使用於空间散.相反的, 散外法是在方程式被散后才引入外项.因此相 较於续外逼近,散外逼近较直接,而加入 外方式与散方式有直接关系,可使沉浸边界有较 准确表现.根据沉浸边界上同描述边界条件的方 法,散外法可分为间接跟直接使用边界条件. Ghost-cell 跟 cut-cell 种有限差分法可以直接使用於 边界条件.者可以在 Mittal 与 Iaccarino [5] 的文献 中获得详细的资讯.由於本研究重点在体经固 定的物体,因此在底下我们只讨散外法. Mohd-Yusof [6] 提出影响时间散方程稳定性 的动外项.避开使用微小的计算时间步伐.Fadlun [7] 将 Mohd-Yusof 的方法应用在错网格上,结果显 示与 Mohd-Yusof 所提出的动外项与之前的回馈 相比,在三维问题中有效. Ye 等人 [8] 於非交错网格中提出卡式网格法,并 於复杂沉浸边界的计算域中模拟非稳态可压缩 Navier-Stokes 方程组.采用之 cut-cell 法中,最重要在 於需满足沉浸边界周围 cell 守恒.整个计算域中使用 二阶准确的有限体积法与 two-step fractional-step 法, 靠近沉浸边界则使用空间二阶确方法.

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