第 3 章 傅里叶变换分析
在第 2 章中,我们讨论了连续时间系统的时域分析.在那里以冲激函数为基本信号.任 意输入信号可分解为一系列冲激函数之和,而系统零状态响应是输入信号与系统单位冲激响 应的卷积. 本章将以正弦函数(包括余弦函数)或复指数函数 e jωt 为基本信号. 任意输入信号可分解为 一系列不同频率的正弦函数或复指数函数之和(对于周期信号)或积分(对于非周期信号). 分解 后变量是频率(或角频率).把信号表示为不同频率的正弦分量的线性组合称为信号的频谱分 析(frequency spectrum),用频谱分析的观点来分析系统称为系统的傅里叶变换(Fourier transform)分析法,或频域(frequency domain)分析法. 傅 里 叶 分 析 的 研 究 与 应 用 至 今 已 经 历 了 一 百 余 年 . 1822 年 法 国 数 学 家 傅 里 叶 ( J.Fourier1768-1830 )在研究热传导理论时发表了"热的分析理论"著作,提出并证明了将 周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅里叶级数的理论基础.当今,傅里叶分析法已经 成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具.傅里叶分析法不仅应用于电子工程及无线电 技术领域之中,而且在力学,光学,量子物理等工程技术领域中得到广泛应用. 本章主要讨论周期信号与非周期信号的频谱分析,还要讨论用傅里叶分析法研究系统的 有关问题.
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
在 1.4 节中已经讨论过,任何周期函数在满足狄里赫利条件下,可以展开成用正交函数线 性组合表示的无穷级数.如果正交函数集是三角函数集 {cos nω1t ,sin nω1t} 或复指数函数集 (Fourier series)(简称傅氏级数).前者 {e } ,则周期函数所展开的级数称为"傅里叶级数"
jnω1t
称为"三角形式的傅里叶级数" ( trigonometric Fourier series),后者称为"指数形式的傅里叶 级数" ( exponential Fourier series),它们是傅里叶级数两种不同的表示形式.本节与下节我们 将利用这一数学工具研究周期信号的频域特性,建立"信号频谱"的概念. 3.1.1 三角形式的傅里叶级数 若周期信号 f (t ) (周期为 T1 ,角频率 ω1 = 2π f 1 = 开成三角形式的傅里叶级数.即
2π )满足狄里赫利条件, 则它可以展 T1
+ a n cos nω1t + +
f (t ) = a 0 + a1 cos ω1t + a 2 cos 2ω1t + b1 sin ω1t + b2 sin 2ω1t +
∞
+ bn sin nω1t + (3 - 1)
= a 0 + ∑ ( a n cos nω1t + bn sin nω1t )
n =1
上式中的各系数 a n , bn 称为傅里叶级数的系数,简称为傅里叶系数( Fourier coefficient),
66
a0 = an = bn =
其中 n = 1, 2, 3
1 t 0 +T1 f (t )dt T1 ∫t 0 2 t 0 +T1 T1 ∫t 0 2 t 0 +T1 T1 ∫t 0
f (t ) cos nω1tdt f (t ) sin nω1tdt
(3 - 2)
T1 T1 , ). 2 2 式( 3 – 1 )中的 a 0 实际上就是函数 f (t ) 的平均值亦即直流分量( direct component).当 n = 1
为方便起见,通常积分区间 (t 0 , t 0 + T1 ) 取为 (0, T1 ) 或 ( 时,a1 cos ω1t 和 b1 sin ω1 t 合成一角频率
*
为 ω1 =
2π 的正弦分量, 称为基波分量( fundamental T1
component ), 1 称为基波频率. n 大于 1 时, n cos nω1t 和 bn sin nω1 t 合成一个角频率为 nω1 ω 当 a
的正弦分量,称为 n 次谐波分量( nth harmonic component ), nω1 称为 n 次谐波频率. 通常可将式( 3 – 1 )中同频率项加以合并,得到另一种三角形式的傅里叶级数
f (t ) = c 0 + ∑ c n cos ( nω1t + n )
n =1

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