第 30 卷 第 2 期 2009 年 4 月
固体力学学报
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Vol . 30 No . 2 Ap ril 2009
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轴向变速运动黏弹性梁稳定性渐近分析和数值验证
王 1 波 陈立群1 ,2
( 1 上海大学上海市应用数学和力学研究所 ,上海 ,200072) ( 2 上海大学力学系 ,上海 ,200072)
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摘 要 研究了轴向变速运动黏弹性梁参数振动的稳定性 . 对黏弹性本构关系采用物质时间导数 , 轴向速度 用关于恒定平均速度的简单谐波变化来描述 . 发展渐近摄动法确定稳定性条件 . 应用微分求积法数值求解简支边 界条件下的轴向变速运动黏弹性梁方程 ,并进而确定次谐波参数共振的稳定性边界 . 数值结果显示了梁的黏性阻 尼和轴向平均速度的影响并验证了次谐波共振的解析结果 . 关键词 轴向变速运动梁 ,黏弹性 ,参数共振 ,渐近摄动 ,稳定性 ,微分求积
尽管对于轴向变速梁已经有很多近似解析的研
0 引言
轴向运动梁是多种工程装置的力学模型 , 其横 向振动受到研究者的关注 [ 1213 ] . 在以往的解析研究 中,所采用的近似解析方法有直接多尺度 法 [ 1 ,4 ,5 ,8 ,10 ,11 ,13 ] , 离散化多尺度法 [ 2 ,3 ] 和离散化增量 谐波平衡法 [ 6 ,7 ] . 除上述多尺度法等方法外 , 渐近摄动法也是一 种处理非线性振动的有效方法 , 它已经被应用于梁 的振动分析 . 1998 年 Boertjens 和 van Horssen 构 造了带有平方项和立方项的非线性梁在内共振情形 下的近似解析解[ 14 ] . 1999 年 Maccari 确定了对于弱 周期激励并带有平方项和立方项的非线性梁在主共 振和次谐波共振情形下外激励响应和频率响应曲 线 [ 15 ] . 2000 年 Boertjens 和 van Hor ssen 论证了带 有平方非线性项梁的解的存在性和唯一性和近似解 的渐近有效性[ 16 ] . 同年 , 他们研究了带陀螺非线性 弱激励梁的模态间的交互作用[ 17 ] . 2002 年 Andri2 anov 和 Danishevs ' kyy 使用渐近法确定了带立方 非线性梁的周期响应 [ 18 ] . 这些工作都是研究静态梁 的横向振动 ,数学模型为受扰动的保守连续系统 . 而 很少文献关于渐近法应用于轴向运动梁的数学模型 是受干扰的陀螺连续系统 ,其渐近分析尚未见报道 . 本文提出了分析轴向变速运动黏弹性梁稳定性的渐 近摄动法 .
( Y0103) 资助 . 2008201222 收到第 1 稿 ,2008211220 收到修改稿 .
究 ,但是通过控制方程的数值解来验证解析解的工 作还很少 . Ding 和 Chen 研究了基于有限差分法的 轴向变速黏弹性梁的次谐参数共振 [ 13 ] . 在本文的研 究中 ,作者利用微分求积法数值求解控制方程并验 证了解析结果 .
1 控制方程
考虑一个均匀轴向运动黏弹性梁 , 密度为 ρ, 横 截面积为 A , 惯性矩为 I , 初始拉力为 P0 , 支承两端 间的长度为 L , 轴向传输速度为 Γ( T ) . 考虑由横向 位移 V ( X , T ) 描述的梁的弯曲振动 , 这里 T 为时 间 , X 为轴向坐标 . 黏弹性材料符合带有常数弹性 模量 E 和黏弹性系数η的 Kelvin 模型 . 控制方程的 无量纲形式为 [ 13 ] : 2 2 γ v , tt + 2 v , xt +γv , x + (γ - 1) v , xx + v f v , xx x x + ε α ( 1) αv , xx x x t +εγv , xx x x x = 0 其中 :
V X , x = , t = T L L P0
v=
ρ L2 A η I
ρ P0 A 这里 ,ε为无量纲量小参数以表示黏性阻尼系数η 为小量 . 假设梁的两端为简支 , 则无量纲边界条件 :
γ= Γ
ρ A
( 2)
EI ε= 3 α , v f = 2 , P0 P0 L L
2
3 3 通讯作者 . Tel :021266134972 , E2mail :lqchen @staff . shu. edu. cn.
3 国家杰出青年科学基金 (10725209) , 国家自然科学基金 (10672092) , 上海市教育委员会科研项目 (07ZZ07) 和上海市重点学科建设项目

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