数学分析(III)期末试题 一 叙述题(每小题 10 分,共 30 分) 1 叙述第二类曲线积分的定义. 2 叙述 Parseval 等式的内容. 3 叙述以 2π 为周期且在 [π , π ] 上可积函数 f (x) 的 Fourier 系数、Fourier 级数及其 收敛定理. 二 计算题(每小题 10 分,共 50 分) 1.求 I = ( x + y ) ds ,此处 l 为联结三点 O(0,0), A(1,0), B(1,1) 的直线段.
l
∫
2.计算二重积分
I = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy .
其中 是以 y = x, y = x + a, y = a 和 y = 3a (a > 0) 为边的平行四边形. 3.一页长方形白纸,要求印刷面积占 A cm 2 ,并使所留叶边空白为:上部与下部宽度 之和为 h cm ,左部与右部之和为 r cm ,试确定该页纸的长 ( y ) 和宽 (x) ,使得它的总面积为 最小. 4.计算三重积分
I=
∫∫∫
V
(
x2 y2 z2 + + )dxdydz . a2 b2 c2
其中 V 是椭球体
x2 y2 z2 + + ≤1. a2 b2 c2
e ax e bx dx (b > a > 0) 的值. 0 x 三 讨论题(每小题 10 分,共 20 分)
5.计算含参变量积分
∫
+∞
1
已 知 u = arccos
2u 2u x ,试确定二阶偏导数 与 的关系. xy yx y
2
讨论积分
∫π
+∞
x cos x dx 的敛散性. x p + xq