Sylvester 方程的求解是使用数值算法, 而这种方法是基于串
行处理的思想, 用它来进行矩阵方程求解的复杂度通常是矩 阵维数的立方. 最近也有学者提出了一些数值算法能把矩阵 方程求解(如求逆)的复杂度降到矩阵维数的平方;但即便如 此,对于维数较大的矩阵或实时系统应用而言,这样的效率 仍然是远远不够的.于是,并行处理的思想被提出来[3,4], 理论上说, 并行处理系统可以在极短时间内完成实时方程求 解. 本文的目的就是利用基于梯度法的 Hopfield 神经网络(或 称递归神经网络)[5-9]并行求解上述 Sylvester 方程.
1) 构 造 一 个 基 于 范 数 的 标 量 取 值 的 误 差 函 数
|| AX XB + C ||2 /2 (当 X 合适取值使得该误差函数达到最小
值时,此 X 就是 Sylvester 矩阵方程的解).
2) 我们可以得到 || AX XB + C ||2 /2 的负梯度下降方向
(|| AX XB + C ||2 /2) = X
AT ( AX XB + C ) + ( AX XB + C ) B T
1
梯度法递归神经网络
在这一部分, 我们将会介绍基于梯度法的递归神经网络
3) 由递归神经网络的梯度法设计法则
X = γ (|| AX XB + C ||2 /2) / X ,
我们可以推出如下线性负梯度递归神经网络模型:
.
来实时并行求解 Sylvester 矩阵方程.
收稿日期: 2007-10-24 修回日期: 2008-04-04 基金项目: 国家自然科学基金 (60643004) 作者简介: 张雨浓(1973-), 男, 河南信阳人, 博士, 教授, 博导, 研究方 向为机器人与神经网络; 杨逸文(1986-), 男, 广东广州人, 本科生, 研究 方向为神经网络; 陈轲(1985-), 男, 江苏无锡人, 硕士生, 研究方向为机 器人与神经网络; 蔡炳煌(1981-), 男, 广东澄海人, 博士生, 研究方向为 机器人与神经网络.
X (t ) = γ AT ( AX XB + C ) + γ ( AX XB + C ) B T
.
.
(1)
并可以把它推广为如下非线性负梯度递归神经网络模型:
X (t ) = γ AT F ( AX XB + C ) + γ F ( AX XB + C ) B T (2)
1.2 定性分析
这里我们首先介绍如下 4 种类型的激励函数 f () , 它们 构成了激励函数阵列 F () :
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