题目:斜面上的滚动实验 作者:国立台湾师范学物理系 贾至达,吴采蓉,徐意娟
许多普通物理课本在讲述转动的例题中,常出现求算圆形物体由斜面下滑后 的末速度[参考资料一],圆形的物体包括实心圆球,圆柱和圆环等.在纯滚动的 条件下,经由能量守恒理论计算的结果,我们知道:由同一斜面高度下滑的圆形 物体中,实心圆球下滑到斜面底端时速率最大,圆柱次之,而圆环的末速最小. 这是因为这些物体的几何形状不同,使得具有不同的转动惯量(I) ,因此下滑后 的转动动能在总动能中所占有的比例不同,也就使得圆球相较圆柱,圆环快滚到 斜面的底端. 圆球相较圆柱,圆环快滚到斜面的底端」的结果也很容易由设计 「 简单的实验观察中得到证实.如图一所示,我们在桌边设立一个斜面,将实心圆 球,圆柱及圆环放在斜面上相同高度将其释放,记录它们离开斜面后,落在地面 上的位置,即可以测得图一中的距离 S.实验会发现圆环落下的位置离桌沿最 近,而圆球最远,因而验证了实心圆球滚到斜面底端时速率最大,圆柱次之,而 圆环最小.
圆形物体 l h v
θ
桌子
vf
H 覆 写 纸 S 地面 图一:将一个斜面置於桌边,圆形物体由斜面滚下并掉落在地面.
圆形物体由斜面滚下,很明显地与转动动能和移动动能的问题相关.在讨论 一个物体的转动时,我们通常会定义一个物理量就是转动惯量 I.对於任何一个 圆形物体而言,其相对於质心转动的转动惯量(I)是可以算出来的,而且是一 个定值.一般可以将圆形物体的转动惯量 I 写成 I = KmR 2 ,其中 K 是一个常数. 我们定义 K 为几何常数,对圆环而言 K=1,圆柱的 K 值为 0.5(或 球的 K 值等於 0.4(或
1 ) ,实心圆 2
2 ) .由於圆球,圆柱和圆环的几何形状不同,即使它们 5
的质量,半径都相同,但它们的转动惯动并不会相等,所以它们在斜面上的运动 过程中,转动动能与移动动能的比例也不会相同,因而造成所观察到的现象的发 生.上述的讨论我们可以知道转动惯量是造成圆形物体在斜面上运动速度不同的 主要原因,所以由斜面下滑实验是可以很容易定性地测出物体转动惯量特性上的 差异,但是定量的测量是否与就如我们所想像的一样呢 由於圆形物体的斜面滚动实验非常容易进行,也因此常在各区高级中学物理 学科能力竞赛中[参考资料二,三],甚至是全国的学科能力竞赛中[参考资料四], 都会发现类似的实验试题.在美国物理教师协会(AAPT) 的期刊;"The Physics Teacher"中也可以找到相关实验设计的论文[参考资料五,六和七].这些教学论 文和试题都是讨论圆形物体在斜面上的运动.在假设纯滚动的前提下,其讨论的 重心先由讨论能量守恒观念出发,最后是测量圆形物体的转动惯量,I , ( I = KmR 2 ) 或者是几何常数 K 值.这样的问题听起来好像很简单,因为实 验设计非常容易,而所需的器材也很容易取得,也许这就是为什麼类似的题目与 论文一再地出现的原因;但是问题真的就像教科书所描述的这样简单容易吗 在
Taylor 和 Noll 的论文中[参考资料七],他们为了固定刚球滚动的路径,将斜面改
成为倾斜轨道的实验方法测量实心刚球的几何常数 K 值.Taylor 和 Noll 所测得 实心圆球的几何常数 K,随著斜面的倾角增加而变小,甚至在倾角大於 60o 时, K 值竟然会小於 0!这与 K 值是一个常数的理论计算结果是相互违背的!这到底
实验发生了什麼问题! 而使得实验与理论有著如此大的差异呢 我们依照上 述的参考资料,重新进行实验测量,并将许多问题加以厘清.以下我们将实验的 结果和心得讨论呈现给各位,并与诸位一同分享. 首先让我们从理论上分析圆形物体在斜面上的运动情形.斜面运动的动能可 以分成质心平移和相对质心转动两个部份.圆形物体会在斜面上发生滚动的现 象,主要是因为斜面上有摩擦力,而存在在斜面上的摩擦力会使物体受到力矩作 用而发生转动,这部份的讨论在普物课本上常出现[参考资料一].在假设纯滚动 的条件下,透过能量守恒定律(参见公式一) ,圆形物体滚到斜面底端时的速率 仅与物体的几何常数 K 和斜面的高度 h 相关;推算的过程如下两式所示:
mgh =
1 2 1 2 1 2 1 mv f + Iω f = mv f + KmR 2ω 2 f 2 2 2 2
(公式一)
其中 vf,ωf 为滚到斜面底端的末速(见图一)与所对应的转动角速度,m,R 为 圆形物体的质量和半径.根据纯滚动的条件: Rω f = v f ,可以得到公式二

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