(91)台北市立中山女子高级中学科学展览会 作品说明书
科别:数学科
组别:数理组
作品名称:切西瓜—平面切割与空间切割的探讨
编号:M2
指导老师(亲自签署认证)
壹,研究动机
在国中的时候,我们有讨论线与线间相交的方法不同,造成所分割出的平面 数亦不相同,但是我们那时候并没有整理出一个结论或一般化的公式,所以藉由 这一次的科展,我们决定整理出线分割平面的一般化公式,并更深一层地讨论平 面对空间的分割方法.
贰,研究目的
讨论直线分割平面,平面分割空间的方法,并进一步推导出一般化公式,以 了解平面和空间之间的关系. 本题目主要想得到以下两个结论: (1)N 条线分割一平面的最多平面数 (2)N 个平面分割一空间的最多空间数.
参,研究器材
1.纸,笔,签字笔 2.纸黏土 3.橡皮擦 4.线 5.雕刻刀,美工刀 6.赛璐璐片(透明板) 7.相片胶 8.柳丁数颗
肆,研究过程
一,研究前的准备 其实一开始我们并不清楚要如何著手研究这一类的题目,所以我们参考了很 多书籍,其中最重要的一本就是九章出版社发行的:数学思考.我们花了许多时 间研读这一本书,利用此书教我们的思考方法,来进行这个题目的思考流程. 二,思考流程 我们一开始拿一个柳丁来尝试切切看,发现一刀最多可以切成两半,两刀最 多可以切成四半,三刀最多可以切成八半,可是切第四刀时,就无法确定最多可 以切成几块.由前三刀的经验,我们猜测第四刀最多可以切出十六块,可是怎麼 切都切不出来.所以我们觉得猜测可能有误,所以我们决定简化我们的问题,再
加以讨论. 我们用「类比」的方法,把以平面切割空间,化简成以直线切割平面,还有 以点切割线来加以讨论. (一)点切割直线与直线切割平面的讨论 首先我们先讨论以点切割线的部分: 分割次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : : : N 直线 L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : : : N+1
很显然的,用 N 个点来分割一条直线最多可以分成 N+1 段,於是我们进一 步讨论以直线分割平面的部分: 我们采用画图的方式来研究: 一条线最多可将一平面分为二块 第一条线
两条线最多可将一平面分为四块 第一条线
第二条线
三条线最多可将一平面分为七块 第一条线
第三条线 第二条线
四条线最多可将一平面分为十一块 第一条线
第四条线
第三条线 第二条线
我们觉得有点疑惑,这些数字乍看之下好像没有什麼规律.后来我们发现可 以这样排列: 1 差1 2 差2 4 差3 7 差4 11……
经过讨论后,我们用一个观念来诠释这种现象: 定理一:一条线可以将一个平面分成两个平面,也就是说比原本多一个平面. 定理二:利用点分割线的原理,N 个点最多可以分割出 N+1 条线段. 定理三:两条不平行的直线最多交出一交点. 於是我们得到以下结论来解释线分割平面的情况: (1)第二条线最多可交第一条线於一点,一点最多可将一直线分为两线段,又一 线段可以将一个平面分割出比原本多一个平面 於是分割出来的两线最多可使 , 原面多两个平面,所以得到:
最多的总平面数=原来被第一条线分割的 2 面+多出来的 2 面=4 面
(2)第三条线最多可交第一,二条线於两点,两点最多可将一直线分为三线段, 又一线段可以将一个平面分割出比原本多一个平面 於是分割出来的三线最多 , 可使原面多三个平面,所以得到:
最多的总平面数=原来被前两条线分割的 4 面+多出来的 3 面=7 面
(3)第四条线最多可交前三条线於三点,三点最多可将一直线分为四线段,又一 线段可以将一个平面分割出比原本多一个平面 於是分割出来的四线最多可使 , 原面多四个平面,所以得到:
最多的总平面数=原来被前三条线分割的 7 面+多出来的 4 面=11 面
: : : 於是得到以下的推论: 第 N 条线最多前 N-1 条线於 N-1 个点,N-1 点最多可将一直线分为 N 线段,又一 线段可以将一个平面分割出比原本多一个平面,於是分割出来的 N 线最多可使 原面多 N 个平面,所以得到:
N 条线分割出来的最多面数,比 N–1 条线分割的最多面数多 N 面
我们将分割出来的结果整理成下表: 分割次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : : k–1 直线 L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 : : k 平面 A 1 2 4 7 11 16 22 29 37 46 : :

下一页