第 25 卷 1 期 第
2006 年 3 月
成都大学学报 (自然科学版 )
Journal of Chengdu University (Natural Science )
文章编号 : 1004 2 5422 ( 2006 ) 01 2 0016 2 03 题来证明与矩阵的秩有关的一些命题 .
关于矩阵的秩的等价描述
高朝邦 , 祝宗山
1 2
(1. 成都大学 计算机科学与技术系 , 四川 成都 610106; 2. 西南科技大学 理学院 , 四川 绵阳 621010)
摘 : 从行列式 ,矩阵的等价 ,线性方程组 ,线性空间 ,线性映射等角度来刻画矩阵的秩 , 进而用这些命 要 关键词 : 矩阵的秩 ; 行 (列 )向量组的秩 ; 行 (列 )空间的维数 中图分类号 : O151 文献标识码 : A
1 矩阵的秩的等价描述
F
m × n
…, β , 从 V 到 W 的线性映 射 T 的矩阵 为 A, m 即 : T (α , α , …, αn ) = (β , β , …, β ) A, 则 T 的 1 2 1 2 m 像空间 Im T 的维数等于 r; 的行满秩阵 Q , 使得 A = PQ. 证明 易知 ( 1 ) Ζ
, 得 A =P
- 1
我们首先给出矩阵的秩的一种定义 , 设 A ∈
, 则 A 的非零子式的最高阶数 r称为矩阵 A
( 13 ) 存在 m ×r型的列满秩阵 P 和 r × 型 n ( 2) Ζ Q ( 3) Ζ ( 4).
的秩 , 记为 R ( A ) . 下面我们给出矩阵的秩的等 价描述的一组命题 . 命题 A ∈F 设
( 1 ) R (A ) = r ;
m × n
, 则下述各命题等价 :
( 2 ) A 中有一个 r阶子式不为零 , 所有 r + 1 ( 3 ) A 中有一个 r阶子式 D 不为零 , 所有包 Er 0
系列的初等变换可化为
阶子式全为零 ;
等变换等价于存在 m 阶初等阵 P1 , P2 , …, Pt 和 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , …, Q s , 使得 : Pt …P2 P1 AQ 1 Q2 …Q s =
Er 0
含 D 作为子式的 r + 1 阶子式全为零 ;
( 4 ) A 等价于标准型
0 0
;
令 P = Pt … P2 P1 , Q = Q 1 Q2 …Q s , 由初等阵 可逆知 P, Q 可逆 .
Er 0
( 5 ) 存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Er 0
Q, 使得 PAQ =
0 0
;
( 6 ) A 的行向量组的秩等于 r ; ( 7 ) A 的列向量组的秩等于 r ; ( 8 ) A 的行空间的维数等于 r ; ( 9 ) A 的列空间的维数等于 r ;
=
0 0

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