数值分析考试题
一、 填空题(每小题 3 分,共15 分)
1. 已知 x=62.1341 是由准确数 a 经四舍五入得到的 a 的近似值,试给出 x 的绝对
误差界_
2. 已知矩阵 ,则A的奇异值为
3. 设x和y的相对误差均为 0.001,则xy 的相对误差约为_
4.
5. 下面 Matlab 程序所描述的数学表达式为
a=[10,3,4,6];t=1/(x-1);n=length(a)
二、(10 分)设.(1)写出解 的 迭代格式;
(2)证明此迭代格式是线性收敛的.
三、 (15 分)已知矛盾方程组 Ax=b,其中 ,
(1)用Householder 方法求矩阵 A 的正交分解,即A=QR.
(2)用此正交分解求矛盾方程组 Ax=b 的最小二乘解.
四、(15 分) 给出数据点:
(1)用 构造三次 Newton 插值多项式 ,并计算 的近似值 .
(2)用事后误差估计方法估计 的误差.
五、(15 分)
(1)设 是定义于[-1,1]上关于权函数 的首项系数为 1 的正交
多项式组,若已知 ,试求出 .
(2)
利用正交多项式组 ,
求在上的二次最佳平方逼近多
项式.
六、(15 分) 设是的以 为插值节点的一次插值多项式,
试由 导出求积分 的一个插值型求积公式,并推导此求积公式
的截断误差.
七、(15 分) 已知求解线性方程组 Ax=b 的分量迭代格式
(1)试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵;
(2)证明当 A 是严格对角占优阵, 时此迭代格式收敛.
数值分析答案
一、 填空题(每小题 3 分,共15 分)1. . 2. 3. 0.002
4. 120 5.
二、
(10 分) 解:
(1)因 ,故 .
由 迭代公式:
得(2)上述迭代格式对应的迭代函数为 ,于是 ,
又 ,则有 且 ,故此迭代格式是线性收敛的.
五、(15 分)(1)设 则利用 和 的正交性得
故(2)首先做变量代换 ,将区间从 变换到[-1,
1],则对,取 ,有
所以
故在上的二次最佳平方逼近多项式 .
六、(15 分)