第四讲补充——半导体物理复习,概要 l 费米函数和费米能级 半导体能级的占有率 l 有效态密度 导带和价带态密度 1,一般情况 2,抛物线带 l 准费密能级 概念和定义 应用举例: 1,均匀样品上的均匀电场 2,正向偏置的 p-n 结 3,梯度成分 p 型异质结构 4,作为载流子漂移的有效作用力的带边沿梯度 参考资料:R. F. Pierret, Semiconductor Fundamentals 2nd. Ed., (Vol. 1 of the Modular Series on Solid State Devices, Addison-Wesley, 1988); TK7871.85.P485; ISBN 0-201-12295-2. S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices (见课程参考书目) Appendix C in Fonstad (已经分发了;见课程网站) 费密能级和准费密能级——关键点复习 费密能级:热平衡状态下,在充满电场E的找到一个能带的概率由费米函数f(E),给出:
其中E f 是费米能量,或能级.热平衡状态下E f 是常数,与位置无关. 费米函数有如下的有用性质:
这些关系告诉我们,在能量远大于费米能级之上kT的情况下,电子数目随着能量成指 数关系递减,类似的,在能量小于费米能级之下kT的情况下,空穴(空电子态)的数目也 随着能量成指数关系递减. 费米函数的另一有用的结果是它在T=0K的极限情况下的值:
有效态密度:我们定义导带的有效态密度,Nc,为:
价带的有效态密度,Nv,为:
其中 ρ(E)是半导体中的电子态密度. 如果导带是抛物线型,即态密度与离开导带的能量成平方关系,我们可以得到态密度和 有效质量之间的简单关系:
当(Ec-E f)>>kT 时,我们可以用有效态密度和费米能级与导带的间隔来表示热平衡电子 浓度:
类似的,当(Ef -Ec)>>kT时,我们有:
注意:在均质材料中,Nc和Nv与x无关. 准费密能级:当一个半导体不在热平衡状态下时,也很可能出现,导带能级中的电子数 目达到平衡,以及价带中的空穴数目与能级达到平衡的情况.也就是说,电子数目在导带态 中呈玻尔兹曼系数分布: 这里的E fn是电子的有效,或准费密能级.同样地,空穴也有一个准费密能级E fp,空穴 在价带态中的分布为: 电子和空穴的准费密能级, fn和E fp,并不一定相等.我们从n(x)和p(x)出发来计算它们, E 把它们用导带和价带的态密度,和准费密能级来表示: 例如,我们有: 由此定义E fn: 同样的,我们定义E fp: 准费密能级(续) 与准费密能级有关的一个很重要的发现是, 我们可以根据相应准费密能级的梯度写出电 子和空穴电流,至少在漂移迁移率是一个有效概念的低场近似情况下.我们有:
举例: A.均匀电场下的均匀掺杂n型半导体 从低到中等电场,数目分布并没有相对于平衡状态下的值改变,我们有:
正如所料,电流是相应的漂移电流. B,正向偏置n+-p结的p边,长基极极限 二极管扩散理论给出了p边的n(x):
当VAB >>kT,并且x不是远大于Le时,n(x)可以近似为:
从中我们可以得到:
我们可以看出,在p边的耗尽区的边缘,E fp (x)比平衡状态下的费米能级E fo高了qVAB , 并且在离开结的时候线性递减.远离结,x是Le数倍时,n(x)接近nop,E fp (x)接近E fo. 最后,注意对于低能级注入,p(x)≈ppo,Efp≈E fo. 准费米能级——例子A,B的图解 图C-8来自Fonstad, Microelectronic Devices and Circuits,并加上了准费米能级:
C,均匀低能级电子注入的梯度成分p型异质结构 假设梯度分布为:x=0处,Eg1,Χ1,x=L处,Eg2,Χ2.
热平衡状态下,费米能级E fo是平坦的,价带边缘也是平坦的:
但是导带边缘是倾斜的: 低能级电子注入,n(x)≈n`(npo >>) : 空穴数目没有显著变化,并且E fp(x)≈E fo 电子数目是n`,所以:
由此我们得到J e(x):
我们可以看出能带隙梯度相当于对电子(不是对空穴)施加一个等效电场. 准费米能级——例子C的图解
D,带边缘梯度的一般含意 一般来说,我们可以把电子准费米能级写为:
所以,电流可以写为:
[注意:导出这个公式的过程中,我们用到了爱因斯坦关系和电导率的定义: ] 从我们最后的结果总可以看出,导带边缘梯度是导致电子漂移的作用力,而载流子和态 密度聚集的梯度是扩散的作用力. D,继续 只要用价带量取代导带量,我们就可以得到相应的关于空穴的结果. 开始:

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