前言 我国自 1955 年举办高中学生的数学竞赛以来,至今已 38 年了.中间虽 然中断过一个时期,但自 1978 年恢复了这项活动以后,可谓更加蓬勃地发展 起来,不仅中国数学会继续举办高中学生的数学竞赛,而且各地的数学分会 和数学教学研究会还先后举办了初中学生的数学竞赛和小学生(高年级)的 数学竞赛.自 1985 年开始,还选派高中学生参加了历届的国际数学奥林匹克 的竞赛(即 IMO—International Mathemeti-cal Olympics),并取得了优 异的成绩.近年来,在国内还举行了中学生的物理,化学等学科的竞赛活动, 有的也参加了国际的竞赛活动,并且也取得了好成绩. 举办高中学生数学竞赛的目的,和举办初中,小学学生数学竞赛的目的, 是不会相同的:举办高中学生数学竞赛的目的,首先在于发现学习数学的素 质较高的学生,经过一定的培养,成为发展我国数学研究的后备力量.其次 则在于通过数学竞赛,促使更多的学生喜爱数学,学好数学,以适应社会发 展对基础教育阶段的数学教育的需要.当然,举办数学竞赛的目的,也在于 促进学校提高数学教学的质量.举办初中,小学生数学竞赛的目的,则首先 在于促使更多的学生喜爱数学,学好数学;与此相应的则在于促进初中,小 学数学教学质量的提高.当然,发现学习数学的素质高的学生,也应考虑予 以适当的培养,但这不是主要的目的.回顾十几年来全国各地举办的各级数 学竞赛,不仅参加竞赛的学生取得了好成绩,而且参加竞赛的学生也在逐年 增加.不仅越来越多的受到学生的重视和欢迎,而且也得到老师们和学生家 长的赞扬和支持.之所以取得这样好的成效,其原因主要就在于举办数学竞 赛的上述的目的是正确的;举办数学竞赛的工作是符合上述的目的的. 根据上述的目的,对高中学生数学竞赛内容(竞赛题)的选择,虽然基 础在于他们在课内之所学,但不论在深度上还是在难度上,都是超出较多的. 对初中,小学生数学竞赛内容的选择,虽然在深度,难度上要略高于课内之 所学,但应与课内所学结合得更密切些,而且对课内所学的掌握也适当地进 行竞赛. 这样,不论是准备参加哪一级数学竞赛的学生,在参加竞赛前,都将作 一定的准备.或自己搜集有关的资料进行准备;或求教于老师,请老师作准 备辅导.这样地准备,虽然确能取得一定的成效,但总以没有一本教材性的 书籍,即没有一本为学生准备参加数学竞赛用的,既讲授一些必要的数学知 识,又对参加竞赛的准备进行指导的书籍,感到遗憾. 北京师范大学出版社有鉴于此,为了帮助各竞赛学科的参加者作好竞赛 前的准备,于 1992 年秋决定出版《奥林匹克中小学系列教材》,邀请各学科 的水平高,并在辅导学生方面有丰富经验的教师,分头编写各学科的《奥林 匹克中小学系列教材》. 由《中小学数学教学报》编辑部和北京教育局教研部数学教研室于 1985 年开始,先后陆续地举办了每年一度的《迎春杯小学数学竞赛》和《迎春杯 初中一年级数学竞赛》.于 1991 年,在举办过 7 届竞赛经验的基础上,还编 订了《小学数学竞赛大纲(试行草案)》,并且连同历年来对学生进行参加 竞赛辅导使用过的材料一起编辑成册,出版了《小学迎春杯数学竞赛指导讲 座》.1992 年秋,更计划在这部《指导讲座》的基础上,予以充实和修改, 以便成为更好的一部供小学高年级学生用来准备参加数学竞赛适用的书籍.
时逢其会,北京师范大学出版社乃与《指导讲座》的编者商定,将这项充实, 修改计划纳入《奥林匹克中小学系列教材》的出版计划,这样,便由北京师 范大学出版社作为《奥林匹克中小学系列教材》的一部份出版了. 新版迎春杯数学竞赛《指导讲座》和《试题汇编》运用于小学和初一年 级.是以在北京市举办小学数学竞赛的经验为主而编写的,不敢说也适合兄 弟省,区,市的实际情况.因此希望广大的读者,老师们,同学们多提宝贵 的意见和建议. 《奥林匹克中小学系列教材——初中数学》虽然是在近年来各地举办竞 赛的经验基础上,特别是在举办《华罗庚金杯数学竞赛》经验的基础上编写 的,但经验不多,难免挂一漏万.因此也希望广大的读者,老师们,同学们 多提宝贵的意见和建议. 《奥林匹克中小学系列教材——高中数学》是在较长时期的举办高中学 生数学竞赛经验的基础上编写的.但编写成教材性的书籍还没有经验,这次 还是创举.因此也希望广大的读者,老师们,同学们多提宝贵的意见和建议. 我们的水平有限,经验不多,编写出的这三部教材中,错误,不妥处在 所难免,深切盼望广大读者指出错误,不妥之处,以便我们及时修正,使得 教材日臻完善. 《奥林匹克中小学系列教材》—— 《小学数学》,《初中数学》,《高中数学》 编者谨识 1993 年 5 月 16 日
第一讲 质数与合数(一) 质数与合数概念是数学运算,算式化简以及分析一些数字问题时常用到 的. 如果一个比 1 大的自然数只有两个约数:1 和本身,那么这个自然数就 叫质数.质数也叫素数.例如:43=1×4343 只有 1 和 43 两个约数,所以 43 是质数.100 以内的质数是极为常用的,它们是 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59, 61,67,71,73,79,83,89,97 在自然数中,如果除了 1 和本身两个约数,还有其它的约数,这个自然 数就叫合数.例如:6 的约数有 1,2,3,6,那么 6 是合数.合数也叫复合 数或合成数.应特别注意 1 既不是素数也不是合数. 例 1 求出 924 的质数约数的和. 解:我们要充分利用数字的整除特征,运用短除的形式,把 924 作质约 数分解.

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