模糊空间与弦论
文/黄文宏
摘要
在一般的物理学中,空间的座标 X, Y, Z 是三个参数,它们是具交易性质的 (commutative),也就 是 说 XY=YX . 如 果 XY-YX 是 非 零 的 常 数 , 那 麼 座 标 X,Y 就 是 不 可 交 易 性 质 的 空 间 (noncommutative space).而当 XY-YX 正比於 Z 时,那麼我们说 X, Y, Z 构成了模糊空间 (fuzzy space).本文介绍在超弦理论 (superstring theory)里模糊空间是如何产生.
一,前言 时空的结构是如何 它是连续 (continue) 的 吗 亦或是分离 (discrete) 的 如果是分离的,那 麼它的最小尺度 (scale) 是多少 而理论上又如何 产生这个尺度 爱因斯坦的重力理论告诉我们, 物质的内函与 分布决定时空的几何结构,但是时间 (t) 与空间 (x,y,z) 的本质与与特徵,则需由其它的方法引入. 在古典相对论里,时间与空间是连续的参数,而在 具协变 (covariant) 的量子重力理论中,时间与空 间则为分离的,而这个分离时空的尺度,当然与浦 郎克常数 (Planck constant) 有关. 物理的世界里,有构成物质的基本要素与这些 基本要素之间交互作用的基本力场.在标准模型 (standard model) 里,物质的基本要素是三组的夸 克(quark) 与三组的轻子 (lepton),所有的物质皆由 它们组成 (每一组有两个正粒子与两个反粒子) 譬 , 如 : 质子是由三个夸克组成 而电子则是轻子群之 ,
中的一份子.至於产生强作用 (strong interaction) 的力场是由八个胶子 (gluon) 产生,产生弱作用的 力场是由一个带正电的 W 粒子 一个带负电的 W , 粒子与不带电的 Z 粒子去产生,而不带电的光子 (photon) 则负责产生电磁作用. 虽然标准模型可以很成功的描述量子化的微 观物质世界,但是它并不包含重力.想要架构一套 完整的量子统一理论 (quantum unified theory),目 前 唯 一 的 可 能 理 论 就 是 超 弦 理 论 (superstring theory).弦论在七十年代被提出时,是希望用来描 述强作用,但是随著量子彩色动力学 (quantum chromodynamics) 的成功,以及发现弦的交互作用 中,会出现与重力场相似的行为,於是研究弦论的 物理学家们便猜测,可能可以用弦论来架构一套完 整的量子统一理论.
二,超弦理论的发展 异 常 (anomaly) 的 消 失 , brane 的 发 现 与
■ 800 ■ 物理双月刊(廿五卷六期)2003 年 12 月
(Matrix) 理论. 在弦论中,构成物质的基本要素就是弦,弦的 各种震荡模式 (oscillation mode) 对应於各种的基 本粒子,而弦的各种分裂与组合,则产生这些基本 要素之间的交互作用.弦有开放弦 (open string) 与 封闭弦 (close string) 两种,弦必须需具超对称性 (supersymetry) 而且只存在於十度的时空,否则它 会不稳定. 但是这样的系统,在量子化时,仍然会出现异 常(anomaly),而使得系统原本应该有的守恒性 (例 如机率)会被破坏.在八十年代中期,发现了当选 取适当的规范群 (gauge group) 时与弦的种类时, 这些异常会消失,这样一来,弦论便能够自我完备 (self-consistent).这是超弦理论的第一次革命. 但是这样自我完备的理论,共有五种不同的超 弦理论, 这使得我们不知该选取何者来描述物理世 界,所以如此的超弦理论是不完美的.在九十年代 中期时,研究弦论的物理学家们发现,开放弦的端 点可以接附著各种维度 (dimension) 的物体,这种 超面 (hypersurface) 的物体,一般就称为 brane. brane 就跟弦一般,它是独立的个体,具有自己的 动力学行为.不同种的超弦理论有不同的 brane, 而当考虑了弦与 brane 的存在时 原有的五种不同 , 超弦理论,在经适当的转换之下,就成为相同了, 而且这个相同的理论的来源,是存在於自十一度的 时空里,这个存在於十一度时空的理论,物理学家 们对它并不十分清楚,它是像魔术 (magic) 一般非 常的神秘 (mystery),而且在一些情况时可以用矩 阵 (matrix) 来描述,所以就称为 M(atrix) 理论. 这是超弦理论的第二次革命.
三,不可交易性的空间与模糊空间 在 1947 年,Snyder 首先提出空间的不可交易 (noncommutative) 性质.他尝试将量子化的观念引 入时空,希望由於时空的量子化,会修正微观时空 的性质,而让原来量子的场论,由於在连续时空中 产生的无穷多的模式 (oscillation mode) 而引起的 发散 (divergence) 问题得以解决.但是后来,由於 量子场论再归元理论 (renormalization theory) 的成 功,於是这样的观念便被忽略. 在量子力学中,由於 XP-PX 的值正比於浦郎 克常数,所以座标 X 的测不准量与动量 P 测不准 量的乘绩,必不小於浦郎克常数.同样的道理,如 果空间具有不可交易的性质 那麼 XY-YX 的值将 , 正比於某个常数,所以座标 X 的测不准量与座标 Y 测不准量的乘绩,将不小於此常数.如此一来, 空间的面积以及体积将有无法精确测准的最小的 基本量.由於有这个无法测准的最小量存在,时空 将不再是精准的连续点构成的.所以,原来时空中 的连续点,将变成无法测准的量,於是,精准的连 续时空座标将变成模糊的结构. 在八十年代中期, 有数学家成功地将各种不可 交 易 空 间 中 的 规 范 场 论 (gauge field theory) 写 出,后来,甚至也能够把重力理论与标准模型包含 在这些公式之中.我们知道,在标准模型里有 Higgs 场,这个场是非常的特殊,它能够让原来没 有质量的粒子变成有质量. 后来曾经有人考虑在高 度空间里,让多出来的维度 (dimension) 是不可交 易的空间,而且让 Higgs 场存在这个特殊的空间 之中.在这个特殊的空间中,是让 XY-YX 正比於 Z ,这也就是所谓的模糊空间 (fuzzy space).但 是,这样的理论,因为它的量子化性质有问题,以

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