????????????? 第七章 常微分方程模型的数值解法

科学和工程技术中常常要求解常微分方程。根据实际背景不同,所遇到的问题可分为两类：一类是常微分方程初值问题；一类是常微分方程边值问题。一般地,要找出这两类问题的解析解往往非常困难,甚至是不能的。本章将介绍它们的数值解法。所谓数值解法,就是在没有办法知道未知函数的解析表达式的情况下,我们近似计算未知函数在其定义域中的某些离散点上的函数值。当然,如果这些离散点在函数的定义域内的发布很密,且相应点的函数值的计算又非常准确,那么就意味着基本上找到了微分方程的解：微分方程的数值解。

7.1 常微分方程模型的举例

函数是事物的内部联系在数量方面的反映,如何寻找变量之间的函数关系,在实际应用中具有重要意义。在许多实际问题中，往往不能直接找出变量之间的函数关系,但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式。这就是所谓的微分方程，从而得出微分方程模型。

例7.1.1 物体冷却过程的数学模型

将物体放置于空气中，在时刻时，测量的它的温度为,10分钟后测量的温度为。我们要求此物体的温度和时间的关系,并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气温度保持为。为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成正比。这是已为实验证实了的牛顿（Newton）冷却定律。设物体在时刻的温度为，则温度的速度以来表示。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，因而。所以温度差恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却,故温度变化速度恒负。故有：

????? ?????????? ???? （7.1.1）

这里是比例常数。方程（7.1.1）就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数及它的一阶导数,这样的方程称为一阶微分方程。为了解出物体的温度和时间的关系,我们要从方程（7.1.1）中解出。注意到常数,且,可将(7.1.1)改写成：

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