校代码 10345 研究类型 应用研究
教育硕 业学位论文
题 目: 初中概率统计教学中随机观念的培养
Training Random Ideas in Teaching Probability and Statistics to Junior Student

学 科 专 业: 学科教学（数学）
年 级: 2005级 学 号: 2005220205
研 究 生: 高定照 指导教师: 张维忠 教授
中图分类号: G633.6 答辩时间: 2008年 5 月 30 日
浙江师范大学2005级教育硕士论文
初中概率统计教学中随机观念的培养
Training Random Ideas in Teaching Probability and Statistics to Junior Student
高定照
导师：张维忠教授

浙江师范大学数理与信息工程学院
2005年4月
摘 要
培养学生的随机观念是初中概率统计教学目标之一，通过教学，使学生认识到概率的思维方式和 性思维方式的差异，从而正确认识随机现象，自觉运用随机性数学思维 生活实际问题。课题通过调查学生在新课程学习中的随机观念的表现，分析学生形成概率错误概念的可能原因，籍此探索促进学生建立 '随机观念的有效教学策略。
对随机观念的调查包括：①通过学生对不可能事件、可能事件和必然事件的区分，判断学生对随机事件是否有个正确的概念。②通过学生对较大概率值和概率为50%时如何预测事件的发生，来了解学生对随机性的认识及频率与概率关系的理 ③古典概型与几何概型两种情况下，研究学生对一步实验及两步实验的随机事件发生的可能性的量化和比较。④学生运用随机观念 生活实际问题的能力。
调查发现：学生在可能性的量化和比较中，普遍存在“预言结果法”。“等可能性偏见”在两步实验的随机事件发生的可能性比较中出现最多，原因是不能列表或画树状图，构造等可能样本空间。“简单复合法”在古典概型和几何概型中都广泛存在，原因是学生不理解复合事件中的基本事件的概念。“代表性方法”出现较少，但学生对大数定律仍缺乏理 其次，随年级的上升，学生对概率的求 力在增强，但对事件发生的随机性与概率之间的关系没有更深的理解。重点中学和高年级的学生对概率值的理解与普通中学和低年级学生存在一样的错误概念。学生对不同的概率模型的随机观念有不同的表现。
教学研究部分是在调查了学生的随机观念之后，通过典型案例教学以及知识技能、活动体验、激活思维、文化渗透、实际应用等教学策略，进行一个学期的干预教学，并及时进行检测、答题分析和访谈。干预教学之后，大部分学生能完整地列表或画树状图求算概率，并能设计出公平游戏的方案；结合概率分布求算随机变量均值的能力比学习之前有大幅度提高，表明研究中的教学策略对培养学生的随机观念有一定成效。
论文最后对调查发现和教学研究进行了总结，提出了培养学生随机观念的教学建议及进一步研究的思考。
关键词：初中，概率统计，教学，随机观念，培养

ABSTRACT
Building students’ random ideas up is the curriculum goal of teaching probability and statistics in Junior School. Learning probability and statistics can make students understand the thinking differences between certain and uncertain and realize the stochastic phenomena correctly and use mathematical random thinking to solve life problems. This paper explores the effective teaching strategies on the base of surveys the student’s performance and wrong ideas in studying probability and statistics.
The main topic of this survey includes: 1) whether can students differentiate the impossible events, possible events and inevitable events. 2)whether can students understand the relation of frequency and probability. 3) whether can students compare the possibility in the classical and geometry probability occasions. 4) whether can students use random ideas to solve real life problems.
As the findings showed, students usually compared the possibility by outcome-approach ,they had the equi-probability bias in solving most two-step random problems, they used the simple compound approach to solve the problems with the classical and geometry probability background, and they seldom applied the representativeness method to solve the statistics questions. Though they could solve problems about probability and statistics, they did not understand deeply the relation of random and probability events and held some misconception about it at every grades in different school.
Intervenient instruction had been implemented at my classroom, and some strategies had been practiced through the teaching probability and statistics in order to improve students’ performance and develop their random ideas. The teaching practice and further study was also suggested.
Key Words: Junior School, probability and statistics, teaching, random ideas, training
目 录
初中概率统计教学中随机观念的培养
高定照 作者简介：高定照，男，1969年生，福建省福鼎市民族中学高级教师。指导教师:张维忠 教授
摘要：调查学生在概率统计学习中随机观念的现状，分析学生形成概率错误概念的主要原因，探索建立正确随机观念的教学策略。调查发现：学生普遍存在“预言结果法”、“等可能性偏见”和“简单复合法”，“代表性方法”出现较少。其次，随年级的上升，学生对概率的求 力在增强，但对事件发生的随机性与概率之间的关系没有更深的理解。通过典型案例教学并运用知识技能、活动体验、激活思维、文化渗透、实际应用等教学策略能促进正确随机观念的形成。
关键词：初中，概率统计，教学，随机观念，培养
1 引言
1.1 背景、选题
随着社会的发展，统计观念和随机思想将成为现 会一种普遍适用并且强有力的思维方式。近20年来，世界各国，特别是经济发达的欧美各国，为使学生能较早地建立起随机的观念和处理概率问题的能力，在他们的中学数学课程标准和教材中，对概率统计都有较完整的内容范围和教学要求。1998年10月全美数学教师协会(NCTM)颁布了《中学数学课程标准(讨论稿)》，对随机数学的教学内容要求如下:从幼儿园开始，将随机观念的启蒙先于随机技能的教学，为了让学生能尽早学习概率而提早了某些知识(如分数和百分数)的教学。我国也于2001年颁布了《全日制义务教育数学课程标准》，“统计与概率”开始作为一个独立的学习领域贯穿于数学课程的始终。按照现 理学的观点，培养随机性数学思维与加强应用实践是保证概率统计教学效果的“核”。那么，已通过新课程教学的学生目前的随机观念的表现如何？概率统计教学如何更加有效地培养学生的随机性数学思维，从而促成学生建立正确的随机观念呢?
1.2 研究的目的和意义
为了探究以上问题，进一步促进概率统计教学和服务学生的发展，本人选择了以上课题。通过调查和访谈，了解学生新课程学习中的随机观念的表现，探求学生存在概率错误概念的可能原因。同时，为了培养随机观念又必须关注概率概念和统计思想的教学，这样必须通过研究学生随机观念形成的过程，寻找相应的教学策略，进一步提出改进概率统计教学的建议。
1.2.1 培养随机观念是初中概率统计教学的目标之一
初中阶段的概率教学目标[3]：
(1)体会概率的意义，了解频率与概率的关系；
(2)经历“猜测结果—进行实验—分析实验结果”的过程，建立正确的概率直觉；
(3)学习利用列举法计算事件发生的概率；
(4)体会随机观念的特点；
(5)运用统计与概率的知识和方法解决一些简单的实际问题。
具备随机观念，从而能明智地应付变化和不 性，是这个学段学习统计与概率的重要目标之一。
1.2.2 培养随机观念的教学研究的意义
概率统计教学的核心问题是让学生了 机现象与概率的意义，同时概率知识是培养随机观念和统计思想的核心。概率知识也是一个公民必备的知识，是学生素质的重要组成部分。通过教学，使学生认识到概率的思维方式和 性思维方式的差异，从定量和理性的层次上更深入地认识偶然性与必然性的本质，建立起随机观念，从而正确运用随机性数学思维 生活实际问题。因此，当概率统计在中学数学中扮演越来越重要角色的时候，数学教育工作者应该研究如何通过有效教学，培养学生的随机观念。目前国内对初中概率统计教学中随机观念的培养作系统研究的也还很少，本课题通过研究摸索出了一些培养学生随机观念的有效教学策略，希望能给一线教师的教学提供一些帮助。
1.3 研究的问题
1.3.1 研究的主要内容
(1)初中生随机观念的现状
通过设计调查问卷并结合访谈了 生的随机观念的具体表现，主要包含：
①随机事件概念的理解
学生的随机观念首先体现在能否 '理解确定事件和不确定事件的基本概念，通过学生对不可能事件、可能事件和必然事件的区分可以判断学生对随机事件是否有个 '的概念。
②学生对概率值及频率与概率关系的理解
主要通过学生对较大概率值和概率为50%时如何预测事件的发生，来了解学生对随机性的认识。通过学生对频率概率的估计和对概率统计定义的运用来观察学生对频率与概率关系的理
③机会的量化和比较
其中包括一步实验的机会的量化和比较及两步实验的随机事件发生的概率计算和比较。前者涉及抽签背景和转转盘背景两种情况，后者涉及古典概型与几何概型两种情况。
用随机性数学思维 实际问题
主要考查无放回模式下的理论概率运算，同时结合随机变量体验游戏的公平性；运用频率估算复杂随机事件发生的概率，结合统计知识如随机抽样等 生活实际问题。
(2)培养学生随机观念的教学研究
在调查了学生的随机观念之后，进行干预教学，教学中主要采用典型案例教学以及知识技能、活动体验、激活思维、文化渗透、实际应用等有效教学策略，进行一个学期的教学实验，并及时进行检测，通过答题分析和访谈进一步提出教学研究的结论。
1.3.2 主要关注的问题
(1)学生如何理解随机现象与概率的意义？
在理 机现象与概率的过程中主要还存在哪些错误概念，这些错误概念是如何产生的。
(2)初中生如何计算概率的大小？
如何选择合适的形式进行概率 ，学生能否掌握列表或画树状图的方法计算概率。
(3)初中生如何运用随机观念解决实际问题？
是否能运用概率结合随机变量理 平性问题，运用频率概率和随机抽样解决实际问题。
(4)培养学生随机观念的有效教学策略有哪些？
1.4 随机观念的界定
1.4.1 随机性
在某些条件下一定出现或一定不出现的事件称为必然事件，或者说，这事件具有必然性。在某些条件下可能出现也可能不出现的事件，称为随机事件，或者说，这事件具有随机性。在自然界和人类社会中，严格确定性的现象十分有限，不确定现象却是大量存在的。不确定现象又称随机现象，即在相同的条件下，重复同样的试验，其试验结果却不 ，以至于在试验之前无法预料哪一个结果会出现。王梓坤认为事物的发展是多层 ，是随机事件与必然事件相互交替和相互作用的过程，偶然性和必然性是统一的[18]。但历史上一些人认为，世界是决定性的，偶然性只是出于人们的无知。直到19世纪，在物理学以及生命科学中，科学家发现测量星体位置和分子位置时的误差是随机的。其实诸如身高、体重等人类特性与平均数相较的偏差及其他大量的自然现象都遵循随机误差的 分布，所以随机性是客观的存在。
1.4.2 初中生应具备的随机观念
学生对随机观念的认识表现为两个层面，即对随机现象本体的认识和应用随机观念 自然、社会现象， 实际问题的一种行为主动性或者说一种主动的应用意识。对随机现象本体的认识，又可细分为这样几个层次：
(1)理解确定事件和不确定事件的基本概念。
(2)粗略地感知某一事件发生的可能性。
(3)用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性。
(4)理解某一事件发生的试验频率与理论概率的关系。
(5)理解模拟试验或随机抽样结果的随机性 这个层次主要考查学生运用概率统计 实际问题时对随机性的理解，本文中笔者提供了一个相关案例，还可参阅笔者另文：“生日相同的概率”教学设计[J].中学数学月刊,2008,(05):5-8。
2 相关研究综述
西方学者对“统计与概率”教学的研究主要是从20世纪70年代开始的，目前国内对初中概率统计教学中随机观念的培养作系统研究的也还很少，下面对与本研究相关的文献作一述评。
2.1 初中生对随机事件及其概率的理解
2.1.1 对事件发生可能性的认识
对事件发生可能性的认识首先要辨别一个事件是可能事件，不可能事件还是必然事件。李俊在研究中发现，有些学生似乎没有 '地理 可能性”这个词。“可能性”通常表示说话者对所言之事发生的频繁程度的预期，这时“可能性”也就是“机会”、“概率”的意思，但有些学生把“可能性”一词等同于“可能”。作者建议多使用“机会”一词，在引入“可能性”一词时，应提醒学生注意它在语义上与“可能”的不同用法[1]。
Fischbein,Nello,Marino的研究发现学生认为几个可能结果的并仍是可能事件，本研究中也设计了类似的测试题。Williams,Amir在研究学生对随机性的认识中发现了更多的错误表现：“机会其实就是运气”、“一个结果发生的机会是不确定的，每次试验都在改变”、“说哪个结果可能性大就等于是预言说这个结果要发生”、“如果某个结果在某一次试验中发生了， 该结果在该次试验中发生的可能性就大”、“概率只对大数次试验有意义，对一次试验根本就没有意义”等等。
学生知道了某一事件有时发生、有时不发生的情况下，自然希望知道到底这一事件发生的可能性大还是不发生的可能性大。在接受 概率课程之前，他们都已从日常生活的游戏中获得和概率概念有关的直观想法，然而他们经常凭直觉判断随机事件发生的可能性，对概率形成了错误概念：在概率的主观定义中最常见的错误概念是 性(representativeness)方法。代表性方法是Kahneman和Tversky在20世纪70年代和80年代研究发现的。具备这一想法的人认为与母体性质越相似的情境，其发生的可能性就越大，与母体性质有一样的相似性的两个情境，其发生的可能性也一样[27]。例如，人们总认为已有4个女孩的家庭，第5个出生的更有可能是男孩。
2.1.2 对概率值及频率与概率关系的理解
建立 '的随机观念必须对概率值有个科学的理解，对随机现象的理 必须在实验的过程中理 率的意义，体会概率与频率的关系，理解某一事件发生的实验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是 的、经常的。虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，实验概率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率。吴惠红在研究学生对概率值的理解中发现学生难以从定性和定量两方面综合解释概率值，有些学生只认同定性表示或 ，不认同定量表示或解释。但教学会使倾向于理论概率的学生增多，认为大数次的频率有稳定趋势的学生也在增多，倾向于主观概率的学生有所减少。研究中她还发现学生的预言结果法非常顽固。
所谓预言结果法(outcome approach)指的是Konold所描述的人们在理解经验概率时的一种错误概念：概率是对每次实验结果的一种预测，因而，在每次试验以后就判断说某一概率是预测对了还是错了，人们将概率估计建立在因果联系上而不是建立在分布信息上[28]。他还发现学生不相信大数次实验，认为事情总在变。有这种倾向的学生以为概率是用来决定一个随机事件是否发生的，而不是用来度量此事件发生的频繁程度的。若事件发生的概率显著高于50％时，受试者会认为事件一定发生，若事件发生的概率显著低于50％时，受试者会认为事件不会发生，若事件发生的概率为50％时，则不知道事件会不会发生。
2.1.3 机会的量化和比较
用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性，即要求学生能用各种方式进行计算，当然，这里的 又有理论 和实验估算这样两种方式。对于初中生而言，能够进行理论计算的概率模型只能是简单的古典概型及直观的几何概型，而古典概型中最为核心的概念是等可能性，而对等可能性的体验又要借助于实验，因此说，这两者存在着内在的统一，即多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率。
Piaget 和Inhelder认为从12岁开始，孩子们进入形式运算阶段，此时已经能够将演绎逻辑和随机概念系统地统一起来。对于有、无放回的试验，他们都能够做出准确的概率运算，并能由两个或三个元素的排列归纳出更多元素的排列。但从国内外的研究文献中可以发现，中小学生在机会的量化和比较中都普遍存在“等可能性偏见”。所谓“等可能性偏见”(equiprobability bias)指的是Lecoutre所描述的人们在理解理论概率时的一种错误概念：人们把试验中每一种结果的发生机会视为均等，以为所有可能的结果一概有同样的机会发生，哪个结果的发生全凭运气[30]。
这里可能由于学生无法区分事件和基本事件或不注意多步实验结果的复合事件的顺序性等。李俊也提出，等可能性偏见在不同年龄与不同数学背景的学生中都会出现且顽固不易改变，两步实验比较机会中，构造等可能的样本空间是重要途径，但学生很少能列出所有的样本点，考虑组成每一结果的各个基本结果的顺序性。另一个错误是“简单复合法”：将多步实验分割成多个独立的一步实验，将多步实验的可能性看成是它各组成部分可能性的简单复合。
2.2 随机性数学思维的应用
随机数学思维有别于 性数学思维，而且概率的正确获得需要人们具有发展性的、整体性、辩证性的思想，这往往与来自生活的表面现象有较大的差异。Bennett在随机性的研究中发现人们常常认为随机性概念是明显的，但实际上，儿童们总认为或然性并不公平。在许多场合，“轮流”似乎是 争议或作出抉择的公平方式，而按或然性选取似乎是十分不公平的 (随机不等于平均) 。按照随机挑选，什么结果都是可能的。已经发生过的情况不影响—个特定结果会在下次产生的或然性。心理学家丹尼尔·卡内曼和艾莫斯·特弗斯基也指出，赌徒相信或然性是—个自修 程——在此过程中，一个方向的偏差很快会被另一个方向的偏差所抵消。但事实上，偏差不是在短期内相互抵消，它们只是在长时间内缓解。
蔺云认为学习和运用随机性及统计推断原理，对于学生进行辩证唯物主义认识论教育有着重要作用。统计规律启示人们看问题“既要认识到一种事物从总的方面看有其一定的规律性，也承认存在例外的个案，两者看似矛盾，却是并行不悖，它反映了我们生活在其中的世界的多样性与复杂性。统计推断的思想方法同样有着深刻的哲理，如果抽样和推理完全建立在可靠的科学基础之上(即按随机性原则抽样，加上科学的推理方法)，则对总体的推断是可能的，而且结论是可靠的[19]。茆诗松认为培养随机性数学思维的应用能力首先要在教学中归并典型模型，突出随机性本质，其次要注意概率与统计的联系。概率统计是在解决各种实际问题的实践中发展起来的，具有丰富的实际背景，因此，在教学中突出实践性尤为重要[20]。
2.3 培养随机观念的教学研究
2.3.1 学生的概率认知
在研究学生对概率的认知发展方面，经典的研究是Piaget和Inhelder完成的《儿童机会观念的由来》一书(英文版1975年面世)，书中详细记录了他们如何通过系统的诊断性访谈，观察不同年龄儿童对概率的认知特征。他们的结论是儿童对概率的认知要经历3个主要阶段:前运算阶段(年龄在七、八岁之前)、具体运算阶段(从七、八岁到十二岁左右)和形式运算阶段（十二岁左右开始）。
20世纪80年代起，认知发展理论的研究越来越关注理论与教学实践之间的关系。Biggs和Collis提出了新Piaget学派的SOLO分类法(观察到的学习结果的结构，Structure of the Observed Learning Outcome)。他们指出，描述学习的发展和结构最恰当的方法不是对学生自身，而是对学生的反应即回答进行讨论[31]。 SOLO分类法与Piaget和Inhelder的三阶段论的区别主要在于它不与学生年龄挂钩，反映的是学生回答有关概率概念不同侧面的问题时可以有哪些不同水平层 回答。
李俊也对学生掌握概率概念的认知发展过程做过实证研究，基于生活经验，学生比较容易理 一事件具有不 性和不可预见性，但难以理 确性背后有规律可循，更难以想象为何重复试验就有利于发现规律，且重复大数次比重复小数次获得的规律更可靠。在他们看来重复的次数愈多，结果表现得愈没有规律，因此，错误地认为重复试验并没有益处。
2.3.2 教学策略
Hawkins和Kapadia等人对概率教学进行了研究，提出了如下建议：概率教学应通过真实数据、活动和直观模拟的使用，创造情景以鼓励学生检查、修 更正他们对概率的信念和常见的错误认识。教师应该从学生的实际出发去组织教学，以使学生感到概率有意义、有用，而不是由于抽象与现实无关。教学中组织学生合作收集数据的探究式学习方法以及 机模拟试验特别适合于概率学习。由于计算机可以很容易地模拟产生随机结果的大量实验数据，早在1995年，Garfield就建议将现代技术如 机、计算器、多媒体和互联网引进概率教学。
David More认为在概率最初学习时，最值得强调概率思想的概念和定性的理解，有必要经过大量的实验来减少学生对概率中的某些误 美国的课程标准就比较注意在学生很小时，就开始进行随机概念的引导和渗透，使学生从小对随机事件就有比较 '的直觉和观念，这些很值得借鉴。在克服概率学习中的错误概念方面，梁常东、唐剑岚提出了一些相应的教学策略：一是让学生亲历随机情境以加深对各种概率概念的理 运用各种教学策略使概率的思维具体形象化。二是激发认知冲突和暴露错误概念，以促进概念转变，创设“惑”境以引起认知冲突并形成有效信念[24]。
以上研究大部分关注学生在学习概率统计过程中常见的错误认识及相应的教学建议，但在探究学生的概率错误概念是如何产生的，概率统计教学与培养随机观念之间的联系，不同的学习基础及年级的差异如何影响学生的随机观念等方面都未见相关的研究，本课题继续在这些方面作深入调查，了 生随机观念的现状并结合教学实践研究，以期摸索出培养学生随机观念的有效教学策略，为一线教师的教学提供帮助。
3 概率统计学习中随机观念的现状调查
3.1 调查研究的设计和实施
3.1.1 问卷设计
一个人可能在不同情境下有不同类型的随机概念出现。因此本设计不以皮亚杰的概率概念发展经历3个主要阶段的理论进行，而是依据Biggs和Collis在认知发展理论下提出的SOLO分类法来检测学生从七年级到九年级的概率认知结构和随机观念发展过程。即采用同一份难易呈梯度变化的测试问卷同时对三个学段进行施测，并分重点中学和普通中学以观察教学因素和学生认知能力变量对随机观念的影响。
本测试卷围绕以下几个方面进行设计：
(1)随机事件概念的理 第1题）
(2)学生对概率值及频率与概率关系的理解（第2、3、4题）
(3)机会的量化和比较（第5、6、7、8题）
(4)应用随机性数学思维 实际问题（第9、10题）
3.1.2 对象选取
笔者任教的福建省福鼎市民族中学是一所地处城郊的普通中学，招收的学生中有30%是少数民族学生，基本上来自农村小学，另70%是城郊的划片生，基础普遍较差。为了比较不同的学习基础和教学条件对学生的随机观念的影响，本研究选取了本市的一所省级重点中学作为对比。分别在两所学校七、八、九年级各抽取一个班进行调查研究。问卷施测的对象及人数分布见表3-1。
表3-1 调查对象及其人数
两校各年级调查人数
福鼎民中
福鼎一中
班级人数
收回问卷
班级人数
收回问卷
七年级
40
37
62
62
八年级
52
52
60
58
九年级
33
31
50
50
总计
125
120
172
170
3.1.3 数据编码
为了便于统计，笔者对调查的学生进行编码，如mz070813g，含义说明如下:
(1)前两个小写的英文字母表示两所学校，mz表示福鼎民中，yz表示福鼎一中；
(2)接下来两位数字表示年级07, 08或09；
(3)再接下来的两位数字表示班级0l, 03, 06, 06, 08,08；
(4)接着的两位数字表示学号01—62；
(5)接着有一位字母表示学生的性别，b表示男生，g表示女生；
上面的一个编码就是表示福鼎民中七年级（八）班学号为13的男生。有几个学生未写性别，则以x作代号。
3.1.4 调查和访谈
问卷施测由本人亲自进行，考虑到平行对照研究的需要，尽量减小教学进度差异对学生答题水平造成的误差，六个班级的测试共安排了三天时间完成。在测试后的两天时间内根据学生答卷情况，从各班有针对性对部分学生逐个进行访谈，主要关注学生对试题的认知和由非试题因素造成的误 。
3.2 调查数据分析
以下分析主要回答学生在测试中表现出的对初中概率统计几个主要方面的随机观念,并结合访谈了 生学过概率以后,在机会的量化和比较中仍存在哪些概率的错误概念,在概率的 和应用于 实际问题中的随机观念的表现，通过不同年级和不同学 型之间的比较进一步提出调查研究的结论。
3.2.1 随机事件的基本概念
▲ 试题分析
学生的随机观念首先体现在能否 '理解确定事件和不确定事件的基本概念，通过学生对不可能事件、可能事件和必然事件的区分可以判断学生对随机事件是否有个 '的概念。测试卷的第一题采用抛掷一枚普通的 体骰子的随机情境，请学生判断下列结果是不可能发生，还是可能会发生，还是必然会发生，并在括号里填上你认为最合适的答案:
A. 不可能 B. 可能 C. 必然
(1)掷得的这个数是一个偶数; ( ) (2)掷得的这个数比7小; ( )
(3)掷得的这个数比6大; ( ) (4)掷得的这个数不是7; ( )
表3-2 不可能事件、可能事件和必然事件的区分
题号
选项
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
1（1）
A
1(2.7)
2(3.2)
1(1.9)
1(1.7)
0(0)
0(0)
B
35(94.6)
59(95.2)
51( 98.1)
54(93.1)
31(100)
50(100)
C
1(2.7)
1(1.6)
0(0)
3(5.2)
0(0)
0(0)
1（2）
A
1(2.7)
2(3.2)
5(9.6)
1(1.7)
1(3.2)
0(0)
B
4(10.8)
6(9.7)
2(3.8)
3(5.2)
0(0)
0(0)
C
32(86.5)
54(87.1)
45( 86.6)
54(93.1)
30(96.8)
50(100)
1（3）
A
36(97.3)
59(95.2)
50(96.2)
57(98.3)
27(87.1)
50(100)
B
1(2.4)
3(4.8)
1(1.9)
0(0 )
3(9.7)
0(0)
C
0(0)
0(0)
1(1.9)
1(1.7)
1(3.2)
0(0)
1（4）
A
0(0)
0(0)
1(1.9)
0(0)
1(3.2)
0(0)
B
2(5.4)
5(8.1)
5( 9.6)
2( 3.4)
6(19.3)
1(2)
C
35(94.6)
57(91.9)
46( 88.5)
56( 96.6)
24(77.5)
49(98)

注：括号内的数字表示这样的回答所占的百分比，加下划线表示 '答案，下同。
● 数据分析
统计结果（见表3-2）发现错误率最高的是第（2）、（4）题，学生的错误选项基本集中在B，而这两个事件都是必然事件，学生误以为是可能事件，即认为可能事件的并也是可能事件。通过访谈发现形成这个错误的原因是学生没有真正理解随机事件的概念，无法区分事件和基本事件。如一位七年级学生mz070813g,在回答笔者问她为什么认为“掷得的这个数不是7”是可能事件时说：
骰子有6个面，抛掷一次可能得到其中的某一个面，而且每个面上的数都比7小，所以抛掷一次得到比7小的面都是可能的事件。
在这里学生明显把“掷得的这个数不是7”这个必然事件中的6个基本事件（6个可能结果）的随机性理 原事件的发生也是随机的。
◆ 小结
由上表我们发现重点中学的学生对不可能事件、可能事件、必然事件的认知能力随年级的增长呈递增趋势，而普通中学在第（1）、（2）题表现递增，第（3）、（4）题表现呈递减趋势。这与已有文献中的研究结论并不尽一致。看来普通中学的学生对随机事件的概念的理 不随年龄和教学的增长而加强，更多地受到 性数学思维的影响。
3.2.2 学生对概率值的理解
▲ 试题分析
初中阶段引入理论概率和经验概率以后，学生对随机事件发生的可能性有了定量的描述方式，但由于学生对事件发生的随机性缺乏辨证的认识，经常对概率值的理解因为概率的大小的不同而产生各种典型的错误认识。问卷的第2题考察学生对较大的概率值的理解，说的是一位数学家将一些黑球和一些白球装入一个布袋中并搅匀，他并不确切地知道袋里有多少只黑球和白球，搅匀后他看了看，预言说:“蒙上眼睛从袋中取出一只球，正好是一只白球的机会是80%。”他取出一球，结果是白球，你认为他的预言准不准?请说明理由。
第3题从天气预报的角度来考查学生对“明天下雨的机会是50%”的理解，要求学生从以下四个选项中，找出与这句话意思最接近的说法：
A.明天可能会下雨，也可能不会下雨，他自己也不知道结果
B.假如一年中有10天预报“明天下雨的机会是50%”，在这10天中，有5天左右第二天会下雨
C.假如一年中有100天预报“明天下雨的机会是50%”，在这100天中，恰好有50天第二天会下雨
D.假如一年中有100天预报“明天下雨的机会是50%”，在这100天中，有50天左右第二天会下雨
表3-3 学生对较大概率值的理解
答题结果
说理方式
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
预言准
17(45.9)
6(9.7 )
15( 28.9)
16(27.6)
4(12.9)
2(4)
预言不准
理论概率
4(10.8)
7(11.3)
2(3.8)
4(6.9)
5(16.1)
14(28)
经验概率
4(10.8)
3(4.8)
2(3.8)
4(6.9)
11(35.5)
16(32)
兼用两者
2(5.4)
0(0)
0(0)
1(1.7)
2(6.5)
1(2)
无法确定
2(5.4)
6(9.7)
2(3.8)
1(1.7)
1(3.2)
1(2)
其他
8(21.7)
40(64.5)
31(59.7)
32(55.2)
8(25.8)
16(32)

表3-4 学生对概率为50%的理解
选项
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
A
32(86.5)
46(74.2)
38(73.1)
44(75.9)
25( 80.6)
45( 90)
B
1(2.7)
1(1.6)
2(3.8)
6(10.4)
1(3.2)
2(4)
C
0(0)
7(11.3)
3(5.8)
2(3.4)
1(3.2)
0(0)
D
4(10.8)
5(8.1)
8(15.4)
4(6.9)
2(6.5)
0(0)
其他
0(0)
3(4.8)
1(1.9)
2(3.4)
2(6.5)
3(6)
● 数据分析
总体来看（见表3-3），随着年级的增长，学生对较大的概率值的理解能力逐步提高，九年级学生已学过概率的古典定义和统计定义，但仍有4%的学生没能理 率值，他们虽然并不都认为概率较大的事件在一次实验中一定要发生，但对于一次实验中就发生的事件则认为该事件发生的概率也就大，所以回答预言准 这就是文献中报道的学生对概率的一种错误概念——预言结果法。如学生mz070834x选择预言准 理由是：
科学家预言过取出一个白球的机会很大，结果取出来的是白球，所以说预言准。
另一位学生mz070817b选择预言准 理由是：他一次就取出白球，说明他取出白球的效率高，放入的白球比黑球多，所以预言准。
由于学生受到题目中问题提问方式的影响，以为要么预言准 要么预言不准确，造成本想回答“不确定”的也选了“不准 。三个年级正确回答率都很低，反映出学生对文字语言的辨析能力弱。
当概率值较大时，学生过于绝对地看待随机事件发生的统计规律性，以为很有可能就是必然，而对概率值为50%的随机事件在一次实验中是否发生的理 经常过于强调随机性（见表3-4），学生更多从生活经验的角度来解释概率值，即认为发生和不发生的机会一样，此时无法对事件做出预测，忽视了从频率的角度来思考概率为50%的意义。如学生yz090315b在接受访谈时说：
明天下雨的机会是50%就是说有一半的机会会下雨，谁也无法肯定明天会不会下雨。
笔者： 果预报员说明天下雨的机会是80%，你觉得可以肯定明天会下雨吗？
学生：这也不一定，因为还有20%的机会不下雨的。
笔者：这两种情况下都不能肯定明天会下雨，那么两个概率的区别在哪里呢？
学生：预测明天下雨的可能性不同。
笔者：能具体比较一下吗？
这时学生发现必须假设在某一个具体的预报天数内，比较两者分别有多少天左右第二天会下雨。
学生：现在我觉得应选D。
调查结果显示教学和学生年级的增长都不能改变这种现状，重点中学和高年级的学生反而比普通中学和低年级的学生更容易产生这种错误概念。也许，随着数学形式化的增强，学生对概念的辩证思维能力反而下降了，大多数班级选择 '答案D的比率都在10%以下，九年级重点班甚至没有一个学生选D，说明理 率概率是初中生对随机性的辩证思维的重点。加强概率的统计定义的教学是培养学生随机观念的关键。
◆ 小结
从数学角度看，回答“预言不准”的同学绝大部分能够从概率的理论定义和统计定义来理解概率值，七年级更多从理论概率上理 八年级从两种定义上来理解的人数一样，九年级更多的从统计定义来理解，其原因可能是受传统教学的影响，教师更多的从古典概率引入概率概念的教学，只有从八年级开始学习频率与概率的关系后，学生对概率的统计定义和实际意义有一些理 但仍有少数同学以为随机事件要么发生，要么不发生，概率都是50%，他们把可能性等同于可能，认为都有可能就是可能性一样，不理 能性是对随机事件发生的频率程度的量化，是有大小之别的。
如学生yz080851g回答的理由是：不准，因为取出什么球的概率都是50%，所以不准。
3.2.3 频率与概率的关系
▲ 试题分析
培养学生 '的随机观念的核心是理 率与概率之间的关系，问卷中采用学生较为熟悉的掷币实验考查学生对频率与概率关系的理 下面是几位知名人士的试验纪录（表3-5）:
表3-5 投掷一枚硬币n次正面朝上的次数及其频率
试验者
投掷次数n
出现次数k
出现的频率k/n
布丰
4040
2048
0.5069
德.摩根
4092
2048
0.5005
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
(1)结合上表的数据，你估计钱币出现正面的概率是多少？为什么?
(2)为了进一步考察学生对独立重复实验中的事件发生的随机性的理解，问卷中采用一个公平的硬币被抛掷五次时，问下列哪一选项发生的可能性最大?(H ，T 反面)
A. HHHTT; B. HTHTH; C. HTTTT; D. THHTH; E.上述四个顺序的可能性一样大
表3-6 学生对频率与概率关系的理解
题号
答题
结果
说理方式
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
第（1）题
0.5
用频率估计
13(35.1)
8(12.9)
9(17.3)
5(8.6)
3(9.6)
21(42)
其他
5(13.5)
30(48.4)
18(34.6)
28(48.3)
14(45.2)
24(48)
其他
19(51.4)
24(38.7)
25(48.1)
25(43.1)
14(45.2)
5(10)
第（2）题
E
理由 '
12(32.4)
15(24.2)
24(46.2)
26(44.8)
12(38.7)
42(84)
其他
3(8.1)
25(40.3)
6(11.5)
18(31.0)
11(35.5)
5(10)
其他选项
22(59.5)
22(35.5)
22(42.3)
14(24.2)
8(25.8)
3(6)
● 数据分析
第（1）题中每个班级回答概率为0.5的学生比率几乎都在50%以上（见表3-6）。这是学生十分熟悉的知识，课堂上所有学生都已经做过这个实验，虽然实验次数可能没有表格中这么多，但大数次下用频率来估计概率的思想在教学中都应介绍过。然而能用这种思想来说理的学生只有九年级重点班达到42%，七年级普通班达到35.1%，其余班级都在10%左右。
造成这种局面的原因是学生仍旧习惯从概率的古典定义的角度回答问题，熟悉的随机事件的频率数据对他们来说似乎没有什么意义，这种知流而不知源的概率概念是不完善的。如学生yz080812g说：
出现 的概率是50%，因为投掷硬币出现的结果有两种，每种概率相同，正面是其中一种，占一半，也就是50%
她完全从古典概率的角度来理解出现 的概率。还有一些学生虽然用上表格中的数据来估计概率，但都是出于对频率概率的误解而用自己的方法来 ，如学生yz080819b的说理如下：
我认为概率是0.5005，因为皮尔逊投掷钱币是次数最多，所以比较公
笔者：所说的公正是否意味着实验次数越多，频率一定越靠近理论概率？
学生：是的。
笔者：德.摩根只投掷2048 结果也是出现 的频率为0.5005,这又当如何解释?
学生：这是意外情况。
还有一部分同学利用表格中的各个频率的平均值来估算,有的学生把所有人士的实验数据汇总起来求概率,反映出具备一定的随机观念和统计意识,但并非对概率概念的完整和综合的理
在第（2）题中，随着年级的上升普通班和重点班选择 '选项E的比率都在增加（见表3-6），九年级高达94%，最少的班级也在40%以上，说明学生中并不存在大面积的对概率概念的“代表性方法”的错误，但能够 '说明理由的比率总体上还不太高，只有九年级高达84%，可以说初中生对于简单的、熟悉的独立重复实验中事件发生的随机性基本上能够理解，但仍有部分学生认为H和T是等可能的，所以选项B最具有 性，因此发生的可能性最大。如学生mz080601g说明的理由是：
我选B，因为硬币有 两面，正反两面出现的概率是相等的，所以抛掷五次出现正面、反面、正面、反面、正面的可能性最大。
◆ 小结
看来学生对随机性的认识要么是抱着不可知论，要么就绝对化地理解，无法客观、辩证地看待随机性。我们只能说随着实验次数的增加，频率偏离概率较大的可能性越小。为了获得概率，我们要观察频率的波动情况并在大数次下用频率来估计概率。当然，基本事件发生具有等可能性的情况下，结合古典概型辅助频率概率的教学也可进一步促进学生对频率与概率的辨证关系的理 其次，这些学生以为等可能的事件在短期中也应交替出现，说明学生对大数定律缺乏理解。加强概率的频率定义的教学，培养学生的发展意识，加深学生对大数定律的理解是培养学生随机观念的关键所在。
3.2.4 一步实验的随机事件发生的可能性大小的量化和比较
▲ 试题分析
为了考查学生对一步实验的随机事件发生的可能性大小的量化和比较，问卷分别通过设置抽签和转转盘的概率背景来进行，以便考察三个年级的学生分别会习惯哪种方式来比较机会大小，以及在量化和比较机会时存在什么错误算法和对概率的错误概念。抽签题如下：
学校里有18个女同学，22个男同学，每个同学的名字各写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，老师闭上眼睛随便从盒中取出4张纸条，睁眼一看，抽到的是4个男同学。他把4张纸条放在桌上，闭上眼睛又在余下的纸条中再抽第5张纸条， 下面哪个说法是正确的?
A.这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大
B.这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小
C.这次抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大
D.无法比较这两种可能性的大小
并说明理由。
表3-7 比较抽签背景下一步实验的随机事件发生的可能性
答题结果
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
A
2(5.4)
9(14.5 )
3(5.8)
2(3.4)
2(6.5)
0(0)
B
4(10.8)
6(9.7)
3(5.8)
2(3.4)
0(0)
1(2)
C
没说理由
6(16.2)
26(41.9)
7(13.4)
8(13.9)
7(22.6)
5(10)
理由 '
24(64.9)
20(32.3)
37(71.2)
42(72.5)
21(67.7)
41(82)
D
0(0)
1(1.6)
2(3.8)
2(3.4)
0(0)
2(4)
其他
1(2.7)
0(0)
0(0)
2(3.4)
1(3.2)
1(2)
● 数据分析
从表3-7来看，各班在本题中对有可能因概率的“代表性方法”引起的对B的错选率基本上在5%以下，可能与文字语言的叙述方式比较隐蔽有关，不象图形或数学符号那么容易引起这种错误直觉，另外错选B的学生在说理时也很少出现文献中提到的对概率的“代表性方法”的错误，这可能是由于一次性抽得4个男同学有别于连续四次抽得男同学，不足于引起学生产生顺势或逆势出现下一个结果的错误直觉。但这并不代表学生不存在这种错误，如学生mz080644g说理如下：
我选B，因为上次已抽到了4个男生，现在该轮到女生了，所以第5张抽到女生可能性较大。
同时，从上表也可以看到学生的答题 '率几乎都在60%以上，且不同年级或不同类别学校学生的表现差异不大，说明初中生对一步实验的古典概率的计算能力较强。但在访谈中也发现极少部分学生对一步实验的随机事件发生的概率仍无法 ' ，其原因是他们对概率概念的理 错误的，以为一次实验中有n个可能结果， 随机事件发生的概率都是1/n,如学生yz090341g认为：
抽第五张时就是从总共的36张中任意抽一张，所以P（抽到男同学）=P（抽到女同学）=1/36。
这也是文献中报道过的一种“等可能性偏见”。
较为意外的是七年级重点班的学生有14.5%选择了A，其中有一半的学生说明的理由是男生的人数比女生多，所以抽到男生的可能性比抽到女生的可能性大，究其原因可能是学生还不知道无放回模式的每次实验不是独立重复的，所以事件发生的可能性大小应由具体的样本空间及样本点一起来确定。
◆ 小结
学生能较好地利用比率的思想比较抽签背景下的一步实验的随机事件发生的可能性，选择 '答案C的学生比率随年级增长呈上升变化，但差异不大，低年级学生也完成较好，说明注重形式化数学知识教学仍是各个层次学校教学追逐的共同目标。
▲ 试题分析
下面继续考察学生在一步实验中，比较事件发生的可能性大小，但题目背景改为转转盘的方式，属于几何概型：用力旋转甲、乙两个转盘，当转盘停止转动时, 下面哪个说法是正确的?

转盘甲 转盘乙
A.转盘甲的指针落在红色区域上的可能性比转盘乙落在红色区域上的可能性大
B.转盘甲的指针落在红色区域上的可能性比转盘乙落在红色区域上的可能性小
C.两个转盘的指针落在红色区域上的可能性一样大
D.无法比较上述两个可能性的大小
并说明理由。
表3-8 学生在转转盘背景下比较一步实验的随机事件发生的可能性
答题结果
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
A
1(2.7)
0(0)
0(0)
0(0)
0(0)
0(0)
B
没说理由
5(13.5)
34(54.9)
11(21.2)
9(15.5)
6(19.4)
3(6)
理由 '
28(75.7)
16(25.8)
39(75)
43(74.1)
21(67.7)
44(88)
C
1(2.7)
2(3.2)
1(1.9)
0(0)
1(3.2)
0(0)
D
1(2.7)
9(14.5)
0(0)
2(3.4)
1(3.2)
2(4)
其他
1(2.7)
1(1.6)
1(1.9)
4(7)
2(6.5)
1(2)
● 数据分析
作出 '选择的班级除九年级普通班比第5题略有下降外，其余各班均高出多个百分点（见表3-8），同时能正确说理的比率除八年级重点班比第5题低6.5个百分点，其余各班也均高出多个百分点，前者以八年级普通班为最高，后者以九年级重点班为最高，而两者都以七年级重点班为最低。其次，本题和上题一样较为意外的还是七年级重点班的学生，有14.5%的学生选择了错误答案D，有5人认为题目中没有提供具体数据，无法比较两盘的指针停在红色上的可能性大小，有1人认为无法 两个盘的面积是否一样大，因此无法比较两个转盘的指针停在红色上的可能性大小。这样的错误在其他班级也有出现，如mz090615g认为：
不知道这两个转盘是否为等圆，无法进一步比较。
学生yz090329b认为：因为没有具体说明两盘的面积，所以没办法比较。
这两种情况都说明这些学生图形思维能力低下,也不具备几何概型中的比率思想。
◆ 小结
和上一题相比学生能更好地利用比率的思想比较指针停在两盘红色区域的可能性，由此我们发现学生对于形象、直观的几何概型的一步实验的事件发生的可能性大小的比较完成得更好。其次，比较简单随机事件发生可能性的大小，高年级学生和重点中学学生并不一定占优势，对于初中生来说，这个能力更多的是基于学生的数学直觉和具体班级的教学。
3.2.5 两步实验的随机事件发生的概率 和比较
▲ 试题分析
在两步实验的随机事件发生的概率计算方面主要考察初中生能否通过列表、画树状图等方法 '求得概率，这里采用选择题并要求说理的方式，可同时考察学生的计算能力和可能存在的错误概念。两步实验的古典概型用投掷骰子的背景，问投掷两粒公正骰子，小明得到一个5点一个6点；小强得到两个都是6点。你认为下面哪个说法是正确的?
A.小明发生之概率较大
B.小强发生之概率较大
C.两人发生之概率相等
D.无法比较两者概率大小
并说明理由。
本题和课堂上学过的投掷两枚硬币的原理相同，但同时抛掷两枚骰子的实验可能大部分学生都还没亲自做过，不过笔者翻阅了各种版本的教科书，发现都有类似的课后作业。这样本题既考察了学生的数学迁移和类比学习的能力，又能检测学生课堂上所学的数学知识和技能的运用能力。
表3-9 古典概型的两步实验的随机事件发生的概率的 和比较
答题结果
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
A
理由 '
1(2.7)
1(1.6)
1(1.9)
2(3.4)
5(16.1)
6(12)
其他
1(2.7)
5(8.1)
8(15.4)
3(5.2)
4(12.9)
1(2)
B
17(45.9)
9(14.5)
6(11.6)
5(8.6)
0(0)
2(4)
C
6(16.2)
33(53.2)
27(51.9)
39(67.3)
20(64.6)
38(76)
D
11(29.8)
14(22.6)
8(15.4)
5(8.6)
1(3.2)
2(4)
其他
1(2.7)
0(0)
2(3.8)
4(6.9)
1(3.2)
1(2)
● 数据分析
九年级在课堂上做过类似的实验，调查结果显示选择 '答案并能 '说理的以九年级为最高（见表3-9），但九年级普通班的正确比率也只有16.1%，而且提高班反而还更低一些，只有12%，说明即使通过 教学，学生还不能掌握两步实验的随件事件发生的概率的计算,也不能很好地采取适当的方式说理。两步实验的随机事件发生的概率简单的可以通过文字语言来描述，更深一些则必须通过列式、列表、画树状图进行，鉴于本题的样本点较多，选择列表更简捷一些（表3-10）。
表3-10 投掷两粒骰子所有可能出现的结果
骰子的点数
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
问卷发现九年级普通班和重点班分别只有2人和3人用列表的方式说理，虽然不能断定用文字描述和列式说理的同学不具有列表说理的能力，甚至这些学生可能不仅能列表说理，而且抽象思维更强一些，但毕竟只有极少数学生具备这种能力。如果学生没能真 典概型和几何概型的基本事件的等可能性要求，又不具备列表和画树状图的能力，一旦遇到较为复杂的问题,必然无法 '求得概率，影响了学生进一步深入理 机性。如学生mz090609g这样 ：
两粒公正的骰子掷出的所有可能性（可能结果）共有36种，而且每一种结果的可能性一样大，所以选C。
笔者：你是如何理解‘小明得到一个5点、一个6点’的？
学生：不管是（5，6）还是（6，5），概率和两个6点一样的，都是1/36。
笔者：你觉得小明掷得一个5点和一个6点包含几种结果呢？只是以上的第一种情况吗？
学生思考了一会说：哦，我错了，我当时理解成就是（5，6）。
总体来看，选择错误选项B和D的比率随年级的上升而减小，选B的学生完全不具备两步实验的随机事件的概率的计算能力，有的学生用自己的错误方法加以 ，如学生mz070811g说：
因为小明投掷两粒骰子得到一个5点一个6点，小强得到两个都是6点，6+6＞5+6，所以小强发生之概率较大。
而选D的学生mz070809g说:
这是不 事件，完全靠运气，无法比较他们发生的概率大小。
另一位八年级的学生mz080615b说：
小明和小强发生的机率都很小，也就无法比较他们的概率。
这两个学生表现出了机会不能量化或概率很小的事件随机性更大的错误随机观念。
然而，学生选择错误选项C的比率反而随年级的上升而增大，总体上有一半以上、九年级甚至达到三分之二以上的学生认为投掷两粒公 子得到一个5点一个6点和得到两个都是6点发生之概率相等。这就是文献中提到的“等可能性偏见”，这些学生以为两步试验就是两个一步实验的简单复合，学生凭随机事件的结果一个骰子为5、另一个骰子为6与两个骰子都为6的表面现象进行比较，认为有一步实验的结果已经完全一样都是6，两者的区别在于其中另一步实验的结果不同，分别为5和6 ，但出现5和6是等可能的，所以两步实验的结果也是等可能的，这种将两步试验分割成2个独立的一步试验，并将两步试验的可能性仅看作是两个一步试验可能性的简单复合，就是李俊在它的研究中提到的“简单复合法”。
◆ 小结
学生误用“简单复合法”究其原因是忽略了两步实验的结果的顺序性，即一个5一个6的结果包括（5，6）和（6，5）。本题反映出学生在的概率方面的直觉思维能力并不与年级同步增长，只有通过恰当的、有效的教学手段逐步提高学生的概率思维能力，才能进一步形成概率求 力和科学的随机观念。
由于初中阶段还没有完整学习计数原理，在概率教学中，应注意避免学习概率的算法化，应着力概率思想方法的教学，针对学生的实际寻找形 、直观的数学形式展现样本空间和样本点，让学生体会两步实验中基本事件的顺序性，从而理 件和基本事件的区别，积累丰富的正确求取样本点的方法。
▲ 试题分析
下面我们考察学生在几何概型的两步实验中，比较事件发生的可能性大小，它是由课堂上学过的“配紫色游戏”改成的，原题是求转动两盘能配成紫色的概率，现改装成比较指针落在两转盘颜色的三种组合上的可能性大小，叙述如下：用力旋转两个转盘，当转盘停止转动时，下面哪个说法是 '的?
A.两个指针都落在红色区域上的可能性最大
B.两个指针都落在蓝色区域上的可能性最大
C.一个指针落在红色区域上，另一个指针落在蓝色区域上的可能性最大
D.无法判断上述三个可能性中哪一个最大
并说明理由。
本题重点考察学生能否理解几何概型中样本点(无限个)的等可能要求以及构造等可能样本空间的能力，学生可以通过列表、画树状图等直观的形式来求得各种颜色组合的概率，当然也可以通过文字描述或列式计算作出正确选择和说理，但文字说明较烦，而列式计算两步实验的概率必涉及计数的加法和乘法原理，对初中生来说都具有难度。
表3-11 几何概型的两步实验的随机事件发生的概率的 和比较
答题结果
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
A
18(48.6)
33(53.2)
27(51.9)
26(44.8)
12(38.7)
31(62)
B
1(2.7)
2(3.2)
0(0)
1(1.7)
0(0)
0(0)
C
理由 '
0(0)
0(0)
0(0)
0(0)
2(6.5)
8(16)
其他
6(16.2)
6(9.7)
8(15.4)
9(15.5)
9(29.0)
3(6)
D
8(21.7)
19(30.7)
17(32.7)
20(34.5)
7(22.6)
7(14)
其他
4(10.8)
2(3.2)
0(0)
2(3.5)
1(3.2)
1(2)
● 数据分析
调查发现（见表3-11），只有九年级普通班和重点班分别有6.5%和16%的学生能 '说明选择 '答案C的理由,其中前者只有1人画树状图说明（见图3-1）,后者有2人通过列表说明（见表3-12），1人通过列式 ，其余学生直接给出各种颜色组合的概率加以比较。
表3-12 两盘指针所有可能结果
红色
蓝色
红色1
（红1，红）
（红1，蓝）
红色2
（红2，红）
（红2，蓝）
蓝色
（蓝，红）
（蓝，蓝）
图3-1 两盘指针所有可能结果的树状图
一位重点中学的九年级学生yz090319b列式 如下：
P(两个指针都在红色上)=
P(两个指针都在蓝色上)=
P(一个指针在红色上一个指针在蓝色上)=
本题发现的最突出的现象是学生作出了错误的直觉，选择了A，而且九年级重点班虽然 '率最高，但对A的错选率也最高，达到62%，其余各班学生的错选率也达50%左右，说明简单复合法在几何概型中也广泛存在，学生认为一个盘的红色区域比蓝色区域面积大，另一个盘的红色区域和蓝色区域面积一样大，但两个盘红色面积的总和还是最大，所以选A。还有的学生把复合事件分 两个简单的事件，并把它们发生的概率再进行简单的复合。如学生yz090316b说：
第一个转盘红色面积较多，转到红色概率较大，第二个转盘面积相等，概率相等，综合起来同时转到红色的概率较大。
另一位学生mz080626g说：因为第一个转盘中红色占圆的2/3也就是机率有2/3，第二个圆中红色有1/2，也就是机率有1/2，则两个的平均机率为7/12，蓝色则为5/12，所以两针都停在红色的可能性大。
在这里学生根本没去思考两盘的指针分别停在一红一蓝上的情况。
◆ 小结
与上题类似，由于尚未学过相关的教学内容，七、八年级学生无法说明如何求出两步实验的随机事件发生的概率，但有些学生可以凭数学直觉作出正确的选择。上表数据表明三个年级正确选择C的比率并不十分悬殊，同时重点中学也并不占优势，说明正确的随机观念的形成可能还受到学生的数学思想、生活经验和社会文化的影响。其次，七、八年级已学过通过实验的方法比较抛两枚硬币的结果是朝上的面为一 反的比两个正面朝上的可能性大，学生可能通过数学迁移认为不同颜色的组合可能性也应最大。当然，这种抛开具体样本空间的迁移经常是一种负迁移。
3.2.6 应用随机性数学思维 实际问题
▲ 试题分析
培养学生的随机观念不仅要关注学生对随机观念本体的认识，而且要重点培养学生运用随机性数学思维 生活实际问题的能力。在初中阶段的随机数学的运用方面主要体现在学生能否正确运用概率的概念 生活中的随机现象；通过简单的理论概率运算，比较随机事件发生的可能性大小，同时结合随机变量体验游戏的公平性；利用加权平均数完成对随机变量均值的 ，体会抽奖等经济活动的效益性；运用概率的频率定义通过实验或模拟实验的手段估算复杂随机事件发生的概率，结合统计的知识如随机抽样等解决一些生活实际问题。
问卷为了考察学生对概率的 和运用能力，设计了一个学生较为熟悉却悖于直觉的问题：在一些繁华地带，常见有人设摊“摸彩”，一天，小明看见一摊主拿一盒子，盒中装有3个形状大小完全相同的乒乓球，其中有2个白球，1个红球，每次从中摸两个球，如果摸到的都是白球，则可赢得5元，否则就输掉5元，许多人都急着想试一试。看了一会，小明纳闷了，明明是白球比红球多，可摸彩者却为何输的多赢的少呢？你能帮助小明 这个问题吗？
本题考察学生在无放回模式下求随机事件发生的概率，并由此比较输赢钱数，体现出概率在 生活中不确定现象的应用价值。但所有学生在问卷施测时都还没有学过教材中安排在九年下册的“统计与概率”中与本问题中比较输赢钱数相关的教学内容。
表 3-13 无放回模式下的概率计算及运用
答题结果
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
完整
0(0)
0(0)
0(0)
0(0)
1 (3.2)
2(4)
求出摸得两个白球的概率，但无说明平均每次输赢钱数
5(13.5)
2(3.2)
7(13.5)
11(19)
4(12.9)
32(64)
其他
32(86.5)
60(96.8)
45(86.5)
47(81)
27(83.9)
16(32)
● 数据分析
从调查结果来看（见表3-13），能完整求出摸到两个白球的概率并由此推算出平均每摸一 输赢钱数的只有九年级的三个学生。能求出摸到两个白球的概率的学生比率基本上依年级上升，最好的是九年级的重点班达到64%，最差的是七年级的重点班只有3.2%，表现不 的是九年级的普通班，只有12.9%，甚至比八年级学生表现得差。笔者从答卷和访谈得知九年级学生出现这个反常的最主要原因是把本题的问题背景理 有放回的模式，即把一次摸球两个理 每次摸球一个有放回地重复两次，导致在列表或画树状图时产生错误。如学生mz090630g 的错误解法如表3-14。
表3-14 学生的错误解法
两次摸
球
红
白1
白2
红
（红，红）
（红，白1）
（红，白2）
白1
（白1，红）
（白1，白1）
（白1，白2）
白2
（白2，红）
（白2，白1）
（白2，白2）
所以摸到都是白球的概率为4/9，摸到一红一白的概率为5/9。4/9＜5/9，所以摸彩者输的多，赢的少。
表3-15 无放回模式下随机事件发生的概率正确解法
一次摸
两球
红
白1
白2
红
（红，白1）
（红，白2）
白1
（白1，红）
（白1，白2）
白2
（白2，红）
（白2，白1）
所以每摸球一次，P（摸得两个白球）==，P（摸得一个白球一个红球）==
当然，在这里学生也可以通过画树状图来求摸得两个白球的概率。
从概率分布角度来说前者属于超几何分布而后者属于二项分布，当然，初中学生不可能知道这个道理，但在教学中教师应该十分清楚两者的区别，并通过实验加以 。在学生了解了两者实验结果的明显差异以后，进一步用列表或画树状图的方式将两者进行对比（见表3-15），加深学生对两者在概率求解上的差别的认识。
其次，几乎所有的学生都没能在求出摸得两个白球的概率的基础上，进一步求出平均每摸一 输赢钱数：
平均每摸一 赢钱数=（元）
平均每摸一 输钱数=（元）
也就是说摸彩者平均每摸一次要付出（元）。
从访谈中笔者发现也有一些学生认为题目中已经规定如果摸到两个白球赢得5元，否则输掉5元，钱数都是5元，因此游戏中比较平均每次输赢钱数只需由摸球一次输赢的概率来定。但从完整的 要求来看，这个过程是不该省略的。
◆ 小结
以上统计说明总体来看，学生对无放回模式下的概率求 力随年级的上升而增强，但教师如果不注意概率模型化的教学，即使高年级的学生也很难 '求解概率。另一方面，笔者认为虽然在八年级就已学习加权平均数，但只凭静态的加权平均数概念来理解随机过程中“经济收益”问题，对初中生来说还是力不从心。教学中必须通过做实验对 的结果加以验证，从而加深对随机变量及其平均值的理解。
▲试题分析
初中生只能通过实验的办法利用频率来估计复杂随机事件的发生的概率，如生日相同的概率问题。但有时受制于实验的可行性，我们也可以在相同的概率模型下通过模拟实验求得概率。为了提高概率估算的准 度，必须增加实验的次数，利用计算机或计算器进行的实验可以取得更好的效果。然而在生产实践中有时很难也无须进行过多的独立重复实验，人们经常通过随机抽样，用样本的某个统计量来估计总体的统计量，如用样本的某个比率的平均值来估计总体的比率。下面我们考察学生对概率统计在生产实践中的运用能力——估计池塘中有多少条鱼，要求学生写出自己设计的估计鱼的数量的详细方案。
表3-16 估计池塘中鱼的数量的方案设计
答题结果
七年级
普通 重点
八年级
普通 重点
九年级
普通 重点
方案 '
3(8.1)
0(0)
9(17.3)
7(12.1)
10(32.3)
41(82)
其他
34(91.9)
62(100)
43(82.7)
51(87.9)
21(67.7)
9(18)
● 数据分析
有些学生的估计方案的思路是对的，但随机性数学思维不严密，方案粗糙或不具有可操作性。如学生yz090327g的方案如下：
从池塘中捞出10条鱼做上记号，再放回池塘，过了一会儿，再从中捞10条，求出捞到有标记的鱼的概率。
在这里学生对作标记的鱼的数量和再次捞鱼的数量没能作出合理设计，具体如何抽样也无交待，没能考虑抽样的随机性，更无法合理利用随机性。另一位八年级学生mz080635g的方案是：
夏天的傍晚，鱼都会浮到水面，我们可以先数一下1平方米的水面有多少条鱼，重复几次，然后根据水面的大小算出鱼的数量。
该生具有一定的随机意识和比率的思想，但这个方案的实践操作意义不大，谁能保证鱼都在水面呢？
◆ 小结
本题通过设计估计方案可以看出学生在运用随机性数学思维 与概率统计有关的问题时，是否具有 '的随机观念。如，为了利用随机性背后的统计规律性，要求样本的容量足够多，而且每个个体被抽到的可能性是相等的，因此随机抽样必须具有 性和广泛性，在估计中必须使有标签的鱼和鱼群混合均匀，捕捞取样的位置多找几个，捕捞的数量也要达到一定要求等。从调查结果来看，初中生运用概率统计 生活实际问题的能力从九年级才开始有所表现（见表3-16）。
3.3 调查研究的结论
表3-17 三个年级学生在各题和各项上的 '回答比率
随机观念的项目
题号
七年级
八年级
九年级
各题
各项
各题
各项
各题
各项
随机事件概念
1(1)
94(95)
92.7%
105(95.5)
93.9%
81(100)
96.6%
1(2)
86(86.9)
99(90)
80(98.8)
1(3)
95(96)
107(97.3)
79(97.5)
1(4)
92(93)
102(92.7)
73(90.1)
概率值的理解
2
8(8.1)
8.6%
3(2.7)
6.8%
2(2.5)
2.5%
3
9(9.1)
12(10.9)
2(2.5)
频率与概率的关系
4(1)
9(9.1)
18.2%
14(12.7)
29.1%
24(29.6)
48.2%
4(2)
27(27.3)
50(45.5)
54(66.7)
机会的量化和比较
(一步实验的随机事件)
5
44(44.4)
44.4%
79(71.8)
73.2%
62(76.5)
78.4%
6
44(44.4)
82(74.5)
65(80.2)
机会的量化和比较
(两步实验的随机事件)
7
2(2.0)
1%
3(2.7)
1.4%
11(13.6)
13%
8
0(0)
0(0)
10(12.3)
随机观念的运用
9
0(0)
4.1%
0(0)
7.3%
3 (3.7)
33.4%
10
8.1(8.2)
16(14.5)
51(63)
从表3-17的统计情况来看，三个年级学生的随机观念的表现情况在排序上基本一致。学生对随机事件概念的正确回答率最高，三个年级都在92%以上，说明学生能区分可能事件、不可能事件和必然事件。其次是学生对一步实验的随机事件发生的可能性大小的量化和比较，八年级和九年级都在73%以上，但九年级并不比八年级高很多，而七年级却只有44.4%，说明七年级学生刚开始学习概率，对概率的模型识别、古典概率和几何概率的关系以及这两者对基本事件的等可能要求和运用比率的思想进行简单的概率 都需要进一步学习。其三是学生对频率与概率关系的理 三个年级的正确回答比率逐步上升，但都不高，说明学生对概率的统计定义没有深刻的理 对事件发生的随机性和统计规律性之间的关系缺乏辩证的思维。
学生对概率值的理解、两步实验的随机事件发生的可能性大小的量化和比较，以及在统计中运用随机观念 问题的正确回答率都相当低，而这三个方面 初中生理 率和运用 '的随机观念解释生活中的随机现象和 生活实际问题的关键所在。由于本研究同时关注学生的随机性数学思维和随机观念的表现，所以能 '地计算概率并且能 '说明理由才能算回答正确。其 于所有学生在问卷施测时都还没有学习安排在九年下册的“统计与概率”中的与概率分布和随机变量均值计算密切相关的教学内容，学生在这方面上的随机观念的表现要结合后面的教学检测继续加以研究。
4 培养学生随机观念的教学研究
为了进一步研究如何通过教学培养学生的随机观念，笔者在调查了学生的随机观念之后，针对学生存在的不足方面以及在问卷施测时尚未学到的相关知识进行了干预教学，干预教学在本人任教的九年级06班进行，主要采用了典型案例教学及其他教学策略，进行了一个学期的教学实验并在跟踪教学内容学习之后及时进行了检测，通过答卷分析和访谈进一步提出教学研究的结论。
4.1 培养学生随机观念的教学策略
根据初中生概率认知的发展特点,，笔者结合典型案例采用了知识技能、活动体验、激活思维、文化渗透、实际应用等教学策略，促进学生建立正确的随机观念。
4.1.1 关注概率知识技能的教学
▲ 概率概念的教学
概率的古典定义是拉普拉斯1812年给出的,它讨论的对象仅限于随机试验中所有可能的结果为有限多且等可能的情形，教学中要关注古典概率的这种模型特征，加深对定义的理解。把有限个样本点推广到无限个样本点的场合，人们引入了几何概型，由此形成了确定概率的几何方法。如历史上著名的“蒲丰投针实验”：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a，向此平面任投一长度为L（L小于a）的针，试求此针与任一平行线相交的概率。这个几何概型问题可运用积分运算求得P =。由于“蒲丰投针实验”的理论概率中含有常数π，初中教学中可以通过设计L和a，用实验频率估计出概率P，然后运用以上给定的概率模型公式求出圆周率。这样将概率的几何定义和概率的统计定义的学习有机联系起来，又使学生体验到求π的方法的多样性和随机数学与 数学之间的联系性。
概率的古典定义和几何定义都要求在随机实验中基本事件发生的可能性相等，但人们发现在相同的条件下做大量重复试验，一个事件发生的次数n和总的试验次数N之比，在试验次数N很大时，它的值将稳定在一个常数附近。N越大，这个比值“远离”这个常数的可能性越小，这个常数就称为这个事件的概率。这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的频率定义。这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具一般性。教学中可以在学生动手操作抛掷硬币的统计实验基础上，参照历史上著名科学家大数次地投掷硬币的结果，进一步感受频率概率的大数次实验要求以及概率统 随机性和统计规律性。
近年来随着数学发展的领域不断拓宽，主观概率日益受到人们的关注。概率的主观定义也称直觉定义，“它是指在一次性事件中，认识主体根据其所掌握的知识、信息和证据，而对某种情况出现的可能性大小所作的数量判断”[8]。但实际上，如果人们根据以往的经验数据，甚至根据主观或客观上的某一要求而得到的数据予以分析，估计出一个最优值，作为研究总体的假设概率，最后在得到新的信息的基础上对假设概率重新予以修正，这样做是无可非议的。在现代愈来愈复杂的经济活动中，某些决策无法用理论概率或经验概率来判断时，如投资等经济决策问题中应用主观概率是可行的办法。教学中适当介绍主观概率可以丰富学生对概率的认识。
▲ 概率的计算
我们知道概率有理论计算和实验估算2种方式，根据概率的计算方式，我们将初中学生可以掌 有关概率模型大致分为三类，第一类问题是简单的古典概型，理论上很容易求出其概率。根据问题的繁简程度，笔者认为又可将这类问题细分为如下3个层次:①等可能样本空间中基本事件发生的概率。②等可能样本空间中复杂事件发生的概率。③涉及到2步或2步以上实验的事件发生的概率。第二类问题是无法求得理论概率，只能借助实验模拟获得其估计值，一般而言，它是一个纯粹的现实生活问题，如“从一定高度随意抛掷某个瓶盖，瓶盖落地后盖面朝上的概率”。第三类问题是虽然存在理论概率，但其理论 己经超出了初中学生的学力范围，学生也只能借助实验模拟获得其估计值，如“求50人中有2人生日相同的概率”等。
概率的实验估算、理论计算以及频率与概率的偏差等对概率的深层 是理 率的一个不可割裂的整体，在具体教学中应尽量将它们一起研究。当然，频率与概率两者的出现总得有先后之分。历史上人们对概率的研究首先立足于对一些古典概型的理论 ，其后才研究了实验频率以及频率与概率之间的关系，我们不妨遵循逻辑顺序和学生的认知现状，先让学生初步体会频率的随机性和稳定性，产生理论 的必要性，进而过渡到理论 [16]。当然，由于首先研究的概率模型十分简单，如抛掷硬币、骰子等，学生具有对其定量化研究的强烈愿望和能力，因此，对于这些模型的研究，应将概率的实验估算和理论 紧密结合起来，使学生体会到随机性的同时，又找到了统计规律性的依据。
4.1.2 经历原始的随机环境， '认识随机性
概率统计是中学数学新课程的重要组成部分，它研究随机现 统计规律性，具有独特的概念、方法和理论。为了逐步发展并培养学生的随机观念，教师要善于创设随机情境，在教学上应该寻找学生熟悉的，又适合在课堂上讨论的原始随机问题作为教学的载体，让学生在随机试验中积累必要的随机数学的经验。其次要增强课堂教学的活动性，让学生对不 现 特点有足够的体验。教学中应充分利用集体学习的优势，进行小组合作探究，这样既可比较不同小组实验结果的异同，又可汇总各小组实验的数据，作出新的预测。学习中学生还应自主尝试有关设计方案并与同伴进行交流，从中体验随机事件发生的可能性。由于用频率估计概率的过程需要做大量反复实验以探索其变化的趋势，教学中可以利用计算机进行模拟实验以提高学习效率。教师通过课件制作，利用计算机将其直观、形象、生动、准确地表示出来，既可提高了教学效率也激发了学生的学习兴
在教学中我们经常发现许多学生在学习概率统计课程的时候，往往囿于确定性数学的思维方式，不能辩证地认识随机性，在概率学习和问题 中存在大量的错误直觉。著名的数学教育家乔治·波利亚曾经指出：“直觉自然地向我们走来， 的(数学)论证应当使这种直觉合法化。但是，研究过教授概率之困难的教育家指出，甚至简单的概率也可能多么反直觉。” 黛博拉.J.本内特.随机性[M].严子谦,严磊译.长春：吉林人民出版社，2001.137.直觉是一种认知形式，但当它将某个数学性质外延到其它的性质，则容易产生过度的一般化，这种现象有时会造成学习上的困扰。例如“生日问题”就令人十分困惑：50个人中有两人生日相同，你也许认为这只是巧合，其实几乎可以肯定至少有两人同一天过生日。这件事情发生的概率，并不是大多数人直觉中想像的 小，而是相当大。这个例子告诉我们，通常的“直觉”并不很可靠，这就有力地说明了研究随机现 计规律的重要性。教学中可以通过随机抽样调查或随机模拟实验让学生估计和验证复杂随机事件发生的概率，逐步建立 '的随机观念。
4.1.3 联系知识发生过程，激活随机性数学思维
初中概率教学不只是具体的知识教学，更是过程、思想和观念的教学。在教学中，如何才能真正把握概率的思想实质并据此进行有效的教学呢？由于各种随机现象不能用“因果关系”加以严格控制和准 测，而需要从大量观测中综合分析找出规律性，所以培养学生正确的概率统计思维方法是必要的。我们认为，中学概率统计中特有的数学思想主要有随机思想,统计推断思想等。
随机思想是概率论的核心思想，它是通过对偶然性的研究去发现其背后的必然性，即统计规律性，并通过这种必然性去理解、认识和把握随机现象，但“随机的”不是“偶然的”同义词，而是描述一种不同于确定性的秩序。理 机思想的关键是理解某一事件发生的试验频率与理论概率存在偏差，而且偏差的存在是 的。理 机性数学思维不仅要求理解事件发生的随机性，同时也要理解统计结果的随机性，统计的特征之一就是通过部分的数据来推测全体数据的性质，在运用样本估计总体的教学中，应通过对具体数据的分析，使学生体会到由于样本抽取具有随机性，样本所提供的信息在一定程度上反映了总体的有关特征，但与总体有一定偏差，因此，统 果具有随机性。
统计推断是有可能犯错误的，这一点与确定性思维不同。但同时，统计思维又是一种重要的思维方式，在“统计”的教学中，要特别重视开发学生归纳的思想，强调归纳方法的合理性。按照波利亚的观点，合情推理是与逻辑推理一样重要的推理，是更具创造性的推理，当然对归纳结果的随机性也需作出必要的解释。统计思维和 性思维一样成为人们不可缺少的思想武器，由不 的数据进行推理也是同样有力而普遍的方法。在自然界和人类事物中，随机现象是大量存在的，概率统计正是对随机变化的数学描述，如果抽样的方法比较合理，样本的信息可以比较好地反映总体的信息，它能够为人们合理地决策提供依据。例如著名数学家拉普拉斯对伦敦、彼得堡、柏林和法国的男婴和女婴出生规律进行研究，得到的统计资料显示：10年间，男孩出生的频率在附近摆动。我国历次人 查总人 别构成数据，与拉普拉所得到的结果非常地接近[6]。
4.1.4 渗透随机数学文化,拓宽随机数学视野
培养学生的随机观念首先要让学生了 机思想是如何产生的。在古代社会，人们相信一切机会和命运皆由天定，每当人们有争执或遇到难以决定的事，往往以抽签解决。如我国古代的卜卦和西方古代的投掷兽骨，以对未来做一些预测，就是此类问题的古典例子。又如，在大约公元前2000年的古埃及墓壁上，就有玩奇偶游戏的描绘(见图4-1)，很象我们至今还在玩的划拳游戏。
图4-1 古埃及墓壁上描绘的玩奇偶游戏 黛博拉.J.本内特.随机性[M].严子谦,严磊译.长春:吉林人民出版社，2001.18.
其实对大数次出现的事件人们自然想通过大量的观察统计，寻找事物各种可能发展的出现的频率，并以此估计概率，这就是随机思想的最初产生的起源。后来，著名数学家Passcle和费马等人从研究赌博开始，运用定量方法对随机现象进行系统的研究，导致了运用定量数学方法研究随机现象的概率论的产生。同样统计学也有自身的发展过程，如在统计中，随机抽样就经历了很长的历史，最初只是所谓的“代表性调查”，认为抽样调查的准确性不是取决于观察数量的多少，而是取决于取得正确代表性的方法，人们更相信有意抽样，即依调查者主观判断来取样。有意抽样又不断地改进，主要有典型、随意和定额三种形式。相对有意抽样，随机抽样的发展要更晚一些，人们从直观上不太接受随机抽样，认为随机抽样似乎有更大的“盲目性”。直到大数定律和中心极限定理的发现，随机抽样才得到广泛的应用[21]。
当前我国 推进基础教育改革，十分重视数学史和数学文化的教育，在中学概率统计教学中运用数学史有助于学生理 学知识之间的联系和不确定性数学特有的思想方法，还可以把概率结论的发现过程予以还原或模拟，使学生通过自己的思维再现知识发生过程的各个方面，从而提高学生的随机性数学思维能力[9]。因此，在教学中，教师应致力于从每个概念的直观背景入手，精心选择一个个有趣的史例。如，在概率的定义这一内容的讲述时，通过引入Passcle和费马对De.Mere提出的掷骰子及赌资分配问题的研究史实，可以用来加深学生对古典概型的认识，培养学生在概率问题处理中的发展意识。又如，对历史上诸多学者所做的抛硬币试验这一史实的引入和分析，有助于学生更好地理 接受概率的统计定义在教学中渗透随机数学文化的相关讨论可详见笔者另文：例谈中学概率统计教学中数学史的运用[J].数学教学通讯(教师阅读),2008,(03):29-32。
4.1.5 实际问题 中领悟与发展随机观念
概率统计己广泛地应用于生产、生活和社会的各个领域。因此，通过随机数学的教学，不仅要让学生掌握概率统计的理论知识，更重要的是培养学生的应用能力。在培养学生的随机观念的过程中，我们要引导学生从生活中的随机现象发现蕴含其中的随机数学原理，并运用随机性数学思维 实际问题，体会概率统计在 生活实际问题中的应用价值。对于一些生活中的统计问题我们经常要用概率模型进行描述。应用概率模型方法就是根据随机问题的具体特点，模拟建构一个随机问题的现实原型或抽象模型，借以反映问题的内在规律。使用概率模型解决问题是归纳思维的一种典型方式，它离不开人们的观察、试验与合情推理，是学生的数学化意识和思想方法的重要体现。也是培养学生运用随机数学思维 实际问题的重要途径。
概率统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用，教师应积累大量的相关案例开展教学。通过案例教学可以促进学生全面看待问题，从数量的角度分析事物的变化规律，体会概率统计在生活实际中的应用价值。因此在统计案例的教学中，应尽量给学生提供实践活动的机会，鼓励学生经历数据处理的过程，认识统计方法的特点，如统计推断可能犯错误，统计结果也具有随机性，从而建立正确的随机观念。在本教学研究中，笔者结合多个统计案例进行教学，教学后测表明通过案例教学，学生的随机观念有了明显的进步，限于篇幅，下面只展示一个教学案例。
4.2 教学案例
“哪种方式更合算”教学设计
??一 教材分析
本课选自义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级下册第四章第二节。在学生学过加权平均数和利用加权平均数解决与统计有关的问题之后，本课结合概率
与频率的关系，引导学生认识和理解随机变量的均值的 。通过学习，要求学生能自觉地在日常生活中将随机变量的均值计算运用于“合算”的评判和决策之中。教材先设计了一个具体情境，力图让学生在具体情境中感受“合算”，当然，这本质上就是数学期望，因此对初中生来说该知识具有一定的思维要求。但在选取素材时，教材注意知识的前后联系，选择了一个学生以前研究过的问题情境，以降低学生解决问题的难度；同时在 问题的过程中，又强调了学生的体验，让学生首先通过实验获得初步的感受，再通过和前一节中运用加权平均数的联系，逐步获得对问题的理论 。
二　学习者分析
在日常生活中经常会遇到各种摇奖活动，通过以前的学习，学生已初步认识了这些活动中获胜或获奖的可能性，但尚未具有正确的评判能力和决策能力。因此应该给予学生一定的数学工具，让学生知道如何评判某项活动是否“合算”。 由于学生已学过加权平均数及其在统计中的运用，只要学生能理 率和概率的关系，并将它们有机结合起来学习随机变量均值的 应该不会有太大的困难。
三 教学目标
知识与技能：学会利用加权平均数的知识 随机变量的均值，初步体会如何评判事情是否“合算”，进一步建立和发展良好的随机观念。
过程与方法：经历猜想、实验探究和理论推导的活动过程，领会“合算”方案的随机数学原理，增强学生的数学应用意识和能力。
情感态度价值观：通过数学探究活动，发展合作交流意识和能力，进一步体会概率与统计的联系，体验随机数学的应用价值。
四 教学重难点
教学重点：学会评判某项活动是否“合算”的数学实验和理论计算的方法。
教学难点：理 应用理论的方法计算每转动一次转盘所获购物券金额的平均数。
五 教学方法
首先创设学生熟悉的生活情境，激起学生的认知冲突，激发学生解决“合算”问题的学习动机。教学过程按照“直觉猜想??、实验感悟??、理论计算??、实践应用”的认知规律进行设计，让学生经历评判“哪种方式更合算”的学习过程，体会随机数学的应用价值，增强学生的数学应用意识和能力。教学中要注重实验估算与理论 相结合，注重 问题的活动过程，这样既促进了学生的理 同时也渗透了概率统计之间的联系。组织学生合作探究、解释发现，进一步发展学生的合作交流意识和能力。根据学生的认知方式和思维策略的不同，鼓励学生思维的多样性，采用多种评价方式并设计适合学生实际的练习，达到巩固和运用的目的。引导学生积极反思，体验学习成功的乐
六 教学媒体
教师准备多媒体教学的课件、转盘及彩票广告等。学生课前做一个和课本中一样的某商场使用的自由转动的转盘。
七　教学过程
（一）创设情境，问题引入
也许你曾被大幅的彩票广告所吸引，也许你曾经历过各种摇奖促销活动。你研究过获得各种奖项的可能性吗?你想知道每一次活动的平均收益吗?让我们一起来研究其中的奥秘吧!
师：我们在日常生活中，经常会遇到各种摇奖活动，下面就是一例(多媒体演示)。
某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘1(如图4-2)，并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域， 顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物，如果顾客不愿意转转盘， 可以直接获得购物券10元。转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式更合算?
图4-2 转盘1
师：当转盘停止后，指针可能落在哪些区域？获得购物券的机会分别有多大？
生：指针可能指向各种颜色的区域，根据各种颜色区域在转盘中所占的比例：红色为，黄色为，绿色为 白色为， 可能获得100元、50元、20元购物券的概率分别为0.05、0.1和0.2，指针指向白色区域的概率为0.65，此时不能获得购物券。
师：如果不转动转盘，可以直接获得购物券10元，如果转动转盘，就会出现多种可能的结果，放弃转动转盘，意味着放弃了获得100元、50元、20元购物券的机会。如果不放弃，就意味着有可能连获得10元购物券的机会也没有了， 该如何选择比较合算呢？
下面我们先来做一个实验，也许你会从中找到 这个问题的办法(多媒体演示)。
【设计意图：这里学生还不知道“合算”的真实含义，可能仍停留在具体的确定性思维之中。在随机过程中要从整体上 随机变量的均值，是否“合算”不能依据某次实验的结果来判断,这时学生可能产生认知上的冲突。让学生评判某项活动是否“合算”，是提高其决策能力的关键。该知识具有一定的思维要求，因此，通过设置这种常见问题情境，首先让学生通过实验获得初步的感受。】
（二）动手实验，揭示规律
学生活动：
（1）每四人组成一合作学习小组，用课前制作的转盘，通过实验的办法(每组实验100次)分别求出获得100元、50元、20元购物券以及未能获得购物券的频率，并据此估计每转动一次转盘所获购物券金额的平均数，看看转转盘和直接获得购物券，哪种方式更合算。
（2）全班交流，看看各小组的结论是否一致，并将各组的数据汇总（如表4-1）， 每转动一次转盘所获得购物券金额的平均数。
表4-1 转转盘实验的结果
获得100元购物券
获得50元购物券
获得20元购物券
未能获得购物券
本组
全班
本组
全班
本组
全班
本组
全班
频数
频率
a1
a2
a3
a4
师：你在实验中是如何 每转动一次转盘所获购物券金额的平均数呢?
当做100次实验时，设获得100元购物券的频率为a1，获得50元购物券的频率为a2，获得20元的购物券的频率为a3，未能获得购物券的频率为a4，根据加权平均数的定义，可得每转动一次转盘所获购物券金额的平均数为：
100a1+50a2+20a3+0a4＝100a1+50a2+20a3（元）
学生从统计表中可以看到汇总全班的数据以后，总体上指针停在每种颜色区域上的频率更接近各颜色区域与整个转盘的面积比。即当试验次数很大时，a1、a2、a3、a4将稳定于和它相应的理论概率。此时，我们可以用实验频率来估计理论概率。
师：如果把上图的转盘改为图4-3的转盘，如果转盘停止后，指针 对准红色、黄色、绿色区域， 顾客仍分别获得100元、50元、20元的购物券，与上图的转盘比，哪一个转盘对顾客更合算?如果改用图4-4中的转盘呢？

图4-3 转盘2 图4-4 转盘3
生：交流讨论
师：转盘2和原来的转盘对顾客而言结果是一样的。因为指针落在红色区域、黄色区域和绿色区域的可能性没有变。转盘3和原来的转盘对顾客而言结果不一样，图4-4的结果对顾客来说更合算。因为未获购物券和获得50元购物券的可能性没有变化，获得20元购物券的可能性减少，获得100元购物券的可能性增加。
【设计意图：通过转盘的“变式”，让学生理性地思考影响所获购物券金额的平均数的因素，为学生得出后面的理论 方法打下基础。】
（三）理论计算，构建认知
师：如果不用试验的方法，你能求出每转动一次转盘所获购物券金额的平均数吗?
生：由图4-3我们知道，每转动一次转盘，获得100元购物券的概率为，获得50元购物券的概率为，获得20元购物券的概率为，理论上可以认为转动n次转盘，获得100元购物券的次数为n次，获得50元购物券的次数为n次，获得20元购物券的次数为n次，所以每转动一次转盘所获购物券金额的平均数应该为：(100×n+50×n+20×n)÷n=100×+50×+20×=14(元)。
同理，使用图4-4的转盘，每转动一次转盘所获购物券金额的平均数应该是：
100×+50×+20×=18(元)
师：这种算法我们曾经在哪里用过吗?
生：这种算法与上一节小明估算农村居民的人均纯收入的方法是一致的。
【设计意图：教学时，如果学生想不出这种理论计算方法， 可适时地转到下面研讨小亮的做法，使学生理解这种方法，如果已有学生想出了这种理论 方法，那么应顺应学生的思路引导他们进一步地讨论，使学生对理论计算随机变量的均值有个清晰的认识。】
（四）讨论交流，辨析理解
师：小亮根据图4-3的转盘，绘制了一个扇形统计图(图4-5)，据此他认为，每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是100×5%+50×10％+20×20%＝14(元)。你能解释小亮这样做的道理吗?
图4-5 统计图1
生：我认为小亮的算法是有道理的。
由图4-3可知，自由转动转盘，指针落在红色区域、黄色区域、绿色区域的可能性大小即概率分别为、、，我们可以把、、看作权重，因此小亮绘制的扇形统计图，反映了转盘停止转动时，指针指向红色区域、黄色区域、绿色区域的权重。由加权平均数的 公式就可求出转盘每转动一次所获购物券金额的平均数是:100×5%+50×10%+20×20%＝14(元)。
师：按小亮的算法，小明一组转了100次，总共获得购物券应为1400元，可实际上他们总共获得购物券是1320元。这是为什么呢？
生：因为用小亮的方法 的平均数是用理论概率 出来的，但实际上的频率很难和理论概率完全相同。
师：大家对实际生活中存在的不确定现象的认识是 '的，其实实验次数很多时，实验结果应该和理论值相近，但实验次数再多，也很难保证实验结果与理论值相等，这是我们作出决策和评判时应该具备的随机观念。
【设计意图：旨在借助扇形统计图，引导学生获得这种理论 方法，使学生认识概率与统 联系。】
（五）随堂练习，巩固深化
改用另一个转盘进行上面的活动，小颖根据实验数据绘制出扇形统计图4-6，求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数。
图4-6 统计图2
生：根据扇形统计图，可知每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是：
100×10%+50×15%+20×25%＝22.5(元)。
（六）归纳总结，自我评价
这节课我们继续经历了 问题的活动过程，学会如何评判某件事情是否“合算”，通过具体问题情境，掌握了一定的判断方法，提高了决策能力；通过探索“平均收益”的 方法，领会到随机数学与 数学之间的联系。经历了实验估计和理论计算的过程进一步体会到概率与统计之间的联系，更好地建立了随机观念。
（七）布置作业，检测反馈
1. 里有相同的4个白球和2个红球，从口袋里摸出2个球，如果两个都是白球甲胜，否则乙胜，请你想一想，这个游戏中，谁合算？
2. 如图4-7，转盘被均匀分为37格，分别标以0~36这37个数字，游戏者每次下赌注2元，可押其中的一个数字，若转盘停止转动时，指针所指格子的数字恰为游戏者所押数字，则返还赌本并获得奖励70元，否则没收赌本。该游戏对游戏者有利吗? 转动多少次后，游戏者平均每次将获利或损失多少元?
图4-7 转盘4
八　教学反思
概率统计的教学难在学生对事件发生的随机性的理解，而要在统计中运用随机性来 '地解决实际问题，对学生又有更高的要求。本课涉及随机变量的均值的 ，对学生的思维具有较大的挑战性，虽然学生已学过加权平均数，但 竟是静态的数学。如何将它和频率与概率的知识结合起来，是学生理解理论 的关键。
教学中首先要通过设置适合的问题情境，引起学生的认知冲突，激发学生的探究欲望。其次要善于寻找知识联系，教师通过构筑认知平台，为学生建立知识联结提供帮助。如，引导学生通过列表统计小组数据并汇总全班同学的数据；引导学生理 盘中的几何概率与实验频率之间的关系；把学过的权重概念和频率联系起来，借助用频率在大数次实验下估计理论概率的核心知识，再过渡到随机变量的均值的理论 。实现了学生对学过的知识有更进一步的理解又顺应到新知识的建构之中。
当然，学生对知识的理 要有个内化的过程，而在学习层面上让学生经历有意义的数学活动十分关键，只有学生在积累了足够的数学经验后，才能自主建构完整的知识体系。因此本课按照“直觉猜想??、实验感悟??、理论计算??、实践应用”的认知规律进行教学设计，充分体现了以学生为主的教学理念。将实验估算和理论计算结合起来，促进学生建立 '的随机观念，并体现随机数学在 实际问题中的巨大价值。
4.3 教学后测
4.3.1 试题设计
现状调查中发现九年级学生学过两步实验的概率计算，但在随机事件发生的可能性的量化和比较中也不能寻找适合的方式求算概率，无法利用概率来说明随机事件发生的可能性大小，因此本研究通过一个学期的跟踪教学，在后测中继续观察学生在这方面是否有进步。测试卷除了第一题观测学生对古典概型的基本事件发生的等可能性要求是否有更深的认识，其余各题都重点考察学生能否利用适合的方式对随机事件发生的可能性进行量化以及运用于 实际问题的能力。其次在问卷测试时，九年级学生还没学过与随机变量的均值计算的相关内容，经过教学以后的表现是后测的重点观察项目，这里设置了第4题的选择题和第5、6题的 题。
4.3.2 后测分析
表4-2 教学后测中学生的 ' 率
题号
1
2
3
4
5
6
' 率
4%
80%
68%
64%
77%
72%
● 答题分析
为了进一步观察学生对古典概型的基本事件的等可能性的认识，问卷设置了摸球背景：一个袋里有1个红球，9个白球，从中任意摸出一个球后，不放回去，再从袋里摸出一个球，那么这次摸到红球的概率是：
A.0 B. C. D.0或
统计发现：学生选择 '选项B的比率只有4%,而选择D的达84%,另有12%的学生选C。笔者访谈了选择C的学生mz090625g：
笔者：请你说说为什么选C 。
学生：因为这里总共有10个球，由于摸后不放回，摸到一个球后剩9个，所以再从袋里摸一个球，那么这次摸到红球的概率是1/9
笔者：你认为第一次摸球很可能摸到什么球呢？
学生：应该是白球吧，因为白球占的比率很大。所以我认为第二次摸球基本上就是在9个球中摸一个红球，所以选C。
从访谈中发现该生对可能性的认识是错误的，仍认为很可能发生的事件在一次实验中一定要发生。而选择D的学生似乎对事件发生的随机性有所认识，也能对一步实验的古典概率进行 ，但他们忽略了事件发生的条件，不能从整体上考虑一个随机事件发生的可能性，无法进行事件和的概率 ，而是把一个事件转换成两个事件进行讨论。如学生mz090609b：在访谈中这样解释：
笔者：为什么选D？
学生：由于第一次摸球是随机的，当摸到红球时，第二次就只能摸到白球，当第一次没摸到红球时，第二次就可以从9个球中摸一个红球，所以这两种情况下的概率分别为0和1/9，这两个概率都有可能，所以选D 。
笔者：你是说这两种情况中任何一种都可代表这个事件发生的概率，也就是说事件发生的概率也是不 的吗？
学生：是的，因为谁也不能保证哪种情况会发生。
笔者：这两种情况（两个概率）发生的可能性又分别有多大呢？
学生：（感到迷茫）
这里涉及到“概率的概率”即条件概率，已超出学生的思维能力，笔者就此打住。为了转移思维方向，笔者用抽签公平性引导学生理 后两次摸球中摸到红球是等可能的。
笔者：抽签中你觉得对每个人公平吗？
学生：只要没有作弊，是公平的。
笔者： 每个人摸完签有没有回放去呢？
学生：没有。
笔者：这里和抽签有区别吗？
学生：好象和抽签的道理一样的，两次摸到红球的概率真的都是1/10吗？
交流到这里，学生对古典概型的基本事件发生的等可能性才开始有所体悟，而这个结果的获得对初中生来说首先必须具备敏锐的直觉，因此随机观念的教学要结合生活中的类似情境引导学生感悟随机性数学思维，为今后继续学习事件和的概率以及条件概率的计算所需的逻辑思维创造观念性的基础。其实抽签的公平性可以从以下 过程容易证明：
假设红球有m个，白球有n个，则：
第一次摸球： P（摸到红球）=
第二次摸球： P（摸到红球）=
所以抽签是公平的。
本题的正确答案是：P（第二次摸到红球）=
经过访谈发现其他选择D的学生与mz090609b阐述的理由基本一样，大家都认为由于不放回的原因，第二次摸到红球决不可能和第一次摸到红球的概率相等，然而学生不理解在不知道第一次摸到的是红球还是白球的情况下，放不放回第一个球对第二个球来说都不改变它是红球的概率，与摸到第一个球是红球的概率是相同的。而造成学生误解的原因是他们将这种情况与确知第一次摸到的是什么球的情况下求第二次摸到红球的概率等同起来。在调查问卷中学生做过的第5题中的一次性抽到4个男同学后，写有名字的纸张不再放回，继续摸第5张就是无放回模式，第9题的一次性摸得2个白球，可以看成第一次摸得一个白球，无放回摸第二个球仍是白球，此时第5张是男同学的概率和第2个球是白球的概率显然和有回放的情况下的概率是不相等的。
◆ 小结
由此可知理论概率的计算是和具体条件及其所确定的样本空间紧密相随的，脱离具体条件谈概率很容易让人产生错误的直觉。教学中要注意引导学生对概率条件的分析，培养学生的概率模型意识，从而促成学生建立正确的随机观念。
● 答题分析
第2题考察学生对两步实验的随机事件发生的概率的 。正确回答率为80%，学生大部分能利用列表找到100种可能结果，求出概率的正确答案1/100，而有2个学生的答案是1/81，访谈得知学生以为0到9只有9个数字，他们只通过乘法 求得概率。对于初中生来说，这种抽象化的计算缺乏直观性，学生很容易丢失样本点导致错求概率，教学中还是要以列表、画树状图为基础进行概率 。其次也反映出学生的计数能力有待加强。另有12%的学生算出概率为1/90，他们以为密码的这两个数字不能重复，因此总共有10×9个无重复数字的二个数字排列结果，任一结果是等可能发生的，所以概率为1/90 。
第3题检测学生通过构造等可能样本空间求古典概率的能力。回答的 '率为68%，说明大部分学生能正确地从1、3、5、7、9中找到三个数的所有组合，并根据三角形三边关系找出能构成三角形的三 段长的3种组合，从而求得所需概率。但由于组合的元素较多，所需组合的对象不止2个，学生无法用二维的列表方式进行，较多的组合数利用画树状图也很繁，导致仍有32%的学生无法求得概率或求错概率。本题用顺次列举法找样本点会简单些。所有样本点是：(1，3，5)、(1，3，7)、 (1，3，9)、 (1，5，7)、(1，5，9)、(1，7，9)、(3，5，7)、(3，5，9)、(3，7，9)、(5，7，9)。
第4、5、6三题都重点检测学生运用列表或画树状图求算两步实验的随机事件的概率，并结合随机变量求出平均每次实验的得分值，体会游戏公平性中的随机数学思想，通过求算随机变量均值体验随机数学在 实际问题中的应用价值。第4题中学生选择 '选项C的比率为64%。有20%的学生选择B，访谈后发现这些学生因为课堂上做过和第①题完全一样的题目，所以认为①是正确的，而对第②、③题没有经过列表找样本点，凭直觉判断而导致发生错误。那么这些学生在同类的解答题中是否能完整展现出求算两步实验的随机事件的概率的过程呢？统计结果比较乐观，在第五题解答中，有82%的学生能完整地列表（表4-3），并设计出公平游戏的方案。
表4-3 A,B两盘指针所指数字乘积的所有可能结果
A,B两盘指针所
指数字及其乘积
1
2
3
4
5
6
1
(1,1) 1
(1,2) 2
(1,3) 3
(1,4) 4
(1,5) 5
(1,6) 6
2
(2,1) 2
(2,2) 4
(2,3) 6
(2,4) 8
(2,5) 10
(2,6) 12
3
(3,1) 3
(3,2) 6
(3,3) 9
(3,4) 12
(3,5) 15
(3,6) 18
4
(4,1) 4
(4,2) 8
(4,3) 12
(4,4) 16
(4,5) 20
(4,6) 24
P（积为偶数）=； P（积为奇数）=
＞，即甲平均每次得分大于乙平均每次得分，所以游戏规则不公平。学生对公平规则的正确设计主要有2种：一是改变两人奖励分值，如学生mz090612g的设计方案：
当转盘停止后指针所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数， 甲得1分，如果得到的积为奇数那么乙得3分。这样设 理由是：由表中可知两数之积为偶数的概率为3/4，两数之积为奇数的概率为1/4，所以：
甲平均每次得分：（分） 乙平均每次得分：（分）
所以此时游戏公平。
另一位学生mz090630b的设计方案如下：
转盘停止后，将两个指针所指的数字相加，如果和为偶数， 甲得1分，如果和为奇数，那么乙得1分。理由如下（表4-4）：
表4-4 A,B两盘指针所指数字之和的所有可能结果
B盘
A盘
1
2
3
4
5
6
1
(1,1) 2
(1,2) 3
(1,3) 4
(1,4) 5
(1,5) 6
(1,6) 7
2
(2,1) 3
(2,2) 4
(2,3) 5
(2,4) 6
(2,5) 7
(2,6) 8
3
(3,1) 4
(3,2) 5
(3,3) 6
(3,4) 7
(3,5) 8
(3,6) 9
4
(4,1) 5
(4,2) 6
(4,3) 7
(4,4) 8
(4,5) 9
(4,6) 10
P（和为偶数）=； P（和为奇数）= 所以两人平均每次得分都是（分），所以游戏公平。
◆ 小结
本题与调查问卷的第9题是平行的题目，由于还没学过相关的教学内容，九年级普通班在问卷调查中的正确率只有3.2%，经过教学以后上升到77%，以上两个学生在原来的问卷调查中也都没能很好地利用适合的方式求算两步实验的概率，说明教学实验对学生在两步实验的概率 和运用随机变量的能力有明显的作用（见表4-2）。
● 答题分析
最后一题综合考察学生对几何概型的概率的求算能力和能否运用概率分布 随机变量的均值，体验日常经济生活中随机性的应用。能 '列式求算概率并进而求出每转动一次转盘所获购物券金额的平均数的学生比率为72%，说明学生基本上已理 几何概型中的基本事件等可能性要求和在转盘背景下通过扇形面积与圆面积的比来求算概率的比率思想。同时，结合概率分布求算随机变量均值的能力比学习之前有大幅度的提高。如一位学生mz090613b的解答如下：
转盘停止后，在16个等可能结果中，1号有1个，2号有2个，3号有2个，4号有3个，它们所占的比例分别为：1/18、1/8、1/8、3/16，所以每转动一次转盘所获购物券金额的平均数为：（元）。
但仍有28%的学生无法解题或错误求解。在错误求解中主要有以下两种典型的表现：
错误类型一：
每转动一次转盘所获购物券金额的平均数为：（元）
这里学生在样本空间中遗漏了指针停在空白扇形区域的8个可能结果，只关注目的样本点，而忽视了随机事件发生的所有可能结果，从而扩大了随机事件发生的概率也无法 '求出随机变量的均值。
错误类型二：
每转动一次转盘所获购物券金额的平均数为：()
在这里，学生重复平均了每转动一次转盘所获得购物券金额，看来学生没有理解概率的比率含义，对加权平均数的概念也理解不深，导致对随机变量的均值再次进行平均的错解。
4.4 教学研究的结论
学生对概率的某些错误概念相当顽固，干预教学之后，学生在理 率值时仍然存在预言结果法。
初中生无法理 件概率，因此不能从理论上理解“等可能性”，教学中要结合生活的类似情境如抽签的公平性，引导学生感悟事件发生的随机性，同时通过概率实验，用频率来估计概率也有助于加深学生对古典概型和几何概型的基本事件发生的等可能性的认识。
抽象化的 缺乏直观性，导致容易丢失样本点而错求概率，教学中还是要以列表、画树状图为基础进行概率 。
干预教学之后，大部分学生能完整地列表或画树状图求算概率并能设计出公平游戏的方案。结合概率分布求算随机变量均值的能力比学习之前有大幅度有提高。
教学研究中还发现了文献中没有报道过，在问卷调查也没发现到的学生对概率的又一种错误认识，认为随机事件的发生是不 的，随机事件发生的概率也可能不止一个。
5 本研究的结论和进一步研究的思考
5.1 本研究的结论
▲ 学生对概率的错误概念
“预言结果法”普遍存在，而且难于纠正。学生认为不能对概率值为50%的随机事件作出预测，无法用概率的统计定义 概率值。
“等可能性偏见”在两步实验的随机事件发生的可能性比较中出现最多，但经过干预教学，学生构造样本空间的能力得到提高，有助于改进这种错误认识。
“简单复合法”在古典概型和几何概型中都广泛存在。“简单复合法”究其原因是学生不理 合事件中的基本事件的概念。
“代表性方法”出现较少。但仍有学生认为等可能的事件在短期中也应交替出现，说明学生对大数定律缺乏理解。
有的学生认为可能事件的并也是可能事件，形成这个错误的原因是学生没有真 机事件的概念，无法区分事件和基本事件。还有的学生表现出了机会不能量化或概率很小的事件随机性更大的错误随机观念。
▲ 概率的计算
通过常规教学，学生还不能很好选择适合的方式进行两步实验的随件事件发生的概率的 和比较。并且由于误用概率模型，导致列表或画树状图时产生错误。
▲ 随机观念的运用
在尚未学习概率统计中的相关内容之前，学生对统计量的理 应用能力十分薄弱，不能利用概率分布结合随机变量比较摸彩活动的收益。初中生运用概率统计 生活实际问题的能力从九年级才开始有所表现。
▲ 不同年级、不同学 比较
随年级的上升，学生对概率的求 力在增强，但对事件发生的随机性与概率之间的关系没有更深的理解。重点中学和高年级的学生对概率值的理解与普通中学和低年级学生存在一样的错误概念。
▲ 不同概型的比较
学生对古典概型和几何概型两种不同情况下的随机事件发生的可能性大小的量化和比较有不同的表现。大部分学生还不清楚无放回模式和独立重复实验之间的区别。
▲ 教学实验
干预教学之后，大部分学生能完整地列表或画树状图求算概率，并能设计出公平游戏的方案。结合概率分布求算随机变量均值的能力比学习之前有大幅度提高。说明典型案例教学以及知识技能、活动体验、激活思维、文化渗透、实际应用等教学策略对培养学生的随机观念是有一定成效的。
5.2 教学建议
普通中学较多学生不理解随机事件的概念，没能区分事件和基本事件。学生对文字语言的辨析能力弱，如“可能”与“可能性”等，建议教师在教学中要有意识地从语意和概念上加以区别。
初中生无法理 件概率，因此不能从理论上理解“等可能性”，教学中要结合生活的类似情境如抽签的公平性等，引导学生理 典概型和几何概型中的基本事件发生的等可能性。
由于教师较多从古典概率引入概率概念的教学，学生仍旧习惯从古典定义来理 率，随机事件的频率数据对他们来说似乎没有什么意义，这种知流而不知源的概率概念是不完善的。初中概率要加强统计定义的教学。
抽象化的 缺乏直观性，导致容易丢失样本点而错求概率，教学中还是要以列表、画树状图为基础进行概率 ，有助于克服对概率的“简单复合法”、“等可能性偏见”等错误概念。
在概率教学中要坚持活动教学，并在活动中加强数学知识的理解与深化。为了增强教学的活动性，教师要善于创设随机情境，寻找 熟悉的，又适合在课堂上讨论的原始随机问题作为教学的载体。充分利用小组合作的探究式学习及 机等模拟试验，便于学生对预测加以验证。
初中概率统计教学不只是具体知识的传授，更是思想和观念的学习。要让学生体会概率统 思想方法，增强随机观念；注意概率模型化的教学和应用概率模型解决实际问题的能力培养。
'的随机观念的形成可能还受到学生的数学思想、生活经验和社会文化的影响。当前我国正在推进基础教育改革，十分重视数学史和数学文化的教育，在中学概率统计教学中渗透数学文化和数学史有助于学生理解数学知识之间的联系和不 性数学特有的思想方法，从而增强随机观念。
5.3 研究的不足和进一步研究的思考
数学观念与数学思想等基本认识对于数学思维过程起着定向的作用，它们促使主体对于数学思维有关问题的解决保持笼统的指向和注意等意识，能提高思维的自觉性与 '性。因此对数学观念的研究可以从学生的数学思维表现及应用数学思维 问题的主动意识中得到启示。本课题的调查部分从学生对问卷的回答和访谈的反馈信息中对学生的随机观念的现状作了较为详细的描述。但学生的数学观念在学生的思维结构中的形成是一个渐进的认识过程，它随着年级和教学的发展而在不断地孕育着，改进着。因此，在短期的调查下不能完全考查到学生的最真实的状况。
虽然笔者在调查的基础上，接着采用了典型案例及一些其它教学策略进行了一个学期的干预教学，但由于具体教学班级和教学内容的限制，教学检测的结果也仅 本班学生的情况，只能从一些侧重部分反映学生的随机观念的变化。期待在后续的研究中能增加样本容量并扩大检测的知识面，确保研究结论的科学性和 性，实现更大的推广和应用价值。其次，本课题干预教学后仍然存在的错误概念如“预言结果法”的成因及其教学对策，学生的随机观念与概率认知水平的关联性，以及学生对小概率的理 需要作进一步的研究。

参考文献
[1] 李俊.中小学概率的教与学[M].上海:华东师范大学出版社,2003.
[2] 黛博拉.J.本内特.随机性[M].严子谦,严磊译.长春:吉林人民出版社,2001.
[3] 刘兼,孙晓天主编.全日制义务教育数学课程标准解读[M].北京:北京师范大学出版社,2002.
[4] C.R.劳.统计与真理——怎样运用偶然性[M].石坚,李竹渝,白志东译.北京:科学出版社,2004.
[5] 张奠宙等编著.大千世界的随机现象[M].南宁:广西教育出版社,2000.
[6] 张丹编著.统计与概率[M].北京:高等教育出版社,2006.
[7] G.波利亚.数学与猜想[第二卷] [M].李志尧,王日爽,李心灿译.北京:科学出版社科,2001.
[8] 陈希孺.机会的数学[M].北京:清华大学出版社,2000.
[9] 张维忠,汪晓勤.文化传统与数学教育现 [M].北京:北京大学出版社,2006.
[10] 李文林.数学史概论[M].北京:高等教育出版社,2002.
[11] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平,唐瑞芬等编译.上海:上海教育出版社,1995.
[12] 林恩.阿瑟.斯蒂恩.站在巨人的肩膀上[M].胡作玄,邓明立等译.上海:上海教育出版社,2000.
[13] 默塞特.数学的窗口:中学数学教学案例[M].鲍建生等译.上海:上海教育出版社,2001.
[14] 任樟辉.数学思维论[M].南宁:广西教育出版社,1996.
[15] 丁村成.台湾高中课程机率统计教与学之研究[D].上海:华东师范大学,2007.
[16] 章飞.义务教育阶段概率有关知识的内容定位与教材实施[J].数学教育学报,2004,13(1):48.
[17] 李俊.关于“可能性大小无法比较”的一项调查研究[J].数学教学,2003,(6):30.
[18] 王梓坤.论随机性[J].数学通报,2004,(03):1-2.
[19] 蔺云.哲学与文化视角下概率统计课的育人功能[J].数学教育学报,2002,11(2):24-26.
[20] 茆诗松.高中概率统计教学中关于随机性数学思维的培养[J].课程·教材·教法,2003,(9):39-42.
[21] 王秀军.对中学生自发的抽样知识的调查研究[J].数学教育学报,2003,12(3):69.
[22] 陈嫣,涂荣豹.关于随机性数学意识的培养[J].数学教育学报,2002,11(02):27-29.
[23] 钟志华,宁连华,白会平.例谈数学思想方法的教学策略[J].数学教育学报,2007,16(3):13.
[24] 梁常东,唐剑岚.中学生概率学习中的错误及其教学策略[J].数学教育学报,2007,16( 2):98-101.
[25] 刘祥会.基于认知理论的中学概率教学策略研究[J].数学教育学报, 2006,15(2):80-82.
[26] 梁好翠.中学概率统计中的数学思想及其教学[J].湖北教育学院学报,2006, 23(08):102-103.
[27] Kahneman D, Tversky A. 1972. Subjective probability: A judgment of representativeness. In: Kahneman D. ed. Judgment under Uncertainty:Heuristics and Biases. Cambridge, U. K. : Cambridge University Press.32-47
[28] Konold C. 1989. Informal conceptions of probability. Cognition and Instruction, 6:70
[29] Green D R. 1982. Probability Concepts in 11~16 Year Old Pupils. 2nd Edition. Centre for Advancement of Mathematical Education in Technology, University of Technology, Loughborough
[30] Lecoutre, M P. 1992. Cognitive models and problem spaces in “purely random” situations. Educational Studies in Mathematics, 23: 557-568
[31] Biggs J B, Collis K F. Evaluating the quality of learning:The SOLO taxonomy[M]. New York: Academic Press, 1982.24- 25
作者工作单位：福建省福鼎市民族中学
作者通信地址：福建省福鼎市桐城街太姥大道467号 邮编：355200
联系电话：0593-7867543 13073927098
电子邮箱：gdz . 522@163.com

附录1 调查问卷
同学们，你们好！本测试是为了研究中学生在概率统计学习中随机观念的表现情况，以便今后为你的学习提供更有效的帮助。测试只作科学研究之用，和你的成绩鉴定无关，请放心填写。谢谢你的合作！
学校 班级 学号 姓名 性别
1.抛掷一枚普通的 体骰子一次，请判断下列结果是不可能发生，还是可能会发生，还是必然会发生，并在括号里填上你认为最合适的答案:
A. 不可能 B. 可能 C. 必然
(1)掷得的这个数是一个偶数 ( )
(2)掷得的这个数比7小 ( )
(3)掷得的这个数比6大 ( )
(4)掷得的这个数不是7 ( )
2.一位数学家将一些黑球和一些白球装入一个布袋中并搅匀，他并不确切地知道袋里有多少只黑球和白球，搅匀后他看了看，预言说:“蒙上眼睛从袋中取出一只球，正好是一只白球的机会是80%。”他取出一球，结果是白球，你认为他的预言准不准?请说明理由。
3.一位天气预报员说：“明天下雨的机会是50%”，与这句话意思最接近的是：（ ）
A.明天可能会下雨，也可能不会下雨，他自己也不知道结果
B.假如一年中有10天预报“明天下雨的机会是50%”，在这10天中，有5天左右第二天会下雨
C.假如一年中有100天预报“明天下雨的机会是50%”，在这100天中，恰好有50天第二天会下雨
D.假如一年中有100天预报“明天下雨的机会是50%”，在这100天中，有50天左右第二天会下雨
4.历史上有不少人做过成千上万次投掷钱币的试验，下面是几位知名人士的试验纪录:
试验者
投掷次数n
出现次数k
出现的频率k/n
布丰
4040
2048
0.5069
德.摩根
4092
2048
0.5005
费勒
10000
4979
0.4979
皮尔逊
12000
6019
0.5016
皮尔逊
24000
12012
0.5005
(1)结合上表的数据，你估计钱币出现正面的概率是多少？为什么?
(2)当一个公平的硬币被抛掷五次时，下列哪一选项发生的可能性最大?(H ，T 反面) ( )
A. HHHTT; B. HTHTH; C. HTTTT; D. THHTH; E.上述四个顺序的可能性一样大
理由是：
5.学校里有18个女同学，22个男同学，每个同学的名字各写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀，老师闭上眼睛随便从盒中取出4张纸条，睁眼一看，抽到的是4个男同学.他把4张纸条放在桌上，闭上眼睛又在余下的纸条中再抽第5张纸条， 下面哪个说法是正确的? ( )
A.这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性大
B.这次抽到男同学的可能性比抽到女同学的可能性小
C.这次抽到男同学的可能性与抽到女同学的可能性一样大
D.无法比较这两种可能性的大小
理由是：
6.用力旋转甲、乙两个转盘，当转盘停止转动时, 下面哪个说法是正确的? ( )

转盘甲 转盘乙
A.转盘甲的指针落在红色区域上的可能性比转盘乙落在红色区域上的可能性大
B.转盘甲的指针落在红色区域上的可能性比转盘乙落在红色区域上的可能性小
C.两个转盘的指针落在红色区域上的可能性一样
D.无法比较上述两个可能性的大小
理由是:
7.投掷两粒公正骰子，小明得到一个5点一个6点；小强得到两个都是6点。你认为下面哪个说法是正确的? ( )
A.小明发生之概率较大
B.小强发生之概率较大
C.两人发生之概率相等
D.无法比较两者概率大小
理由是：
8.用力旋转两个转盘，当转盘停止转动时，下面哪个说法是正确的? ( )
A.两个指针都落在红色区域上的可能性最大
B.两个指针都落在蓝色区域上的可能性最大
C.一个指针落在红色区域上，另一个指针落在蓝色区域上的可能性最大
D.无法判断这三个可能性中哪一个最大
理由是：
9.在一些繁华地带，常见有人设摊“摸彩”，一天，小明看见一摊主拿一盒子，盒中装有3个形状大小完全相同的乒乓球，其中有2个白球，1个红球，每次从中摸两个球，如果摸到的都是白球，则可赢得5元，否则就输掉5元，许多人都急着想试一试。看了一会，小明纳闷了，明明是白球比红球多，可摸彩者却为何输的多赢的少呢？你能帮助小明 这个问题吗？
10.你能估计一个池塘里有多少条鱼吗？请写出你设 估计鱼的数量的详细方案。
附录2 九年级(下)统计与概率教学检测卷
1. 一个袋里有一个红球,9个白球,从中任意摸出一个球后,不放回去,再从袋里摸一个球, 这次摸到红球的概率是( )
A. 0 B. C. D. 0或
2.有五 段,长度分别为1、3、5、7、9,从这五条线段中任取三条,所取三 段能构成一个三角形的概率为( )
A . B. C. D.
3.若银行储蓄密码由6位数字组成，每位数字由0到9这十个数字中任一个组成，若某人忘记储蓄密码的后两位，随意按下两个数字，此人正好按对密码的概率为 。
4.小兵和小刚做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子，下列说法中正确的个数有（ ）
A. 0 B . 1 C . 2 D. 3
当两枚骰子的点数之和为奇数时,小刚得1分,否则小兵得1分,这个游戏对双方是分平的;
当两枚骰子的点数之积为奇数时,小刚得1分,否则小兵得1分,这个游戏对小兵有利;
当两枚骰子的点数之积为质数时,小兵得2分,两枚骰子的点数之积为合数时,小刚得1分,这个游戏对小兵有利。
5.如图，有两个可以自由转动的转盘A, B，转盘A被均匀地分成4等份，每份分别标上数字1、2、3、4四个数字;转盘B被均匀分成6等份，每份分别标上数字1、2、3、4、5、6六个数字。有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下:
（1）同时自由转动转盘A与B;
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止)，用所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数， 甲得1分；如果得到的积是奇数， 乙得1分。
你认为这样的规则是否公平?请你说明理由; 如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。
6.某商场为了吸引顾客，设立了一个可自由转动的转盘（如图），当顾客消费50元以上时，就可获得一次转动转盘的机会。若转盘停止后，指针 对准1号、2号、3号、4号区域， 顾客可以分别获得50元、15元、10元、5元的奖励。利用所学知识，你能求出每转动一次转盘所获购物券金额的平均数吗？


致 谢
当论文划上句号之际，不禁想起走过的艰辛求学之路。幸运的是在浙江师范大学攻读教育硕 位的三年来，得到恩师和诸同学的无限关爱和帮助，本人将永远铭记在心。
在论文的选题，课题研究的开展，文献的阅读和论文的写作各个环节都得到导师张维忠教授和杨光伟副教授的精心指导，两位导师的渊博学识和为师风范将让我受用终生。引领我走进数学教育研究领域的还有其他各位学位课程和专业课老师，没有他们传授的本领域的最核心和最前沿的知识，论文必难于达到一定的理论高度。
在课题的调查研究中，福鼎一中林德金、林爱清、朱颖老师，福鼎民中蔡必生、汪忠久、陈传奇老师给予大力的协助，福鼎民中的领导班子对本人的脱产学习和论文写作给予大力支持和照顾，深表诚挚的谢意。

高定照
2008年4月于浙江师范大学
攻读学位期间发表的学术论文目录
[1] 高定照.例谈中学概率统计教学中数学史的运用[J].数学教学通讯(教师阅读),2008,(03):29-32 ,署名单位:浙江师范大学
[2] 高定照.“生日相同的概率”教学设计[J].中学数学月刊,2008,(05):5-8,署名单位:浙江师范大学




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