相似三角形的判定(1) 【教学目标】 1.知识与技能. 初步掌握两个三角形相似的判定条件,能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. 2.过程与方法. 经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力,以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯. 3.情感、态度与价值观. 发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识,体会数学思维的价值. 通过解题的引申练习,培养学生练习后反思的好习惯. 【重点和难点】 理解相似三角形的判定定理1和重要结论,并能用其来解决有关问题 【教具】 三角板、量角器、多媒体设备 【教学设计】 一、复习旧知识,运用类比的思想方法引导学生提出问题 1、什么叫相似三角形?怎么表示? (在学生回答完后,教师总结)对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.(注意:三角形相似不一定限定在两个三角形之间,可以是两个以上,但不能是一个.)表示:如果?ABC与?A'B'C'相似,则记作?ABC∽?A'B'C'. 用数学符号表示:∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',且,∴?ABC∽?A'B'C'. 注意:与三角形全等的书写类似,表示对应角的字母顺序需要一样 2、上节课我们还学习了一个判定两三角形相似的定理,哪位同学能说说? 学生回答完之后投影:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 3、除了用定义和上面的定理来判定三角形相似外,还有什么方法可判定两个三角形相似?我们知道判定两个三角形全等的方法有"AAS"、"ASA"、"SAS"、 "SSS"、"HL"等,那么类似地,判定两个三角形相似还有哪些方法?今天我们开始来研究这个问题. 二、(新课)师生共同解决问题 问题:如图(4)所示,在?ABC与?A'B'C'中,若∠A=∠A',∠B=∠B',试猜想:?ABC与?A'B'C'是否相似?并证明你猜的结论. 让学生思考讨论,从图形的外观,绝大多数学生会猜这两个三角形相似.结论的证明以教师讲授为主,并引导学生思考:根据题设条件,难于用定义来证明,因为用定义来证明需要的条件较多,所以不妨考虑用定理来证明.为此,需要构造出符合定理条件的图形:在?ABC中,作BC的平行线,且在?ABC中截得的三角形与?A'B'C'又有着非常紧密的联系(全等),这样师生共同分析,完成证明.教师把证明过程投影到屏幕. 证明:在?ABC 的边AB上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E,则有 ?ADE∽?ABC. ∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B', ∴ ∠ADE=∠B'. 又∠A=∠A' ,AD=A'B', ∴ ?ADE≌ ?A'B'C'. ∴?ABC ∽ ?A'B'C'. 告诉学生,如图(5)、图(6)这样作辅助线也可以证明这个问题. 最后师生共同归纳,得出结论:(投影) 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两三角形相似. 用数学符号表示这个定理:∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴?ABC∽?A'B'C'. (让学生说,最后教师板书即投影) 对于三角形来说,有两个角对应相等意味着三个角都对应相等. 三、应用举例,变式练习 例1:已知:?ABC和?DEF中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°,求证:?ABC∽?DEF. 让学生运用本节学习的定理自己证明,然后教师总结并且把证明过程投影到屏幕. 证明:∵在?ABC中,∠A=40°,∠B=80° ∴∠C=180°- 40°- 80°=60° ∵在?DEF中,∠E=80°,∠F=60° ∴∠B=∠E,∠C=∠F ∴?ABC∽?DEF(两角对应相等,两三角形相似). 课堂练习(投影) 1、应用这节课学的判定定理1判定下列三角形中哪些是相似的?哪些不是相似的?相似的用线段把它们联起来. 例2:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 说明:在教师的引导下,先由学生自己作出图形,并写出已知、求证、证明. 然后教师总结并给出解答参考: 已知:如图(7),?ABC中,CD是斜边上的高. 求证:?ABC∽?CBD∽?ACD. 证明:∵∠B=∠B, ∠CDB=∠ACB=90°, ∴?ABC∽?CBD (两角对应相等,两三角形相似). 同理 ?ABC∽?ACD. ∴?ABC∽?CBD∽?ACD. (最后告诉学生,以后可以直接用例2的结论来判定直角三角形相似.) 课堂练习(投影) 2、判断题: (1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形. (2)两个等腰直角三角形是相似三角形. (3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形. (4)两个直角三角形一定是相似三角形. (5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似. (6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形. (7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形. (8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似. (9)所有的正三角形都相似. (10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似. 3、填空:(填上"不"、"不一定"或"一定" ) 两个等腰三角形都有一个角为45°,这两个等腰三角形_______相似;如果都有一个角为95°,这两个等腰三角形_______相似. (提问:做完了就完了吗?然后引导学生在练习的过程中,养成反思的好习惯) *引申:(即反思)已知当两个等腰三角形都有一个角为时,这两个等腰三角形一定相似,则的取值范围是多少?(90°≤<180°或=60°) 分析:两种情况,一种是当等腰三角形的底角和顶角相等时,这时为等边三角形,结论是显然的;第二种是这时的取值要保证顶角和底角不出现相等的情况,这时必为顶角的度数.因为等腰三角形的底角不可能≥90°,而等腰三角形的顶角可为0°~180°之间的任意度数,所以只有当90°≤<180°时,才不至于有顶角和底角相等的情况(两个等腰三角形之间). 4、如右图, (1)若∠B=∠C,则?ABE∽ ?DBO∽ *(2) 若∠B=∠C,且∠1=∠A,则图中相似三角形共有______对. (因为这时出现4个三角形,它们之间任意两个都相似,所以这个问题可以归为:在平面上有4个点,在这4点任意两点联线段,共有多少条线段?更一般地,如果有n个点的话,则共有1+2+…(n-1)=条) (如还有时间,可再做几道练习) 四、小结 (教师可向学生提问:到目前为止,我们学习了哪些判定三角形相似的方法?然后师生共同总结) 到目前为止我们学习了判定三角形相似的方法有: 1、定义法 2、平行于三角形一边的直线的定理. ∵DE∥BC ∴?ADE∽?ABC 3、判定定理1 ∵∠A=∠A',∠B=∠B' ∴?ABC∽?A'B'C' 4、直角三角形的一个重要结论: ∵∠ACB=90°,CD⊥AB ∴?ABC∽?ACD∽?CBD 五、作业:课本P.238 2、4
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相似三角形的判定(1) 【教学目标】 1.知识与技能. 初步掌握两个三角形相似的判定条件,能够运用三角形相似的条件解决简单的问题. 2.过程与方法. 经历两个三角形相似条件的探索过程,进一步发展学生的探究、交流能力,以及动手、动脑、手脑协调一致的习惯. 3.情感、态度与价值观. 发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识,体会数学思维的价值. 通过解题的引申练习,培养学生练习后反思的好习惯. 【重点和难点】 理解相似三角形的判定定理1和重要结论,并能用其来解决有关问题 【教具】 三角板、量角器、多媒体设备 【教学设计】 一、复习旧知识,运用类比的思想方法引导学生提出问题 1、什么叫相似三角形?怎么表示? (在学生回答完后,教师总结)对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.(注意:三角形相似不一定限定在两个三角形之间,可以是两个以上,但不能是一个.)表示:如果?ABC与?A'B'C'相似,则记作?ABC∽?A'B'C'. 用数学符号表示:∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',且,∴?ABC∽?A'B'C'. 注意:与三角形全等的书写类似,表示对应角的字母顺序需要一样 2、上节课我们还学习了一个判定两三角形相似的定理,哪位同学能说说? 学生回答完之后投影:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. 3、除了用定义和上面的定理来判定三角形相似外,还有什么方法可判定两个三角形相似?我们知道判定两个三角形全等的方法有"AAS"、"ASA"、"SAS"、 "SSS"、"HL"等,那么类似地,判定两个三角形相似还有哪些方法?今天我们开始来研究这个问题. 二、(新课)师生共同解决问题 问题:如图(4)所示,在?ABC与?A'B'C'中,若∠A=∠A',∠B=∠B',试猜想:?ABC与?A'B'C'是否相似?并证明你猜的结论. 让学生思考讨论,从图形的外观,绝大多数学生会猜这两个三角形相似.结论的证明以教师讲授为主,并引导学生思考:根据题设条件,难于用定义来证明,因为用定义来证明需要的条件较多,所以不妨考虑用定理来证明.为此,需要构造出符合定理条件的图形:在?ABC中,作BC的平行线,且在?ABC中截得的三角形与?A'B'C'又有着非常紧密的联系(全等),这样师生共同分析,完成证明.教师把证明过程投影到屏幕. 证明:在?ABC 的边AB上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC,交AC于点E,则有 ?ADE∽?ABC. ∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B', ∴ ∠ADE=∠B'. 又∠A=∠A' ,AD=A'B', ∴ ?ADE≌ ?A'B'C'. ∴?ABC ∽ ?A'B'C'. 告诉学生,如图(5)、图(6)这样作辅助线也可以证明这个问题. 最后师生共同归纳,得出结论:(投影) 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两三角形相似. 用数学符号表示这个定理:∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴?ABC∽?A'B'C'. (让学生说,最后教师板书即投影) 对于三角形来说,有两个角对应相等意味着三个角都对应相等. 三、应用举例,变式练习 例1:已知:?ABC和?DEF中,∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°,求证:?ABC∽?DEF. 让学生运用本节学习的定理自己证明,然后教师总结并且把证明过程投影到屏幕. 证明:∵在?ABC中,∠A=40°,∠B=80° ∴∠C=180°- 40°- 80°=60° ∵在?DEF中,∠E=80°,∠F=60° ∴∠B=∠E,∠C=∠F ∴?ABC∽?DEF(两角对应相等,两三角形相似). 课堂练习(投影) 1、应用这节课学的判定定理1判定下列三角形中哪些是相似的?哪些不是相似的?相似的用线段把它们联起来. 例2:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 说明:在教师的引导下,先由学生自己作出图形,并写出已知、求证、证明. 然后教师总结并给出解答参考: 已知:如图(7),?ABC中,CD是斜边上的高. 求证:?ABC∽?CBD∽?ACD. 证明:∵∠B=∠B, ∠CDB=∠ACB=90°, ∴?ABC∽?CBD (两角对应相等,两三角形相似). 同理 ?ABC∽?ACD. ∴?ABC∽?CBD∽?ACD. (最后告诉学生,以后可以直接用例2的结论来判定直角三角形相似.) 课堂练习(投影) 2、判断题: (1)两个顶角相等的等腰三角形是相似的三角形. (2)两个等腰直角三角形是相似三角形. (3)底角相等的两个等腰三角形是相似三角形. (4)两个直角三角形一定是相似三角形. (5)一个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似. (6)有一个角相等的两个直角三角形是相似三角形. (7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形. (8)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似. (9)所有的正三角形都相似. (10)两个等腰三角形只要有一个角对应相等就相似. 3、填空:(填上"不"、"不一定"或"一定" ) 两个等腰三角形都有一个角为45°,这两个等腰三角形_______相似;如果都有一个角为95°,这两个等腰三角形_______相似. (提问:做完了就完了吗?然后引导学生在练习的过程中,养成反思的好习惯) *引申:(即反思)已知当两个等腰三角形都有一个角为时,这两个等腰三角形一定相似,则的取值范围是多少?(90°≤<180°或=60°) 分析:两种情况,一种是当等腰三角形的底角和顶角相等时,这时为等边三角形,结论是显然的;第二种是这时的取值要保证顶角和底角不出现相等的情况,这时必为顶角的度数.因为等腰三角形的底角不可能≥90°,而等腰三角形的顶角可为0°~180°之间的任意度数,所以只有当90°≤<180°时,才不至于有顶角和底角相等的情况(两个等腰三角形之间). 4、如右图, (1)若∠B=∠C,则?ABE∽ ?DBO∽ *(2) 若∠B=∠C,且∠1=∠A,则图中相似三角形共有______对. (因为这时出现4个三角形,它们之间任意两个都相似,所以这个问题可以归为:在平面上有4个点,在这4点任意两点联线段,共有多少条线段?更一般地,如果有n个点的话,则共有1+2+…(n-1)=条) (如还有时间,可再做几道练习) 四、小结 (教师可向学生提问:到目前为止,我们学习了哪些判定三角形相似的方法?然后师生共同总结) 到目前为止我们学习了判定三角形相似的方法有: 1、定义法 2、平行于三角形一边的直线的定理. ∵DE∥BC ∴?ADE∽?ABC 3、判定定理1 ∵∠A=∠A',∠B=∠B' ∴?ABC∽?A'B'C' 4、直角三角形的一个重要结论: ∵∠ACB=90°,CD⊥AB ∴?ABC∽?ACD∽?CBD 五、作业:课本P.238 2、4